Wednesday, December 09, 2009

Пи равно трём. Часть II.

См. также Часть I
UPDATE 07-05-2010:
См. также Часть III. Предел функции
END OF UPDATE.

"приближённо можно оценивать длину окружности по формуле 6.28R"

http://my-tribune.blogspot.com/2008/02/blog-post_21.html


На этом же подготовительном отделении были естественно задачи с ответами. Какого же было моё удивление, когда вместо того чтобы обнаружить ответ $\frac{\sqrt{3}}{2}$, скажем в качестве ответа, чему равен $\sin{\frac{\Pi}{3}}$, я обнаружил ответ $0.866$.

Ниже я приведу реконструкцию моего диалога с другим учеником (Д).

Ниже есть продолжение.

Вы не видете математические формулы в блоге?

Я: В книжке ответ не правильный, правильный ответ $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а не $0.866$.

Другой ученик посмотрел на меня не понимающими глазами и сказал:

Д: Ну, а чему равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Я несколько опешил, и сказал:

Я: Что значит чему равно, этому же и равно. Это ведь иррациональное число, а $0.866$ число рациональное. Невозможно точно записать иррациональное число, используя рациональные числа.

Другой ученик подумал не много и выдал:

Д: Я не понял, что ты там говорил про иррациональные числа... но чтобы узнать, чему равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, ты берёшь калькулятор и считаешь.

Я выпал в осадок. Всё же, я предпринял последнюю безуспешную попытку:

Я: Сколько знаков в твоём калькуляторе?

Д: Восемь.

Я: А чтобы "записать" $\sqrt{3}$ тебе нужно гораздо больше.

Д: Не понимаю тебя.

Я: Давай я тебе кое-что покажу.

Беру у него из рук калькулятор.
Я: Возьмём тройку. Если я посчитаю корень $n$-ой степени из $3$, а потом возведу результат в степень $n$ я должен получить $3$, так?

Д: Так.

Я: И не важно, чему равно $n$, хоть сто, хоть двести, хоть сколько.

Д: Ну, да. Не понимаю, к чему ты клонишь.

Я: Вот смотри, вводим тройку и начинаем вычислять квадратный корень... Теперь из результата вычисляем опять квадратный корень...И опять...

...Я нажимаю и нажимаю на квадратный корень, числа всё уменьшаются и уменьшаются, приближаясь к единице справа... Пока не получил, что-то вроде $1.0000001$.

Я: А теперь смотри, я нажимаю ещё раз на квадратный корень - ответ не меняется. Я пытаюсь возвести это число в квадрат - ответ не меняется. Я не могу восстановить назад тройку!

Д: Странно, не понимаю.

Я: Всё дело в том, что на каждом этапе вычисления мы теряли те цифры, которые не вместились в калькулятор, так как квадратный корень был вычислен только приближённо, так как корень из трёх число иррациональное, а калькулятор показывает только фиксированное количество знаков после запятой, т.е. рациональные числа...

UPDATE 04-03-2011:
Как мне было сказано в комментариях, последняя моя фраза может ввести в заблуждение, поэтому сделаю здесь разъяснение. Я не утверждаю, что калькулятор может показать все рациональные числа, я говорю лишь о том, что всё, что показывает калькулятор есть рациональное число. В частности, калькулятор не может показать $\frac{1}{3}$ а лишь может показать приближение к нему. Также, калькулятор не может показать вообще $10^{10^{100}}$.

Эти примеры демонстрируют два "типа" чисел "недоступные" для калькулятора. Периодические десятичные дроби с периодом отличным от нуля ($\frac{1}{3}$=0,33333...=0,(3) ноль целых три в периоде, т.е. имеет период равный 3) и числа с большим абсолютным значением.
END OF UPDATE

Пи равно трём. Часть I.

См. также часть II
См. также Часть III. Предел функции
END OF UPDATE.

Дети очень наивны и открыты. Если им сказать, что Пи равно 3.14, то они это примут близко к сердцу и будут в это верить. Ведь в раннем возрасте у них нету возможности получить ответ на вопрос "почему?" Никто не сможет объяснить, скажут, что "просто надо запомнить". Кстати, это отбивает природную любознательность. Если сказать, что "корень из отрицательного числа нельзя считать", то запомнят так хорошо, что потом это очень трудно исправить. Но ведь можно было поступить иначе: сказать, что "приближённо можно оценивать длину окружности по формуле 6.28R" или "в школе у нас недостаточно знаний, чтобы вычислять корни из отрицательных чисел". И дети это тоже поймут. Нам же так говорили в школе! И нынешним детям тоже можно сказать правду, а не навешивать лапшу им на уши.

http://my-tribune.blogspot.com/2008/02/blog-post_21.html

У меня в школе было ещё хуже. Я в каждом классе обнаруживал, что мне, как я считал лгали, раньше.
Говорили, от меньшего числа нельзя отнять большее, а тут на тебе отрицательные числа, два на три не делится, а тут на тебе дроби - и т.д.

Апофеозом было, когда я приехав в Израиле после того, как я закончил школу, пошёл на подготовительно отделение Беер Шевского университета. Там, в частности, за год повторяли\проходили всю школьную программу, только уже по израильским стандартам. Так вот, дошли мы до нахождения корней квадратного уравнения. Ниже я попытаюсь воспроизвести диалог с учителем.

Ниже есть продолжение.

Итак, конец урока, учитель (У):

У: ... Итак, если дискриминанта больше нуля, то у квадратного уравнения есть два корня, если дискриминанта равна нулю, то - один корень, если дискриминанта отрицательная - то корней нет.

Урок заканчивается, перемена. Я подхожу к учителю и говорю:

Я: Но ведь, на самом деле, есть же комплексные числа!
У: Есть, ну и что? Мы их будет проходит дальше.
Я: Но ведь я их уже знаю. Если есть комплексные числа, тогда то, что вы сказали - неверно.
У: Да, с комплексными числами всё летит к чёрту.

Я был очень озадачен таким откровением. Выходили, что моё ощущение, что меня всё время обманывали верно и вот, наконец, хоть какой-то учитель в этом признался.

Через несколько дней я взял в руки учебник, чтобы прочитать правило нахождения количеств корней. И что я обнаружил? В учебники правило звучало примерно так:

Если дискриминанта больше нуля, то у квадратного уравнения есть два действительных корня, если дискриминанта равна нулю, то - один действительный корень, если дискриминанта отрицательная - то действительных корней нет.

Но с этим уточнением, ничего к чёрту не летит! Это утверждение остаётся верно, также и после знакомства с комплексными числами.

Мораль: То, что раньше казалось ложью при получении новых знанием на самом деле показывало, что когда давали "старые" знания, их давали в упрощённой форме, часто не отмечая предметную область, как в этом примере, опуская слово действительный. Если взять более простой пример, то правило "нельзя отнять от меньшего числа - большее" верно для натуральных чисел и не верно, для целых, например. Т.е. применительно к своей предметной области оно-таки верно!

Украина поставит Ираку оружие, обеспечив работу более 80-и украинских заводов

http://txt.newsru.com/world/09dec2009/ukroirak.html
http://www.ng.ru/cis/2009-12-09/1_tanks.html

Турция предотвратила теракты "Хизбаллы" против израильтян

http://txt.newsru.co.il/mideast/09dec2009/tu_hezbollah_102.html

Власти США начали выплачивать компенсации индейцам за использование их земель

http://txt.newsru.com/arch/world/09dec2009/compensation.html

Иерусалим, Тель-Авив и Раанана находятся в зоне обстрела ХАМАСа


Служба тыла будет готовить израильтян к ракетным обстрелам в зоне до 80 км от границы с Газой...

Такое решение было принято как вывод из ситуации во время операции "Литой свинец" и в свете того, что около месяца назад ХАМАС провел испытания ракеты дальности до 60 км.

В ЦАХАЛе полагают, что в распоряжении террористов имеются и ракеты дальностью около 75 км.

В зоне, доступной обстрелам из Газы, живет более миллиона израильтян, такие города как Беэр-Шева и Иерусалим, Тель-Авив с пригородами, Петах-Тиква, Раанана и Герцлия – могут подвергнуться ракетным нападениям в случае, если ХАМАС получит приказ из Тегерана.

http://cursorinfo.co.il/news/novosti/2009/12/09/tvah-tilim-gaza/