Wednesday, February 29, 2012

Немного о футболе. Часть III - эквивалентное определение ничьи в матче

Содержание:
Часть I - футбольная вводная
Часть II - естественные требования ничьи в матче
Часть III - эквивалентное определение ничьи в матче
Часть IV - "естественность" дополнительного требования
Часть V - "естественность" и недостатки дополнительного требования

В предыдущей заметке были приведены естественные требования к определению лучшей команды и показано как они выполнятся согласно данному нами правилу определение лучшей команды.

Я повторю формулировку правила для удобства. Обсудим требования 1-3, в частности более подробно обсудим требование 3, приведём эквивалентную формулировку нашего правила через разности забитых и пропущенных мячей, в следующей заметке исследуем в каких случая условия 1) недостаточно, чтобы определить победителя и почему "дополнительное" требования является "естественным" в некотором смысле. Также укажем на некоторые недостатки.

Ниже есть продолжение.

Итак, вспомним ещё раз:

Формулировка правила. Победителем является команда, которая по-сумме двух встреч забила больше голов, чем пропустила. В случае равенства забитых и пропущенных мячей сравниваются количество голов забытых на выезде. В случае и этого равенства, в конце обычный 90 минут игр ("грязного времени") во второй игре, судья назначает дополнительное время и, в случае надобности, пенальти.

Любой счёт между командами A и B может быть записан как a1:b1, a2:b2.


1). Для определение победителя нужно сравнить два выражения (a1+a2) и (b1+b2). Если первое больше второе, то победителем объявляется команда A. Если второе больше первого, то победителем объявляется команда B. В случае ничьей, для определения победителя переходим к следующему правилу.


Второе, сравниваются количество голов забытых на выезде, в наших обозначениях может быть записано так:


2) Если a2 больше чем b1, то победителем является команда A. Если меньше-команда B. Если они равны, фиксируется ничья (дополнительное время и пенальти).


Требование 1. Если одна из команда выиграла обе игры, она должна быть объявлена победителем.

Требование 2. Если одна из игр закончилась ничьей, а в другой был выявлен победитель, то именно он должен быть объявлен победителем плей-офф. В какой именно игре была ничья, при этом не важно.

Требование 3. Если побеждала то одна, то вторая команда, но одна из побед была "с разгромным счётом", то тот, кто выиграл с разгромным счётом объявляется победителем.

Дополнительное требование ("дома и стены помогают"). В случае равенства основных показателей, предпочтение должно быть отдано команде, которая забила больше голов на чужом поле.

Напомню, также, что "разгромный счёт", это счёт в котором разница между забитыми и пропущенных мячей будет больше или равняться некоторому "большому" положительному числу.

Заметим, что дополнительное требование полностью эквивалентно условию 2 из второго условия определения победителя. Более того, для требований 1-3 достаточно было использовать требование 1 (что мы и сделали в прошлой заметке).

Заметим также что "основное" (первое) условие определения победителя по сумме двух встреч сформулировано через суммирование мячей забитых в двух играх, а требование 3 сформулировано на языке разностей забитых и пропущенных мячей. Я хотел бы остановиться на этом чуть подробней.

Для удобства, я ещё раз приведу требование 3.

Требование 3. Если побеждала то одна, то вторая команда, но одна из побед была "с разгромным счётом", то тот, кто выиграл с разгромным счётом объявляется победителем.

Итак, запишем в алгебраической форме требование 3. Пусть первая игра закончилась со счётом a1:b1, а вторая игра закончилась со счётом a2:b2. Пусть, без ограничения общности, "разгромный счёт" был в первой игре и в ней победила команда A. Это значит, что (a1-b1)>>0 (много больше нуля). Во второй игре, выиграла команда B, но с обычным счётом, значит (b2-a2)>0 (просто больше нуля). Имеем,

(1) a1-b1>>0
(2) b2-a2>0

Обозначим через d1=a1-b1. d1>>0 (следует из определения d1 и неравенства (1)).
Обозначим через d2=b2-a2. Т.к. во второй игре команда B выиграла с "обычным" счётом разница d2 должна быть обязательно меньше разницы d1 т.е. d2<d1 или что тоже самое d1-d2>0. Имеем

0<d1-d2=(a1-b1)-(b2-a2)= далее раскрываем скобки и получаем
=a1-b1-b2+a2= далее группируем слагаемые по другому
=(a1+a2)-(b1+b2), т.е.

0<(a1+a2)-(b1+b2) что эквивалентно

(a1+a2)>(b1+b2)

Выиграл у нас с разгромным счётом команда A, вот мы и видим что сумма забитых её голов больше суммы забитых голов команды B.

Замечание: Советую перечитать доказательство требования 3 с предыдущей заметки.

Согласитесь, это несколько удивительно, мы начали с рассмотрения разности, а пришли к рассмотрению сумм. В доказательстве требования 3 мы наоборот начали с суммы а пришли к разности.

Замечание: Формально говоря строчка (a1+a2)>(b1+b2) не является полный аналогом пункта 1) нашего правила, но оно очень близко к нему подходит. Настолько близко, что формулировка пункта 1) правила является естественным обобщением. См. также заметку о расширяемости и осмысленности в математике.

Дадим, альтернативную формулировку правила сложения, через разность.


Любой счёт между командами A и B может быть записан как a1:b1, a2:b2.


1*)
Рассмотрим 3 случая.

Случай I. a1=b1

Первая игре закончилась в ничью, т.е. с разницей в d1=b1-a1=0. Таким образом, исход поединка зависит от исхода второй игры, разницы забитых и пропущенных мячей во-второй игре. В случае ничьи во-второй игре, будет объявлена ничья в поединке (дополнительное время и пенальти), команда победившая во-второй игре будет объявлена победителем по сумме двух игр.


Случай II. a1>b1

В первой игре победила команда A с разницей в d1=a1-b1>0. Таким образом, команде A должна проиграть вторую игру с разницей большей чем d1, чтобы проиграть по сумме двух встреч. В случае если вторая игра закончится с разницей b2-a2 равной d1 в точности, будет зафиксирована ничья (дополнительное время и пенальти). Иначе, выиграет по сумме двух игр команда A.


Случай III. a1<b1

В первой игре победила команда B с разницей в d1=b1-a1>0. Таким образом, команде B должна проиграть вторую игру с разницей большей чем d1, чтобы проиграть по сумме двух встреч. В случае если вторая игра закончится с разницей a2-b2 равной d1 в точности, будет зафиксирована ничья (дополнительное время и пенальти). Иначе, выиграет по сумме двух игр команда B.


Я не буду подробно приводить доказательство эквивалентности этих формулировок (по-сути я должен ещё нескольо раз повторять одно и тоже) я скажу, что оно базируется на том, что следующие выражения эквивалентны (вместо > может быть >=, < или <= или =):

(a1+a2) > (b1+b2)

(a1+a2) - (b1+b2) > 0

(a1-b1) - (b2-a2) > 0

(a1-b1) > (b2-a2)

Футбольные комментаторы предпочитает именно последнюю формулировку. Почему? Она ведь кажется намного более громоздкой (в ней рассматриваются три случая к примеру). Дело в том, что до сих пор мы рассматривали задачу следующим образом: после того как оба матча были сыграны, кто победил? Обычно же между играми есть некоторое время, несколько недель, когда комментаторы и делают свои комментарии. Т.е. мы уже знаем значения a1 и b1 (первая игра уже сыграна), но ещё не знаем значений a2 и b2. Для того чтобы как-то отличать известные значение от неизвестных, обозначим a1=k, b1=m. Мы также, естественно знаем, что больше k или m, и какова разница между ними. Согласно первоначальному определению, нам нужно сравнивать (a1+a2) и (b1+b2) или (k+a2) и (m+b2). Беда в том, что в данным момент мы не знаем значений a2 и b2. Мы, конечно, можем "перенести всё в одну сторону", "перегруппировать слагаемые", известные и неизвестные по отдельности, но тем самым мы перейдём к эквивалентному определению 1*. Согласно определению 1*, мы легко определяем какой у нас случай, пусть, для примера у нас случай II (в первой игре победила команда A, напомню, что a1 и b1 нам известны и мы их обозначили как k и m соответственно). Итак, к>m. Определим d1=a1-b1=k-m>0. Мы теперь знаем, что команда A победила с разностью в d1. Таким образом она может себе позволит проиграть (или сыграть в ничью) с разницей в d1-1. Т.к. d1>0, d1-1>=0 (напомню, что d1 будет положительным целым числом или ноль).

Продолжение следует.

No comments:

Post a Comment