Немного о футболе. Часть II - естественные требования ничьи в матче

Содержание:
Часть I - футбольная вводная
Часть II - естественные требования ничьи в матче
Часть III - эквивалентное определение ничьи в матче
Часть IV - "естественность" дополнительного требования
Часть V - "естественность" и недостатки дополнительного требования

В предыдущей заметке было рассмотрено правило определение лучшей команды в плей-офф на конкретных примерах. Однако, остаётся загадкой, почему среди множества всевозможных примеров, были выбраны именно эти. В каждом новом примере, были рассмотрены "более тонкие эффекты", и показано, что наша интуиция согласуется с приведённым правилом на этих примерах. Но может быть, если бы счёт был иным такого согласования бы не было? Может быть, мы не учли всех тонких эффектов?

Я повторю формулировку правила для удобства. Так как мы с ним немного "поиграли" я его перепишу в алгебраической форме. Затем я последовательно рассмотрю естественные требования, с которыми мы уже встречались в примерах, которые мы считаем такая формула должна удовлетворять и проверим, что так и есть. Затем, в следующих уже заметках, рассмотрим эту формулу более подробно и напоследок найдём её некоторые недостатки.

Ниже есть продолжение.

Итак,

Формулировка правила. Победителем является команда, которая по-сумме двух встреч забила больше голов, чем пропустила. В случае равенства забитых и пропущенных мячей сравниваются количество голов забытых на выезде. В случае и этого равенства, в конце обычный 90 минут игр ("грязного времени") во второй игре, судья назначает дополнительное время и, в случае надобности, пенальти.

Перепишем теперь это правило, с помощью алгебраической нотации. Обозначим количество голов забитых командой A в первой игре как a₁, количество голов забитых командой A во второго игре как a₂, количество голов забитых командой B в первой игре как b₁, количество голов забитых командой B во второго игре как b₂. Таким образом команды A и B у нас играют со счётом a₁:b₁, a₂:b₂, где a₁, a₂, b₁, b₂, являются любыми неотрицательными целыми числами (положительными или ноль, натуральными или ноль, если хотите).

Итак, любой счёт между командами A и B может быть записан как a₁:b₁, a₂:b₂. Таким образом, первое требование, победителем является команда, которая по-сумме двух встреч забила больше голов, чем пропустила, может быть записано как:

1). Для определение победителя нужно сравнить два выражения (a₁+a₂) и (b₁+b₂). Если первое больше второе, то победителем объявляется команда A. Если второе больше первого, то победителем объявляется команда B. В случае ничьей, для определения победителя переходим к следующему правилу.

См. примеры в первой заметке. Именно так, мы и определяли победителя.

Второе, сравниваются количество голов забытых на выезде, в наших обозначениях может быть записано так:

2) Если a₂ больше чем b₁, то победителем является команда A. Если меньше-команда B. Если они равны, фиксируется ничья (дополнительное время и пенальти).

Очень странная нотация и вроде бы больше запутывает, чем проясняет. Но продолжим.

Какие естественные требования мы бы хотели бы предъявить к любому правилу определения победителя по сумму двух игр?

Требование 1. Если одна из команда выиграла обе игры, она должна быть объявлена победителем.
Тут всё ясно, по-моему. Примером является счёт 3-1 и 2-0, см. пример 1.1.

Требование 2. Если одна из игр закончилась ничьей, а в другой был выявлен победитель, то именно он должен быть объявлен победителем плей-офф. В какой именно игре была ничья, при этом не важно.
Ничья показала, что команды равны по силам, но в другом матче, был выявлен победитель. Именно, эта команда достойна пройти дальше. При чём, неважно, где была ничья, естественно. Примером, является счёт 2-2 и 1-0, см. пример 1.2.

Требование 3. Если побеждала то одна, то вторая команда, но одна из побед была "с разгромным счётом", то тот, кто выиграл с разгромным счётом объявляется победителем.
Если команда A выиграли 5-0, а потом проиграли 0-1, то всё-таки "разгром" должен цениться выше, чем проигрыш с минимальным счётом. Примером, является счёт счётом 1-3 и 1-0, см. пример 1.3.

Дополнительное требование ("дома и стены помогают"). В случае равенства основных показателей, предпочтение должно быть отдано команде, которая забила больше голов на чужом поле.
В гостях, меньше своих болельщиков, меньше поддержки, поэтому там "гол считается за два", точнее вес каждого забитого гола должен быть чуть выше, при прочих равных условиях. Примерам, является счёт 3-2 и 1-2, см. пример 2.1, а также примеры 2.2 и 3.1.

Замечание: Дополнительное требование наименее очевидное из всех приведённых, оно именно "дополнительное", накладывает дополнительное ограничение. В наших обозначения, игры между командами A и B закончились со счётом a₁:b₁, a₂:b₂. Более того, фраза "в случае равенства основных показателей" обозначает, что мы уже сравнивали две команды и получили равенство и нам предлагается дополнительный критерий его "разбить". В наших обозначения, игры между командами A и B закончились со счётом a₁:b₁, a₂:b₂, т.е. дано, что
(a₁+a₂)=b₁+b₂. Команда A, согласно нашей записи играла на чужом поле во второй игре, значит, она забила a₂ гола. Команда B, согласно нашей записи играла на чужом поле в первой игре, значит, она забила b₁ гола. Дополнительное требование говорит, если
(a₁+a₂)=b₁+b₂
то нужно сравнить
a₂ и b₁

если знак больше, то выиграла команда A, если меньше, то выиграла команда B, иначе имеем ничью (дополнительное время и пенальти).

Замечание: В требовании 3 использовано выражение "разгромный счёт". Можно привести и за и против обоих утверждение. Нужно "формализоваться", что значит "победа с разгромы счётом" и "обычная победа". Все согласятся, что знаменитая победа Аргентины над Ямайкой со счётом 5-0 была "победа с разгромы счётом". С другое стороны, победа с "перевесом в один гол" является, в некотором смысле, минимально возможной ("чистой") победой. Является ли победа 6-4, "победой с разгромным счётом"? Если да, то что насчёт 2-0? Если нет, то, что насчёт 3-1? Естественно также, что 3-3 не является "победой с разгромным счётом". Как видно из этих рассуждения "разгромный счёт" с одной стороны говорит о том, что "было забито много голов в сумме", с другой стороне важно также количество пропущенных при этом голов. Нужен "баланс" между количеством забитых и пропущенных голов, каждый забитый гол, идёт как бы со знаком плюс, делает победу "разгромней", каждый пропущенный,- идёт как бы со знаком минус, делает победу "менее разгромней". Кажется естественным, таким образом, определить "разгромный счёт", счёт в котором разница между забитыми и пропущенных мячей будет больше или равняться некоторому "большому" положительному числу. Для определённости, определим "разгромный счёт", как счёт в котором разница между забитыми и пропущенных мячей будет больше или равно 2. К примеру, 4-0 будет "разгромным", т.к. разница будет 4 (4-0), а 4 больше или равно 2. Счет 3-1 и 2-0, также "разгромный, так как у них разница 2. Можно сказать, что победе 4-0 "крупнее", "разгромней", чем победа 2-0, т.к. разница 4 больше или равно разницы 2. При этом счёт 3-1 и 2-0 "одинаково разгромный", так как у них обоих разница 2, т.е. согласно нашему определению, они как бы "неразличимы", не ясно, кто из них "разгромней".


Итак, требования 1-3 вполне естественны, мы бы ожидали, чтобы любое правило определения лучшей команды их бы выполняло. Однако, прежде, чем мы займёмся проверкой, что приведенное выше правило выполняет эти требования я сделают ещё одно маленькое замечание.

Я привёл существующие правило как будто оно свалилось с неба. Надо сказать, что оно было придумано именно для того, чтобы с одной стороны удовлетворить требованиям 1-3 и с другой стороны было бы достаточно простым для понимания и применения. Я лишь очень кратко коснусь простоты этого правила. Забегая вперёд я скажу, что дополнительное требование было введено, чтобы сократить количество игр, где требуется дополнительное время.

Итак,

Требование 1. Если одна из команда выиграла обе игры, она должна быть объявлена победителем.

Доказательство (того, что наше правило удовлетворяет этому требованию):

В наших обозначения, игры между командами A и B закончились со счётом a₁:b₁, a₂:b₂. Назовём, без ограничения общности, "одну из команд" которая выиграла обе игры, командой A (аналогично мы можем назвать её и командой B, тогда в доказательстве нужно заметить везде A на B, B на A, a₁ на b₁, a₂ на b₂, b₁ на a₁, b₂ на a₂, такое обозначение и называется "без ограничения общности"). Что значит, что команда A выиграла обе игры? Это значит, что и в первой и во второй игре она больше забила голов, чем пропустила, т.е. из условия следует, что a₁>b₁ и a₂>b₂.

Согласно правилу 1) чтобы определить победителя мы должны сравнить выражения (a₁+a₂) и (b₁+b₂). Если первое выражение строго больше, чем второе, то, согласно нашему определению, победителем объявляется команда A, которым, напоминаю, мы обозначали команду, которая выиграла две игры (и которая, согласно требованию 1 должна и выйти победителем в матче).

Т.к. a₁>b₁, получим, что a₁+a₂>b₁+a₂.
Т.к. a₂>b₂, получим, что b₁+a₂>b₁+b₂.

Т.е. a₁+a₂
b₁+a₂>b₁+b₂ или (a₁+a₂)>(b₁+b₂), что и требовалось доказать.

Требование 2. Если одна из игр закончилась ничьей, а в другой был выявлен победитель, то именно он должен быть объявлен победителем плей-офф. В какой именно игре была ничья, при этом не важно.

Доказательство (того, что наше правило удовлетворяет этому требованию):
Здесь нужно быть чуть внимательным. В принципе, доказательство можно свести к рассмотрению одного случая, я приведу более длинное, но, ИМХО, более понятное доказательство.

Рассмотрим два случая. Первый случай, ничья была в первой игре, второй случай - ничья была во второй игре. Докажем, что в обоих случаях, победитель другой игры будет объявлен победителем в матче в соответствии с нашим определением.

I случай. Ничья в первой игре. В наших обозначения, игры между командами A и B закончились со счётом a₁:b₁, a₂:b₂. Т.к. первая игра закончилась в ничью, это значит, что a₁=b₁ (*). Обозначим, без ограничения общности, победителя во второй игре, как команду B (для разнообразия :-)). Т.е. a₂<b₂ (**).

Далее, сравним два выражения (a₁+a₂) и (b₁+b₂). Если окажется, что первое выражение меньше второго, то победителем мы объявив команду B, команду, которая выиграла, согласно нашим обозначения, во второй игре, что и нужно для доказательства утверждения 2 в этом случае. Итак,

a₁+a₂ => (т.к. согласно (*) a₁=b₁) a₁+a₂=b₁+a₂ => (т.к. согласно (**) a₂<b₂) a₁+a₂=b₁+a₂<b₁+b₂

Т.е. (a₁+a₂)<b₁+b₂.


II случай. Ничья во второй игре. В наших обозначения, игры между командами A и B закончились со счётом a₁:b₁, a₂:b₂. Обозначим, без ограничения общности, победителя в первой игре, как команду B. Т.е. a₁<b₁ (*). Т.к. вторая игра закончилась в ничью, это значит, что a₂=b₂ (**).

Далее, сравним два выражения (a₁+a₂) и (b₁+b₂). Если окажется, что первое выражение меньше второго, то победителем мы объявив команду B, команду, которая выиграла, согласно нашим обозначения, во второй игре, что и нужно для доказательства утверждения 2 в этом случае. Итак,

a₁+a₂ => (т.к. согласно (*) a₁<b₁>) a₁+a₂<b₁+a₂ => (т.к. согласно (**) a₂=b₂) a₁+a₂<b₁+a₂=b₁+b₂

Т.е. (a₁+a₂)<b₁+b₂. Что и требовалось доказать.

Требование 3. Если побеждала то одна, то вторая команда, но одна из побед была "с разгромным счётом", то тот, кто выиграл с разгромным счётом объявляется победителем.

Доказательство (того, что наше правило удовлетворяет этому требованию):
Без определения общности предположим, что первая игра, закончилась с "разгромным счётом", а вторая с обычным (если это не так, нужно просто поменять индексы и названия игр, первой называть вторую игру, а вторую - первой). Также, без определения общности предположим, что в первой игре, победила команда A, а во-второй игре победила команда B.

Согласно определению, данному выше, "разгромный счёт", это счёт в котором разница между забитыми и пропущенных мячей будет больше или равняться некоторому "большому" положительному числу, обозначим это число как d₁ (выше, мы полагали d₁=2, но для доказательства это не существенно).

Таким образом, используя наши обозначения получаем, первая игра закончилась со счётом a₁:b₁, где a₁-b₁=d₁ (и d₁>0) (победила команда A), а вторая игра закончилась со счётом a₂:b₂, где b₂-a₂=d₂ (и d₂>0) (победила команда B), при чём d₁>d₂ (первый счёт "разгромней") или, что эквивалентно d₁-d₂ > 0 (можно отнять или прибавить одно и тоже число к обоим частям неравенства).

Далее, сравним два выражения (a₁+a₂) и (b₁+b₂). Мы можем перенести всё в левую часть и сравнивать
(a₁+a₂)-(b₁+b₂) с нулём. Если мы получим, что первое выражение больше нуля, то значит и в искомом сравнении, знак должен быть больше (можно отнять или прибавить одно и тоже число к обоим частям неравенства). Таким образом, получим, что первое выражение больше второе, а значит команда A победит B по сумме двух матчей, т.е. команда которая выиграла с разгромным счётом.

(a₁+a₂)-(b₁+b₂)=a₁+a₂-b₁-b₂=(a₁-b₁)+(a₂-b₂)=(a₁-b₁)-(b₂-a₂)>=d₁-d₂>0


Т.е. (a₁+a₂)>b₁+b₂. Что и требовалось доказать.


Продолжение следует.