Monday, October 15, 2012

Мои впечатления о книге "Простая одержимость..." Джона Дербишира

Полное название книги: Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике." Это перевод на русский английской книги:

Prime Obsession. Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics
John Derbyshire

План книги очень простой. Главы с нечетными номерами...содержат математические объяснения, подводя читателя — надеюсь, плавно — к пониманию Гипотезы Римана и к осознанию ее важности. В главах с четными номерами раскрываются исторические и биографические подробности....Реализовать этот план мне удалось не в полной мере...Математики намного больше в нечетных главах и намного меньше в четных, и читатель волен, разумеется, попытаться следовать при чтении той или иной линии...

Ниже есть продолжение.

N ln N N/π(N) Ошибка, %
1 000 6,9078 5,9524 16,0409
1 000 000 13,8155 12,7392 8,4487
1 000 000 000 20,7233 19,6665 5,3731
1 000 000 000 000 27,6310 26,5901 3,9146
1 000 000 000 000 000 34,5388 33,5069 3,0794
1 000 000 000 000 000 000 41,4465 40,4204 2,5386

Представляется разумным следующее утверждение: N/π(N) близко к ln N, причем тем ближе, чем больше становится N...

Теорема о распределении простых чисел

π(N) ~ N/ln N

...

И наконец, получим два следствия из ТРПЧ (в предположении, конечно, что она верна). Чтобы вывести эти следствия, сначала заметим, что в некотором смысле (логарифмическом смысле!) при работе со всеми числами вплоть до некоторого большого N большинство из этих чисел вполне сравнимы по величине с самим N. Например, среди всех чисел от 1 до одного триллиона более 90 процентов имеют 12 или более разрядов и в этом смысле вполне сравнимы с триллионом (у которого 13 разрядов), а не, скажем, с одной тысячей (с ее четырьмя разрядами).

Если на интервале от 1 до N имеется N/ln N простых чисел, то средняя плотность простых в этом интервале составляет 1/ln N. А поскольку большинство чисел в этом интервале сравнимы по размеру с числом N в том грубом смысле, который я только что описал, то справедливым будет заключение, что в районе числа N плотность простых чисел есть 1/ln N. Именно так и есть. Другой способ выразить то же самое — это сказать, что в окрестности большого числа N вероятность того, что некоторое число окажется простым, ~ 1/ln N.

В заключении я хочу привести
Подложная история чисел, рассказанная Джоном Дербиширом

Люди всегда умели считать. С доисторических времен у них была N — система натуральных чисел. Но N несет в себе запрет, невозможность. Нельзя вычесть большее число из меньшего. По мере развития техники это превратилось в препятствие. Температура была 5 градусов, а потом понизилась на 12 градусов — какая стала температура? В N нет ответа на этот вопрос. Тогда люди изобрели отрицательные числа. Да, и кто-то еще додумался до нуля.

Отрицательные числа, положительные числа и нуль были собраны вместе в новую систему Z. Однако Z несет в себе невозможность, запрет. Нельзя поделить число на другое число, не являющееся делителем первого. Можно поделить 12 на 3 (ответ: 4) или даже на −3 (ответ: −4), но нельзя поделить 12 на 7. В Z нет ответа для такого действия. По мере развития науки об измерениях это превратилось в препятствие. Для все более точной работы требуются все более точные измерения. Можно на время добиться желаемого совершенства, если ввести новые единицы измерения. Требуется что-то меньшее одного ярда? Хорошо, вот вам дюйм… Однако есть пределы тому, как далеко можно продвинуться таким образом, и насущной стала нужда в общем способе выражения долей единицы. Так были изобретены дроби.

Дроби вместе со всеми целыми были собраны в новую систему рациональных чисел Q. Увы, Q несет в себе свой собственный запрет. Не всегда удается найти предел сходящейся последовательности. Три примера таких последовательностей были приведены в главе 1.vii. По мере развития науки к моменту, когда потребовался анализ, это стало препятствием, поскольку весь анализ основан на идее предела. Для развития анализа были изобретены иррациональные числа.

Иррациональные числа вместе с рациональными (включая, разумеется, все целые) были собраны в новую систему вещественных чисел R. Но и вещественные числа по-прежнему содержали запрет. Нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. К концу XVI века математика развилась до такой степени, что это стало препятствием. Так были изобретены мнимые числа. Мнимое число — это квадратный корень из отрицательного числа.

Мнимые числа вместе со всеми вещественными составили великий новый синтез: комплексные числа C. С комплексными числами нам доступно все, никаких запретов нет — и наступил конец истории.

Мои впечатления о книге "Язык симметрии" Марио Ливио


Этот пост долгое время был недописан, публикую его в незаконченном виде.

У книги есть также подзаголовок. "Уравнение, для которого не было найдено решения". Эта книга написана в оригинале на английском "The equation that couldn't be solved. How Mathematical Geniuse Discovered the Language of Symmetry" Mario Livio. Я её читаю в переводе на иврит

מריו ליביו
שפת הסימטריה
המשוואה שלא נמצא לה פתרון

Это уже третья прочитанная мной книга Марио Ливио. Первая книга, Марио Ливио "Является ли Бог математиком?" мне очень понравилась, вторая книга Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио не очень (я аж целых 7 заметок ей посвятил), эта книга тоже не очень понравилось, я так и до конца не понял, что из себя представляет теория Галуа. Об авторе см. по этой ссылке.

Эта книга рассказывает о теории групп, которая является математическим языком, на котором описываются симметрии, которые нас окружают. Параллельно этому, идёт повествование о попытках найти "элегантную" формулу для нахождения корней полиномов 2,3,4,5 и высших степеней. Для кубических полиномов приведена детективная история открытия формулы (см. ниже). Для степени 5 и выше такие попытки, однако, не проводили к успеху. Всё чаще и чаще математики выдвигали гипотезу о невозможности нахождения такой "элегантной" формулы. Галуа доказал, что это не возможно.


Когда я захотел купить книгу "Является ли Бог математиком?" этого же автора, я наткнулся и на эту книгу. Таким образом, я купил две книги вместе, находясь под сильным впечатлением после прочтения книги Марио "Является ли Бог математиком?".

О ЕГЭ\психометрии

Форматирование не сохранено.

От себя [Илья Весенний, автор блога Привычка не думать]...подтверждаю, что такие случаи бывают (я видел школьников со схожими результатами ЕГЭ, которые получили очень низкий и очень высокий баллы на вступительном экзамене ВУЗа). Коротко объясню причину.

Ниже есть продолжение.

Задания ЕГЭ предполагают большое количество краткосрочных слабых напряжений мозга (больше на внимательность и дрессированность, чем на глубокие навыки). А задания сильных ВУЗов (здесь я веду речь про математику-физику) состоят из пяти-шести сложных задач (обычно достаточно решить 4-5 из них, чтобы получить высокий балл). Сложные задачи требуют большого напряжения (это вообще-то надо уметь для дальнейшего обучения в этом ВУЗе), глубокого понимания (на это за год не натаскать), хорошей организации головы (что необходимо для освоения огромных тем в университете). Кстати, при проверке таких работ обычно не снимают много баллов за арифметические ошибки и оформление, потому что ВУЗу важна не аккуратность робота, а способность найти хороший путь для решения сложной задачи...

...Напоследок скажу, что не всё так плохо. Ведь сильный школьник...достаточно умён. Поэтому, поняв, что он пишет ЕГЭ на высокий, но не максимальный балл, начнёт больше времени уделять самодрессировке - будет тренироваться, прорешивая прошлогодние варианты. В результате он, конечно, обгонит обычного школьника, прорвётся в свой ВУЗ, всё у него хорошо сложится. Просто вместо прямого пути (показать свои реальные способности) ему придётся обмануть - нарастить ту характеристику, которую у него измеряют. Это похоже на требование подтянуться 20 раз для поступления на филологический факультет (кому шибко надо заниматься древними языками, те научатся подтягиваться, ведь так?). В жизни такой идиотизм тоже часто бывает, так что, благодаря ЕГЭ, школа стала ещё лучше готовить детей к реальной жизни...
http://my-tribune.blogspot.com/2008/04/blog-post.html

New Blogger Custom Domain and CNAME Setup Guide (English)

As you can see my blog moved to new domain. The process wasn't smooth enough, so I want to share with you with how to avoid 2 major pitfalls.

First of all, after you are buying new domain name and before you are moving your blog their you have to register Google Apps for this domain. If your purchased domain name was previously used, it can contain some garbage (it is actually Google data base corruption). In order to fix it see NOTE *1*.

Second pitfall is even more tricky. When you are going to the Blogspot/Blogger interface in order to switch the domain name you should be extremely careful. You should:

Write your domain name with "www."
You will get "Blogs may not be hosted at naked domains.". See Note *2*.

Click on Switch to advanced settings first, before you are entering domain name.

Before clicking on settings instructions you should enter new domain name
These instruction is generated for new domain name. So you must provide the details before clicking. Otherwise, you blog will fail to move to new domain name.

When copying CNAME don't copy . at the end
See Note *3*
On this step Blogspot/Blogger ask you to change some properties that is accessible through DNS in order to verify that you are actually controlling this domain.


There is more below.
Ниже есть продолжение.


NOTE *1*:
Once logged in to Google Apps, look at your Google Apps dashboard, and find the AdServices, Sites, or Start Page service. Click on AdServices, Sites, or Start Page, and you will see the appropriate Service Settings screen.
http://blogging.nitecruzr.net/2009/11/deactivation-of-google-sites-service.html


Note *2*
What is a naked domain?

A naked domain is simply a domain name without the 'www' prefix. For example, google.com (naked) instead of www.google.com (non-naked.)

To simplify custom domain configuration on your blog, Blogger only accepts non-naked domains in our sign-up process. If you try to enter a naked domain in the advanced settings of the Settings | Publishing tab, you will run into an error stating that Blogs may not be hosted at naked domains.

To fix this, simply enter the non-naked version of your domain and save your settings.

Note *3*

For the second CNAME, enter "AAAAAAAAAAAAA" as the Name and
"gv-BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB.domainverify.googlehosted.com." as the
http://www.blogger.com/custom-domain-instructions.g

You should use gv-BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB.domainverify.googlehosted.com without "." at the end (.com and not .com.)

* GENERAL NOTE *

I decided to add the custom domain to the blog's settings but to my surprise, the settings FAILED to save.

I noticed this error message "We are not able to resolve www.*******.com. It might take up to 24 hours for new domains to start working. Please try again later" on the page and right under the error message, I saw an instruction that I should enter two CNAMEs in my DNS settings.

I followed the instruction and within a short time, the blogspot address started redirecting perfectly to the custom domain. In fact, the naked domain also started redirecting to the "www" without me ticking the redirection option in Blogger Settings.

...you have to follow the steps below to add the second CNAME to your DNS:

1. Enter your custom domain into the appropriate field located on the Blogger's Settings (Publishing) page
2. Click the [u]"settings instructions"[/u] link below the field. (It is important that you only click the settings instructions link after you enter your domain, as the unique record is generated based on the entered URL.)
3. You’ll be directed to a page which will have your two unique records displayed. Copy the information for use in the next step.
4. Depending on your domain register, follow the relevant instructions for creating a new CNAME just as you did for ghs.google.com, but now instead using the unique info from step 3.#

Find the control panel on your domain registrar’s website, and locate your DNS (Domain Name System) settings. In order to link your blog to your custom domain, follow the instructions below to enter your "CNAME" and "A-records."

CNAME
Add two CNAME records. For the first CNAME, where it says Name, Label or Host enter "www" and where it says Destination, Target or Points To enter "ghs.google.com" . For the second CNAME, enter "AAAAAAAAAAAA" as the Name and
"gv-BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB.domainverify.googlehosted.com." as the Destination. See our detailed instructions on providing CNAMEs for various registrars. If yours isn't listed, or if you run into other difficulties, contact your registrar directly and they can help you out.
http://www.blogger.com/custom-domain-instructions.g

5. After updating your CNAME info, head back to Blogger and click Save to finalize your custom domain setup. If Saving does not work, then you’ll have to wait a little while and try again. Saving won’t be possible until the DNS changes have fully updated, and some registrars may take up to an hour or more before that happens.

Please note also that some registrars may take up to 24 hours to update changes to DNS so the blog may not be served immediately on your domain.
http://www.ogbongeblog.com/2012/09/new-blogger-custom-domain-and-cname.html