Thursday, December 06, 2012

О случайный процессах

Сокращено.

...В древности и в средние века люди использовали монетки, кубики и другие простые объекты, чтобы генерировать случайные числа... Такой подход плох, поскольку очень трудно сделать объект, который будет выдавать совершенно равновероятные результаты для всех возможных исходов. Этой особенностью предприимчиво воспользовался британский инженер Джозеф Джаггер в общей сложности выиграл около 325 тысяч долларов, что в переводе на сегодняшний курс составляет около 5 миллионов.

Ниже есть продолжение.

Кстати, а задумывались ли вы, откуда вообще берётся случайность в таком простом действии, как бросание монетки? Почему, подбрасывая монетку несколько раз, пытаясь сделать это совершенно одинаково, мы всё равно получаем разные результаты? Причиной такого поведения является динамический хаос, присущий многим нелинейным системам. В принципе, в детерминированной системе начальные условия (в нашем примере - положение монетки, сила и направление броска, и так далее) полностью определяют дальнейшую эволюцию, а значит абсолютное повторение начальных условий привело бы к тому же результату. Проблема же в том, что даже небольшое различие в начальных условиях «усиливается», поэтому через некоторое время система ведёт себя совершенно иначе, и монетка может упасть на другую сторону.

Таким образом, для наблюдателя, который не может узнать начальные условия с достаточной точностью, результат будет истинно случайным, в том смысле, что он не имеет возможности его предсказать. Однако не стоит путать случайность и равновероятность: даже истинная случайность (в смысле отсутствия детерминированной модели) не гарантирует того, что все исходы будут выпадать равновероятно - этим и воспользовался вышеупомянутый Джозеф Джаггер.

Сегодня во многих операционных системах и приложениях используются генераторы псевдо-случайных чисел. Такие генераторы также основаны на динамическом хаосе, возникающем вследствие математических преобразований, однако по своей природе являются детерминированными. В этом случае наблюдатель может предсказать результат, угадав начальные условия генератора. Вероятность такого угадывания всегда может быть уменьшена путём увеличения количества возможных начальных состояний (длины ключа), но можно ли это назвать истинной случайностью?

Избавиться от такого угадывания позволяют очень сложные динамические системы, обладающие огромным числом исходных состояний, а также недостаточно точно известными на сегодняшний день физическими законами. В качестве примера можно привести атмосферу нашей планеты, производящую атмосферный шум или проводник со множеством носителей, генерирующий тепловой шум.

Но по-настоящему случайные явления, недетерминированность которых гарантируется законами физики и математическими выкладками, происходят в квантовой механике. Кстати, ученых физиков, до этого считавших, что мы живем в абсолютно детерминированном мире и что все процессы можно однозначно проследить из начальных условий, квантовая механика повергла в настоящий шок. Многие наверное слышали знаменитую фразу Альберта Эйнштейна «Бог не играет в кости», в которой он выразил свое отношение к индетерминизму квантовой механики. Нильс Бор, который кстати любил поспорить с Эйнштейном на тему пристрастия Бога к азартным играм, говорил: «Тот кто не был шокирован квантовой механикой, просто ее не понял».

В чем же коренное отличие квантовых явлений от подкидывания монетки? Оказывается, квантовые объекты подчиняются принципу неопределенности Гейзенберга, который гласит, что мы не можем со сколь угодно большой точностью измерить все необходимые параметры такого объекта. То есть, не можем не просто из-за того, что не хватает технических возможностей, а в принципе не можем. А раз не можем измерить всех параметров, значит не можем и предсказать исход процесса.

Эйнштейна такое состояние дел не устроило, поэтому он предложил мысленный эксперимент, ризванный указать на неполноту квантовой механики. Эйнштейн утверждал, что квантовые явления все-таки схожи с подкидыванием монетки, просто все нужные параметры либо еще не открыты, либо скрыты от нас. Эту теорию так и стали называть - теорией скрытых параметров.

Но Эйнштейн в этом случае был неправ, так как Джон Белл математически показал возможность постановки эксперимента, который однозначно опровергнет существование скрытых параметров. С тех пор было поставлено множество таких экспериментов со все большей и большей точностью, и все они подтвердили, что индетерминизм - неотъемлемая черта квантовой механики. Остаётся вопрос о том, являются ли эти эксперименты абсолютным доказательством принципа Гейзенберга или всё же возможна какая-либо альтернативная модель мира... На него может ответить (если ответ существует) только специалист в этой области.

Таким образом, ответ на поставленный нами ранее вопрос утвердительный: да, истинно случайные явления существуют, по крайней мере в рамках существующей модели мира. Но возможно ли их практическое применение? Снова «да»! Исследователи постоянно совершенствуют способы генерации случайных последовательностей при помощи квантовых явлений. К примеру, одна из заметных статей в этом направлении появилась всего чуть более месяца назад [2010 г.] в журнале Nature. А вот так выглядит квантовый генератор случайных чисел, который можно подключить к USB или воткнуть в шины PCI и PCI Express.
http://my-tribune.blogspot.com/2010/05/blog-post_28.html

Научно-технический прогресс пробуксовывает

Не Хазин :-)

Из комментариев к заметке http://falcao.livejournal.com/200177.html или в немного сокращённом виде тут о Парадоксе Лжеца
Форматирование не сохранено.

...Вновь напомню о законе убывающей полезности. Любое благо подчиняется этому экономическому закону, гласящему, что первые (и любые более ранние) порции блага имеют ценность многократно бОльшую, нежели последующие. Постепенно происходит насыщение, выход на пределы роста. Предприниматель замечает такие явления первым, поскольку имеет прибыль с инноваций. Следующим замечает это капиталист, поскольку имеет сверхприбыль с предпринимателя.

Ниже есть продолжение.

Первые плоды раскрепощения Разума для сферы имманентного были сверхценными. Первые изобретения, при внедрении, давали колосаальную отдачу на инвестированный капитал. Можно было изобретать что угодно, инвестировать во что угодно - все отбивало затраты, любые правдоподобные гипотезы более или менее оказывались верны, служили полезным этапом в развитии науки. А потом пошел порожняк. Предпринимателям такая ситуация, вне зависимости от объекта и сферы инвестирования, хорошо знакома. Выработанная порода.

Рудник (скважина) еще приносит огромные деньги. Месторождение может даже повышать производственные показатели. Но это за счет новых инвестиций, новых технологий. Пик дешевой добычи уже пройден. То же и с наукой. Теория логических типов и теоремы Геделя о неполноте можно считать маркером, обозначившим точку, когда было сказано вслух: "Король голый"...

...Вот началось в 1790х гг массовое применение паровых машин, сперва в текстильной промышленности, затем в качестве двигателей пароходов, а затем и паровозов. Дальнейшее развитие идеи дало двигатель внутреннего сгорания. Результат - колоссальный, на порядки, рост производительных сил. Возможность высвобождения половины и более населения от производства материальных благ (не только физического труда, но интеллектуального тоже). Миллионы людей ушли в науку и инженерию.

Это дало следующую волну изобретений. Середина 19 - начало 20го века, бурное развитие медицины. 1847 - изобретение наркоза, 1874 - изобретение героина, 1899 - изобретение аспирина, 1902 - открытие гормонов, 1911 - открытие витаминов, 1928 - изобретение пенициллина. Середина - конец 19го века - изобретение дирижаблей. Начало 20го века - появление авиации (самолетов и вертолетов). 19 век - изучение электричества, с конца 19го века - развитие электротехники.

Все эти изобретения радикально меняли человеческую жизнь: давали больше свободного времени, продлевали продолжительность активной жизни. Вопрос в том, возможны ли в принципе открытия и изобретения, столь же сильно влияющие на человеческую жизнь? А если возможны, то какова их цена?

Для примера, вспомним как с середины 19го века писатели-фантасты придумывали всевозможные блага цивилизации, которые затем появлялись, в узнаваемом виде, в реале. А из того, что напридумывали с середины 20го века (как раз исходя из желания создать образ столь же меняющих жизнь изобретений), не исполнилось, практически, ничего. Ни человека-невидимки, ни искусственного разума, ни личного бессмертия, ни лечения всех болезней, ни пилотируемых полетов по всей Галактике. Одни обещания, что вот-вот сейчас наука еще что-то даст. Вот-вот, терпение, дайте гранты, и ваша щетина превратится в золото.

...В чем была изначальная идея Разума? Что вот, посмотрел мудрец на небо и землю, помедитировал, а потом ррраз - и вывел СИСТЕМУ, в которой все. Типа аристотелевой системы. Это период донаучного знания, натурфилософии. Потом наука, с экспериментальной проверкой каждого шага. Но Разум, хотя бы, выдвигал правдоподобные гипотезы, сокращая перебор вариантов. При возрастании сложности причинно-следственных связей (при расширении или детализации предмета исследования), разум лишается опорных точек, а перебор вариантов занимает слишком много времени.

Обещать можно все, что угодно. И логично аргументировать свои обещания. А потом не менее логично аргументировать, почему деньги профуканы, а практических результатов нет. Только сильные мира сего (несколько тысяч семейств, владеющих половиной всего совокупного капитала Земли) не лохи, они следят за объективными показателями. Инвестиции - инновации - отдача. Статистика. Рост мирового ВВП, в т.ч. в различных пересчетах. Рост средней продолжительности жизни. Все показывает не прогнозировавшийся ранее кумулятивный эффект, а напротив, насыщение и выход к пределам роста.

Вот, прошла информационная революция. И что? Экономическая отдача минимальная. Пустышка. Если убрать из мирового ВВП разного рода фикции, надежды на будущую отдачу, то может оказаться, что он давным-давно не растет, а снижается. Еще хуже с качеством роста. Происходит увеличение доли накопления. Т. е. требуется, например, все больше энергоносителей, чтобы добывать и транспортировать новые порции энергоносителей. Требуется все больше металла для добычи новых порций металла. Производство работает само на себя. а не на удовлетворение потребностей человека.

Образ жизни граждан цивилизованных стран почти не изменился за 50-100 лет. Такие же дома, с примерно теми же бытовыми удобствами. Те же возможности транспорта. Почти та же, но значительно хуже, еда. Что-то слегка улучшилось (мобильный телефон вместо привязанности к городскому), что-то ухудшилось (соевая колбаса вместо телячьей).

А проблема истощения природных ресурсов?! Когда-то Мальтуса "опровергли" тем, что природные ресурсы не кончатся никогда, поскольку наука будет открывать все новые возможности. И вот, уже более ста лет человейник не может слезть с нефтяной иглы. И дешевая нефть в мире заканчивается. Истощаются и доступные запасы других ресурсов. Их еще хватит на какое-то время, но на идее роста потребления для всего человейника (а т.б. параллельно с его количественным ростом) уже поставлен жирный крест.

Людей все больше, доля ученых и инженеров в мировом населении все выше, а толку пшик. Прожирание ресурсов происходит быстрее накопления научного знания. А что такое исчерпание природных ресурсов? Это обесценение уже сделанных открытий. Автоматический откат в Средневековье. Но в отсутствие тех технологий и тех ресурсов (обеспеченности поголовьем лошадей, к примеру), которые позволяли выживать на том уровне производительных сил. И при многократном перенаселении планеты, в масштабе средневековых возможностей экологических ниш.
http://falcao.livejournal.com/200177.html

о Парадоксе Лжеца

Форматирование, в целом, сохранено.

...Для многих людей с "нормальным" восприятием сразу очевидно, что в этом парадоксе наличествует всего лишь некий "софизм", и что глубокого содержания здесь быть не может. В какой-то мере это так и есть, но означает это лишь то, что анализ парадокса вряд ли может открыть нам какие-то новые сведения об окружающей нас материальной действительности. И это верно, так как в ходе исследования мы не узнаем ничего нового ни о лошадях, ни о звёздах, ни об апельсинах. Зато мы сможем понять какие-то вещи, касающиеся "аппарата" наших рассуждений. Который здесь явно "пробуксовывает", и хотелось бы понять, по какой именно причине.


Ниже есть продолжение.

...Итак, в чём состоит этот парадокс? Предположим, что некто произнёс фразу "я лгу", имея в виду, что он лжёт в момент произнесения этих слов. Лжёт он, или говорит правду? Нетрудно убедиться в том, что оба варианта приводят к противоречию.

В самом деле, если человек солгал, то сообщённая им информация ложна. А сказал он нам, что лжёт. Тем самым, это должно быть неправдой, но тогда это означает, что человек не солгал, а сказал правду. Но это противоречит нашему изначальному предположению, что он солгал.

Тогда, может, он сказал правду? Но тогда истиной должно быть то, что он поведал нам нечто ложное - по самому содержанию высказывания. Выходит, что он всё-таки солгал, то есть мы снова имеем противоречие.

То есть суть парадокса совершенно проста: не годится ни одно из двух заключений. Часто говорят, что этот парадокс вообще неразрешим в рамках "обычной", то есть двузначной логики. Я же попробую ниже проанализировать ситуацию как она есть, подходя как бы с позиции "естествоиспытателя". Который ничего не "изобретает", а просто наблюдает некоторые факты и делает надлежащие выводы.

...Прежде всего, давайте придадим самому парадоксу чуть более удобную "безличную" форму. Имеется фраза, которую мы далее будем обозначать буквой Ф, и которая звучит следующим образом:

Данная фраза ложна.

Как мы выяснили выше, у нас возникает логическое противоречие при попытке выяснить, является ли фраза Ф истинной или ложной. Рассуждение на этот счёт было совсем простое, и я не вижу необходимости его повторять. Однако я хочу заметить, что, проводя его, мы неявно опирались на один принцип, который я далее буду называть принципом семантической корректности. Я не буду его как-либо формулировать в "академическом" виде, а просто раскрою суть. Пусть у нас имеется фраза, которая по своему грамматическому строению имеет вид "суждение X истинно", где под X может скрываться любое осмысленное положение (типа "2x2=4"). Тогда мы считаем, что обе фразы - сама фраза X, и фраза, сообщающая об истинности X - имеют одно и то же истинностное значение. То есть они либо одновременно истинны, либо одновременно ложны...

Итак, что же мы имеем? Нам не подходит ни один из выводов относительно фразы Ф - при условии, что мы не хотим впадать в ситуацию логического противоречия. Тогда напрашивается очень простой вывод, который чаще всего и делают, а именно: фраза Ф не является ни истинной, ни ложной. Но может ли такое вообще быть? Ответ в достаточной степени очевиден: конечно, да. Мы сплошь и рядом встречаемся с фразами, например, бессмысленными, которые не сообщают никакого факта. Бывает и так, что фраза выглядит осмысленной, но "недопрояснённой". Например, кто-то говорит: "идёт дождь". Мы не можем точно сказать, так ли это, если не знаем, о каком месте и времени идёт речь; что вообще понимается под "дождём" (скажем, следует ли считать таковым несколько упавших с неба капель?) и так далее.

Здесь я хочу высказать ещё один важный принцип, который можно назвать принципом ситуационности. Под "ситуацией" допустимо понимать совокупность всех мало-мальски значимых обстоятельств, а сам принцип состоит в том, что большинство произносимых нами фраз должны подразумевать выполненными некоторые обстоятельства. Которые иногда указываются явно, а иногда молчаливо подразумеваются. Например, в истинах арифметики мы всегда стандартно трактуем цифры, принцип записи чисел, смысл арифметических операций и прочее. В более "полной" форме вместо "2x2=4" можно было бы говорить "2x2=4, при стандартном истолковании символов". А вместо "идёт дождь" - если это осмысленное сообщение, имеется в виду, что "идёт дождь в ситуации S", где сама ситуация считается заданной.

Итак, я значение "принципа ситуационности" вижу в том, чтобы во всякой фразе при желании уметь увидеть "подразумеваемое". Мы всегда имеем некий "скрытый параметр" в виде некой ситуации, к которой относится фраза. Даже когда речь идёт о неких "незыблемых" принципах, то подразумевается, что они справедливы для всех ситуаций. А вне ситуаций вообще не может быть никакой "истины" - при желании, это можно считать выражением самого нашего принципа.

Он удобен, в частности, тогда, когда ситуация может поменяться (например, дождь идти перестал), и тогда "та же самая" в словесном выражении фраза может стать ложной - при том, что она была истинной ранее. А "фокус" тут в том, что на самом деле мы имеем не одну фразу, а несколько. "Дождь идёт в ситуации S" выражает одну мысль, а "дождь идёт в ситуации S*" - уже другую.

...Вернёмся, однако, к парадоксу. Итак, мы решили отнести фразу Ф к какой-то третьей категории, то есть мы не считаем её ни истинной, ни ложной...Прежде всего, у нас как была "истина" и "ложь" в качестве двух значений, так и осталась. Но зададим себе вопрос: а к чему мы "прилагаем" эти понятия? Ведь не к чему попало, а только к фразам, которые что-то нам сообщают. И тогда сообщение получается верное или неверное. Мы ведь не спрашиваем, является ли истинным стол, или случайный набор символов? Значит, мы изначально выделяем какую-то часть фраз, которые в нашем понимании могут быть истинными или ложными, и для таких фраз в логике имеется вполне общепринятый термин: они называются высказываниями. Обычно в элементарных курсах математической логики с того и начинают, что вводят этот термин. Он как бы является даже не математическим, а "доматематическим". Это своего рода "пропуск" в логику: пока мы не имеем высказываний, логикой заниматься просто рано. И как только мы ступили на "твёрдую почву" высказываний, у нас появляется два (а не три, не десять) истинностных значения.

То есть я предлагаю (не расходясь в этом со стандартным толкованием) называть "высказыванием" такую фразу, о которой имеет смысл говорить, истинна она или ложна. Я ещё "от себя" добавляю, что фраза может зависеть от ситуации, и этот аспект желательно учитывать. То есть такая область как "логика высказываний" по определению двузначна. Фактически, происходит следующее: мы сначала как-то подразделяем все фразы на две категории: "высказывания", и "все остальные фразы, не считающиеся высказываниями". И только потом уже для высказываний вводим дополнительное подразделение на истинные и ложные. Как мы видим, тут нигде не происходит отступления от двузначности как принципа.

...Но то, что я написал выше, ни в коей мере не следует считать полным разрешением Парадокса Лжеца. Мы его не столько устранили, сколько "отодвинули", перенеся в другую область. Дело в том, что саму формулировку можно слегка модифицировать, и та же самая трудность возникает снова.

А именно, я предлагаю рассмотреть новую фразу, обозначив её через Ф', которая звучит так:

Данная фраза не является истинным высказыванием.

Проанализируем её с точки зрения смысла: что она утверждает? В нашей новой ситуации, когда мы учли тот фактор, что фраза может не быть высказыванием, и тогда ей никакое истинностное значение не сопоставляется, возможно три логических варианта.

1) Фраза Ф' является истинным высказыванием.
Здесь получается то, что она отрицает свой собственный смысл, то есть возникает логическое противоречие.

2) Фраза Ф' является ложным высказыванием.
И здесь получается противоречие, так как по смыслу должно получиться, что фраза отрицает собственную неистинность, а потому является истинным высказыванием.

3) Фраза Ф' не является высказыванием - ни истинным, ни ложным.
Здесь выходит, что наша фраза сообщает нам чистую правду: она говорит, что не является истинным высказыванием, то есть не относится к категории высказываний, которые истинны. Но она вообще не входит в категорию высказываний в рассматриваемом случае, и потому "на деле" она получается истинной!

То есть парадокс остался.

Однако, если вглядеться внимательно, то можно заметить одно очень существенное изменение, которое произошло по сравнению с предыдущей версией. Дело в том, что истинные высказывания и ложные высказывания отделяет своего рода "пропасть". Мы не в силах превратить одно в другое, не искажая правды; эти понятия вообще даже не "граничат". Совсем не то свойственно "границе" между положениями "осмысленными" и "бессмысленными". Можно привести сколько угодно примеров того, как некая фраза, не имевшая смысла вчера, стала считаться вполне осмысленной сегодня, то есть она была переведена в разряд высказываний. Например, мы могли ввести какое-то новое обозначение или термин -- так происходит сплошь и рядом. То есть "граница" между высказываниями и "всем остальным" достаточно "подвижная". Само понятие "высказывания", если брать его "целиком", является "нечётким" -- примерно таким, как понятие "куча песчинок". Применение классической логики к сфере "нечётких" понятий ведёт к парадоксам почти неизбежно, то есть тут нечему даже удивляться. Однако каков тут выход из положения? Дело в том, что "границу", без которой все рассуждения теряют смысл, установить можно, и так почти всегда поступают. Например, работают не с высказываниями "вообще", а с чётко определёнными "высказываниями данного языка", которые строятся по явно заданным правилам.

Таким образом, мы должны прийти к заключению, что границу между фразами, которые будут высказываниями, и которые не будут, установить можно, но это осуществимо, вообще говоря, очень многими способами. И эта проведённая нами "черта" будет не "бытийственной", то есть заданной "природными" или "божественными" обстоятельствами, а она будет "условной", "договорной".

...Разумеется, нельзя сказать, что нашу "границу" можно провести вообще как попало. Скажем, к числу высказываний должно быть отнесено то, что нас в первую очередь интересует, то есть то, что мы хотим исследовать. Соответственно, какие-то вещи, нас не интересующие, можно "вынести за пределы". В принципе, можно было бы задаться целью провести эту "границу" как можно лучше, то есть так, чтобы как можно большее число фраз попало в категорию "осмысленных" - при этом получается, что мы как бы стали "больше знать". Кто-то может даже задаться вопросом о том, нельзя ли построить некую "совершенную" систему этого рода. В которой мы бы знали как можно больше (а "в идеале" - в каком-то смысле даже "всё"), но чтобы при этом у нас не возникало ошибок, противоречий и прочего. То есть у кого-то может остаться намерение провести когда-нибудь такую Границу, относительно которой никто не усомнится, что именно она -- "наилучшая", и что её установили "навека" и больше не будут сдвигать или корректировать.

Но следует признать, что даже если такая мечта в принципе осуществима, на данный момент мы её не имеем. И потому удобно ввести специальный термин для обозначения "текущего положения дел". То есть ситуации, когда "граница" между высказываниями и "всем остальным" проведена как-нибудь. Я предлагаю назвать такое положение дел нашей системой знаний. При этом допускается, что она может содержать какие-то временные несовершенства, то есть какие-то ложные положения могут по ошибке считаться истинными (так часто бывает), на какие-то вопросы мы можем не знать ответа, а какие-то истинные положения могут по тем или иными причинам таковыми не считаться. Но мы готовы работать и работать, чтобы довести свою "систему" до какого-то "совершенства".

Теперь посмотрим с этой точки зрения на наш парадокс. Прежде всего, у нас сейчас в классификации имеется три вида фраз, а именно такое "чёткое" подразделение на три категории мы и обозначили как "система знаний". Поэтому сама фраза Ф' становится уже не "абсолютной", а она содержит в себе "скрытый параметр" S, который и есть та "система знаний" (или "ситуация"), о которой мы пытаемся говорить.аметим теперь простую вещь: предположим, что мы в какой-то момент "ничего не знаем", то есть мы никакое утверждение не рискнули назвать "истинным". Или, возможно, мы только начали работу, и в этот момент список истинных положений пуст. По ходу дела мы можем вносить туда что-то, в истинности чего мы не сомневаемся. Например, что будет с фразой Ф', если трактовать её по отношению к "начальной" системе S0 в которой пока ни одной фразе не придан статус "высказывания"?

Фразу мы теперь читаем так: "данная фраза не является истинным высказыванием по отношению к системе S0", и это не что иное как чистая правда. На основании этого, мы вправе присвоить такой фразе статус высказывания, причём истинного. Но "система знаний" при этом изменится. То есть, мы перейдём к какой-то новой системе, скажем, S1 где будет содержаться некая правдивая информация о предыдущей системе S0 Но для новой системы вновь может быть построена фраза, которая ставит новый вопрос. То есть, если мы спросим, истинна ли "по факту" фраза "данная фраза не является истинным высказыванием по отношению к системе S0, то надо просто посмотреть на то, как обстоит дело в нашей классификации и прийти к какому-то выводу. После чего пополнить "запас" наших знаний в случае необходимости.

...Теперь пора переходить к завершающей части. Итак, мы отвлеклись в тот момент, когда наблюдали процесс постепенного "пополнения" или "усовершенствования" нашей "системы знаний". Мы могли принять какое-то число положений и на этом остановиться. Мы также могли представить себе бесконечное число "шагов", на каждом из которых мы включали очередную фразу в состав "истин". Возможны даже более "хитрые" конструкции, когда бесконечный процесс, описанный выше, в какой-то момент полагается завершённым ("превед" Зенону! :)), и далее начинается новая бесконечная "серия". Но что произойдёт в итоге, если таковой вообще будет? Вот мы "строили, строили, и, наконец, построили". Возникла некая Система Знаний [Предположим, что она существует], которую будем теперь писать с большой буквы, и в которой, как кто-то может надеяться, всё уже в полном порядке. Мы знаем всё, что в принципе можно знать, и при этом не совершаем никаких ошибок и не впадаем в противоречие.

Обозначим эту Систему Знаний через S и порассуждаем относительно неё. Мы предполагаем, что у нас она "совершенна", то есть удовлетворяет двум условиям: она непротиворечива, то есть у нас нигде не возникает внутренних противоречий, а также нет "ошибок" - когда истинное положение считается ложным или ложное считается истинным. Кроме того, она полна то есть нет таких истинных "по факту" положений, которые таковым не считаются. Если бы мы их обнаружили, то это говорило бы о возможности усовершенствования, расширения нашей Системы. [чтобы противоречило свойствам нашей Системе Знаний].

И вот теперь, если выписать фразу Ф', отнесённую к "совершенной" системе S и вернуться к рассмотрению трёх случаев

[Напомню их, только теперь вместо Фраза Ф' следует читать Фраза Ф' по отношению к Системе Знаний S:

1) Фраза Ф' является истинным высказыванием.
Здесь получается то, что она отрицает свой собственный смысл, то есть возникает логическое противоречие.

2) Фраза Ф' является ложным высказыванием.
И здесь получается противоречие, так как по смыслу должно получиться, что фраза отрицает собственную неистинность, а потому является истинным высказыванием.

3) Фраза Ф' не является высказыванием - ни истинным, ни ложным.
Здесь выходит, что наша фраза сообщает нам чистую правду: она говорит, что не является истинным высказыванием, то есть не относится к категории высказываний, которые истинны. Но она вообще не входит в категорию высказываний в рассматриваемом случае, и потому "на деле" она получается истинной!
]

то окажется, что первые два случая означают противоречивость системы, а третий - означает её неполноту [Фраза Ф' по отношению к Системе Знаний S "на деле" является истинной, хотя в третьем случае мы предположили, что она таковой не является]...

[Мы пришли к противоречию. Значит, наше изначальное предположение о существовании Системе Знаний S неверно, т.ю. такой "совершенной" Системе Знаний не существует].

...Итак, осталось по традиции сделать заключение. Парадокс Лжеца - при корректном его рассмотрении - вовсе не ведёт к логическому противоречию и вовсе не требует перехода к "многозначным логикам". Однако он так или иначе ведёт к "подрыву" веры в какие-то принципы. Не желая отказываться от наиболее фундаментальных из них, мы пришли к выводу о невозможности создания какой-то "совершенной" Системы Знаний. Всегда будет присутствовать либо что-то, противоречащее действительности, либо что-то истинное "по факту", но таковым не считающееся. Причём попытка "исправить" положение дел ни к чему не ведёт: решая какую-то одну проблему, мы самим этим действием неизбежно порождаем проблемы новые.

На уровне чисто философском, я бы сказал, что Парадокс Лжеца вдобавок подрывает ещё и веру в то, что любую ошибку можно исправить. Sapienti sat.
http://falcao.livejournal.com/199680.html