Фокус с угадыванием карты. Часть I.

Monday, August 15, 2011

Фокус с угадыванием карты. Часть I.

По наводке блога Ильи Весеннего "Привычка не думать".

Я даю вам обычную стандартную колоду из 52 карт. Вы выбираете из нее 5 карт любым способом и отдаете моему помощнику. Помощник передает мне по очереди 4 карты, я называю их вслух, а затем... называю и пятую!

Собственно, это и есть фокус. Ниже, я привожу его решение, т.е. как его можно осуществить (и объяснение, почему это работает). Во второй части, я приведу обобщённую задачу с 124 числами и способ её решение. В третьей части я приведу обобщение этой задачи на n выбранных карт.

Ниже есть продолжение.

...На первый взгляд кажется, будто передаваемые карты не содержат достаточного количества информации. На самом деле, 4 карты можно передать в разном порядке 4!=24 способами, а пятая карта может быть одной из 52−4=48. И это действительно так: передать 4 случайные карты, чтобы однозначно указать на пятую, тоже случайную, нельзя...

...Однако, можно сделать так, чтобы передаваемые карты содержали больше информации, если помнить о том, что помощник выбирает карты не случайно, а отбирает 4 карты из 5...

...все карты колоды можно расположить по порядку. Сам порядок неважен, главное, чтобы он был одинаков у помощника и фокусника. Для меня, например, естественен «преферансный» порядок, по старшинству от двойки до десятки, затем от валета к королю, затем туз. Среди карт одного значения — например, среди шестерок — самая младшая шестерка пик, затем, по порядку старшинства, треф, червей и бубен. Если вы играете в бридж, удобный порядок для вас будет другой. Сейчас важно, что порядок возможно установить.

Секрет этого фокуса такой. Среди 5 карт можно выбрать 2 одной масти, потому что мастей всего 4. Помощник особым образом выбирает одну из них и передает первой. Таким образом, первая переданная карта обозначает масть «секретной» карты. Оставшиеся три карты можно передать 3!=6 разными способами по порядку, таким образом, передав число от 1 до 6. Этого недостаточно, чтобы передать значение спрятанной карты, однако вспомним, что фокуснику передана одна карта той же масти, то есть в масти осталось 12 карт. Если мы расположим 13 значений карт по кругу (представьте часы, только не с 12 часовыми делениями, а с 13), то от одной из них до другой всегда можно дойти по часовой стрелке, сделав от 1 до 6 шагов. Например, от {2} до {8} 6 шагов: {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}. Если мы выберем {2} и {9}, то шагов тоже будет 6, только идти надо от {9} к {2}: {10}, {В}, {Д}, {К}, {Т}, {2}. Как мы видим, если выбрать одну из двух выпавших в масть карт, то числа от 1 до 6 достаточно, чтобы указать вторую. Передавая первую карту, помощник должен выбрать ту, от которой «по часовой стрелке» до другой идти не более 6 шагов. Первая переданная карта, таким образом, задает масть и точку отсчета, а три следующие своим порядком кодируют число шагов, которые надо отсчитать от значения первой карты, чтобы указать на спрятанную.

Число от 1 до 6 передается порядком карт так. Три переданные карты в уме надо отсортировать по старшинству; обозначим их в этом порядке числами от 1 для самой младшей до 3 для старшей из трех. Если первой передана самая младшая карта, то число шагов равно 1 или 2, если средняя, то 3 или 4, если старшая — 5 или 6. Выбрать меньшее или большее число шагов позволяет вторая переданная карта: если она старше третьей, то берется большее число шагов, если младше — меньшее. Это простой способ запомнить такую таблицу:

Если карты переданы

в порядке... то число шагов равно...

3—2—1 6

3—1—2 5

2—3—1 4

2—1—3 3

1—3—2 2

1—2—3 1

Само собой, числа от 1 до 6 в правой колонке тоже могут быть расставлены вами с помощником любым произвольным образом, лишь бы он был известен вам обоим. Предложенная мнемоника — только один из вариантов, удобный мне самому; ваш может быть и иным.

Например, пусть пять выбранных карт будут {3♠}, {7♠}, {Т♠}, {9♥}, {Т♦}. Помощник выбирает две любые карты одной масти, например, {3♠} и {7♠}. Путь от {3} к {7} укладывается в 4 шага, меньше максимального значения 6 шагов, поэтому первой помощник передаст {3♠}, а {7♠} отложит как карту, которую затем угадает фокусник. Теперь помощник должен передать фокуснику число шагов, 4, с помощью 3 карт, которые по возрастанию значения ложатся так: {9♥}, {Т♠}, {Т♦}. Первой он передаст среднюю из них, {Т♠}, чтобы сказать, что шагов «3 или 4». Второй передается {Т♦}, бо́льшая из двух оставшихся, чтобы указать на бoльшее число из 3 и 4, переданных первой картой, то есть на число 4. Последней из трех помощник отдаст фокуснику {9♥}. Получив все три карты и видя их относительный порядок, фокусник проделывает в уме те же рассуждения, получает число 4, отсчитывает именно столько шагов от переданной ранее {3♠}, получая в ответе {7♠}, и называет ее, приводя ученую публику в восторг.

Где-то здесь ...[должны были быть бы сказаны слова]... «счет по модулю 13», но в описании фокуса я решил обойтись без них.