Здесь более подробный рассказ о связях простых чисел и полиномов (теорема Мейсона–Стотерса непосредственно связано с abc-гипотезой).
В конце заметки даны замечания к ролику. Далее следует научно-популярное изложение.
Неформально, суть ABC-гипотезы в следующем. Переменные a, b, и c, которые дают гипотезе своё название, имеют ограничения. Они должны быть целыми числами, и a и b не должны иметь общих множителей, то есть, они не должны быть делимы на одно и то же простое число.
Рассмотрим теперь самое простое аддитивное равенство a+b=c.
В сущности abc-гипотеза говорит, что когда простых множителей много с левой стороны [равенства], тогда, обычно, их будет не очень много с правой стороны уравнения.http://habrahabr.ru/post/183374/
Разумеется, «много», «не очень много» и «обычно» это очень размытые слова и в формальной версии abc-гипотезы всё это выражено более точными математическими терминами. Но даже в этой упрощённой версии можно оценить последствия гипотезы. Уравнение основано на сложении, но наблюдения гипотезы говорят больше об умножении.
..«Она о чём-то очень, очень базовом, о тесной связи, которая соотносит свойства сложения и умножения чисел», – говорит Минхён Ким, профессор в Оксфордском университете...
...Эта идея не очевидна. Хотя математики и придумали сложение и умножение, основываясь на текущем понимании математики, нет никакой причины думать, что свойства сложения чисел могут каким-то образом влиять или затрагивать их свойства умножения...
...Математики говорят, что это откроет тесные взаимоотношения между сложением и умножением, о которых раньше никто не знал...
...31 августа 2012 года японский математик Cинъити Мотидзуки опубликовал в интернете четыре статьи.
Заголовки были непостижимы. Объём был пугающим: 512 страниц в сумме. Посыл был дерзким: он заявил, что доказал abc-гипотезу...
Ниже есть продолжение.
...Через три дня после того, как Мочидзуки выложил тексты своих статей в интернет, 3 сентября 2012 года, в популярном блоге математика Джордана Элленберга появилась запись, с которой, по-видимому, новость о появлении возможного доказательства ABC-гипотезы и начала свое распространение в математическом сообществе. "Шин опубликовал свое доказательство abc-гипотезы, о котором ходило много слухов, – писал Элленберг. – Я пока не начал изучать его подход, но уже сейчас очевидно, что здесь использованы методы, лежащие далеко за пределами обычного для этой темы круга идей. Глядя на них, чувствуешь себя человеком, читающим статью, написанную в будущем или на другой планете".http://habrahabr.ru/post/183374/
...По слухам, за псевдонимом Сатоси Накамото, создателя Bitcoin, скрывается всё тот же Мотидзуки. Ссылки на статьи Мотидзуки: 1, 2, 3, 4...
...Первые реакции математиков звучали примерно одинаково: "Кто-нибудь вообще понимает, что там написано?" Дело в том, что корпус текстов, которые даже профессиональный математик должен полностью разобрать, чтобы понять доказательство Мочидзуки, колоссален – сам японец оценивает его в 1500-2500 страниц. Профессор университета Ноттингема Иван Фесенко, хорошо знакомый с работами Мочидзуки, на собственном опыте оценивает время, которое может занять эта работа у подготовленного специалиста, в 250-500 часов крайне интенсивного труда.
Математика – не только строй знания, теоремы и формулы, но и сообщество со своими традициями и представлениями, в котором не очень-то принято переписывать самые устои науки, да еще в одиночку, да еще так, что никто не может разобраться в твоих идеях. Такие выбивающиеся из мейнстрима чудачества иногда встречаются, но редко воспринимаются всерьез научным сообществом. "Важно понимать, что [к доказательству Мочидзуки] относятся серьезно, потому что специалисты, разбирающиеся в вопросе, очень высокого мнения и о самом Мочидзуки, и о его предыдущих работах...
...– Если ты профессиональный математик, ты не можешь не понимать, что проверка доказательства – общая ответственность автора и математического сообщества. Мы все хоть раз получали от рецензентов замечания, что наши рассуждения "непрозрачны". Обычно в ответ на это ты переписываешь доказательство, стараясь сделать его абсолютно понятным. Мало кто вместо этого предложит рецензенту потратить пару лет на чтение всех твоих предыдущих работ [...] И Мочидзуки – как раз один из таких людей.
...Какое будущее ждет теорию Мочидзуки? Иван Фесенко уверен, что она способна совершить революцию в математике, подобную той, что случилась благодаря построению теории Галуа, или даже перевороту в физике, который совершила квантовая механика. Многие пионерские исследования встречали большое сопротивление со стороны научного сообщества, привыкшего к классическим методам, но их научный потенциал, в конечном счете, оказывался сильнее социальной косности. В середине марта в Киото прошла 10-дневная конференция по работам Мочидзуки, в ней участвовали более 50 математиков, пятеро из которых, по свидетельству Ивана Фесенко, сумели глубоко проникнуть в теорию и скоро, видимо, пополнят "ядро проверки". И тогда в мире будет 10 человек, понимающих теорию IUTeich, включая ее автора.
...Проблема, с которой столкнулись многие математики, сбежавшиеся к сайту Мотидзуки, была в том, что доказательство было невозможно прочесть. Первая статья под заголовком «Интер-универсальная теория Тейхмюллера 1: Построение театров Ходжа», начинается с утверждения, что цель работы в «разработке арифметической версии теории Тейхмюллера для цифровых полей ограниченных эллиптической кривой… с помощью применения теории полуграфов анабелиоидов, фробениоидов, эталь тета-функций и логарифмических оболочек».
Это похоже на тарабарщину не только для обывателя. Это было тарабарщиной и для математического сообщества.
«Смотря на неё, ты чувствуешь будто читаешь статью из будущего или далёкого космоса», – написал Элленберг в своём блоге.
«Она очень, очень странная», – говорит профессор Колумбийского университета Йохан де Йонг, работающий в близких сферах математики.
Мотидзуки создал столько математических инструментов и собрал столько несочетаемых областей математики, что его статья оказалась наполнена языком, который никто не мог понять. Она была абсолютно непривычной и абсолютно интригующей.
Как профессор Мун Дучин из университета Тафтса выразила это: «Он воистину создал свой собственный мир».
Должно пройти долгое время прежде чем кто-нибудь будет способен понять работу Мотидзуки, тем более оценить верность доказательства. В последующие месяцы статьи лежали камнем на плечах математического сообщества. Горстка людей подобралась к ним и начала изучать. Другие пытались, но быстро сдались. Некоторые полностью игнорировали их, предпочитая наблюдать издалека. Что же до виновника беспокойства, человека, который заявил, что решил одну из величайших проблем математики – от него не было ни звука...
...Когда Мотидзуки опубликовал свои статьи, математическое сообщество имело много причин для энтузиазма. Они были взволнованы не потому, что кто-то заявил о доказательстве важной гипотезы, а потому, кем был этот человек.
Мотидзуки славился своим выдающимся умом. Родился в Токио, затем переехал в Нью-Йорк со своими родителями, Киичи и Аннэ Мотидзуки, когда ему было 5 лет. Он покинул дом для учёбы в Академии Филлипса в Эксетере, в Нью Хэмпшире. Там он экстерном закончил учёбу через два года, в 16 лет, с отличными оценками по математике, физике, американской и европейской истории и латинскому языку.
Потом Мотидзуки поступил в Принстонский университет, где снова закончил обучение раньше остальных, получил степень бакалавра в математике за три года и быстро двинулся в сторону кандидатской, которую получил в 23 года. После двух лет преподавания в Гарвардском университете он вернулся в Японию, где присоединился к исследовательскому институту математических наук в Киотском университете. В 2002 году он стал профессором в необычно молодом возрасте — 33 года. Его ранние статьи были широко признаны очень хорошими работами.
Академическая удаль это не единственная характеристика, которая отличает Мотидзуки от остальных. Его друг, оксфордский профессор Минхён Ким, говорит, что самое выдающееся качество Мотидзуки это его полное сосредоточение на работе.
«Даже среди множества моих знакомых математиков, он демонстрирует невероятное терпение и умение просто сидеть и заниматься математикой долгие, долгие часы», – говорит Ким.
Мотидзуки и Ким встретились в начале 90-ых, когда Мотидзуки ещё учился на бакалавра в Принстоне. Ким, прибывший по обмену из Йельского университета, вспоминает, как Мотидзуки изучал работы французского математика Александра Гротендика, чьи работы по алгебраической и арифметической геометрии обязательны к прочтению для каждого математика в этой сфере.
«Большинство из нас постепенно приходят к пониманию [работ Гротендика] в течении многих лет, после нескольких периодических погружений», –сказал Ким. – «Добавьте к этому тысячи и тысячи страниц».
Но не Мотидзуки.
«Мотидзуки… просто прочитал их от начала до конца сидя за своим столом», – вспоминает Ким. – «Он начал этот процесс, когда был ещё студентом последних курсов, и за пару лет он уже закончил».
Через пару лет после возвращения в Японию Мотидзуки обратил своё внимание на abc-гипотезу. В последующие годы появились слухи о его уверенности в том, что он разгадал головоломку, а сам Мотидзуки сказал, что ожидает результатов к 2012 году. Поэтому, когда статьи появились, математическое сообщество уже ждало с нетерпением. Но потом энтузиазм пропал.
«Его другие работы – они читаемы, я могу их понять и они поразительны», – говорит Де Йонг, работающий в схожей области. Прохаживаясь по своему офису в Колумбийском университете, Де Йонг качает головой, вспоминая первое впечатление от новых статей. Они были другими. Они были нечитаемы. После работы в изоляции более десяти лет, Мотидзуки построил математический язык, который только он сам может понять. Чтобы только начать разбирать четыре статьи опубликованные в августе 2012, нужно прочитать сотни, может тысячи страниц его предыдущих работ, ни одна из которых не была проверена или рецензирована. Потребовался бы по крайней мере год, чтобы прочитать и понять всё. Де Йонг уже подумывал взять отпуск и собирался потратить год на статьи Мотидзуки, но когда он увидел высоту этой горы, он спасовал.
«Я решил, что я в жизни не смогу это сделать. Это сведёт меня с ума»...
...Шли месяцы, и общее молчание начало подвергать сомнению основное правило математических научных кругов. Дучин объясняет его так: «Доказательства верны или не верны. Общество выносит вердикт».
...Теоретическая математика, более известная как «чистая» математика, не имеет физического или видимого стандарта. Она целиком основывается на логике. Чтобы знать, что ты прав, необходим кто-то ещё, желательно много других людей, кто прошёл бы по твоим следам и подтвердил, что каждый шаг был верен. Доказательство в вакууме не является доказательством.
Даже неверное доказательство лучше чем его отсутствие, потому что, если идеи отличаются новизной, они ещё могут быть полезны для других проблем или могут подтолкнуть другого математика к нахождению правильного ответа. Таким образом, самый главный вопрос не в правоте Мотидзуки, гораздо важнее, выполнит ли математическое сообщество свою роль и прочитает статьи?
Перспективы туманны. Шпиро является одним из немногих, кто делал попытки понять отрывки из статьи. Он проводит еженедельные семинары с учёными из Городского университета Нью-Йорка для обсуждения статьи, но он говорит, что они ограничены «местным» анализом и ещё не понимают большой картины. Единственный кандидатом остаётся Го Ямасита, коллега Мотидзуки в Киотском университете. Согласно Киму, Мотидзуки проводит частные семинары с Ямаситой, и Ким надеется, что Ямасита затем объяснит работу. Если Ямасита не справится, то неясно, кто ещё сможет осилить задачу.
Пока всё, что может делать математическое сообщество это ждать. Пока они ждут, они рассказывают истории и вспоминают великие моменты в математике — год, когда Уайлс победил Великую теорему Ферма, как Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. Колумбийский профессор Дориан Голдфелд рассказывает историю Курта Хегнера, учителя старшей школы в Берлине, который решил классическую проблему, предложенную Гауссом: «Никто не поверил в это. Все известные математики фыркнули и отвергли его». Статья Хегнера собирала пыль больше десяти лет пока наконец, спустя четыре года после его смерти, математики поняли, что Хегнер всё это время был прав. Ким вспоминает доказательство Великой теоремы Ферма, которое предложил Йоичи Мияока в 1988 году, которое получило много внимания от СМИ пока в нем не обнаружились серьёзные недостатки. «Ему было очень неловко», – вспоминает Ким.
Пока они вспоминают все эти истории, Мотидзуки и его доказательства висят в воздухе. Все эти истории могут быть возможными концовками. Вопрос лишь какая?
Ким остаётся одним из немногих людей, кто оптимистичен касательно будущего этого доказательства. Он планирует конференцию в Окфсордском университете в этом ноябре, и он надеется пригласить Ямаситу прийти и рассказать то, что он узнал от Мотидзуки. Возможно тогда станет известно больше.
...Возможно, история с abc-гипотезой представляет собой случайность, а возможно, это проявление закономерного хода событий, который можно назвать древнеегипетским синдромом. В Древнем Египте, наука была исключительной, герметической прерогативой жрецов. Сначала их перестал понимать простой люд, а потом, возможно, перестали понимать друг друга и они сами. Синдром этот наблюдается не только в математике, но, похоже, что и в физике тоже. Говорят, что суть знаменитого бозона Хиггса по-настоящему понимает лишь сотня-другая теоретиков, остальные воспринимают сказанное на веру. Эйнштейн не признавал квантовую механику, а его общую теорию относительности поначалу не признавал почти никто – он так и не получил за нее полагающейся Нобелевской премии. Больше того, понимание в науке вообще все больше и больше отходит на задний план, уступая место результатам компьютерного расчета. Результатам этим верят безусловно, не понимая их, - потому что ничего другого не остается.
http://www.svoboda.org/content/article/26921920.html
http://polit.ru/news/2013/04/03/ps_ABC_hypothesis/
Замечание 1: Великая теорема Ферма в ролике доказана из утверждения более сильного чем АВС-гипотеза.
Замечание 2: Вместе с тем, из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших z, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней.
Замечание 3: Утверждение, что $3^{2^k}-1$ делиться на $2^{k+2}$ следует по индукции по k из равенства 3=1+2 используя формулу бинома Ньютона.
Замечание 4: Приведённое в ролике доказательство abc-гипотезы для полиномов можно найти здесь в приложении "Другое доказательство гипотезы abc для полиномов, полученное Н. Снайдером". Там же можно найти и доказательство леммы и более подробный рассказ о связях простых чисел и полиномов (теорема Мейсона–Стотерса непосредственно связано с abc-гипотезой).
No comments:
Post a Comment