Saturday, August 08, 2015

Так считали древние. Вавилон

Заметка полностью. Форматирование моё.

Это продолжение задуманной мной серии про историю вычислений и счета. Первая статья про Египет здесь.

Сейчас я попробую немного рассказать о другой великой цивилизации и культуре прошлого. Вавилонское царство возникло в начале 2-го тысячелетия до нашей эры, оно пришло на смену Шумеру и Аккаду и существовало до завоевания Персами в 539 г. до н.э. Писали в Вавилоне, как все помнят, на глиняных табличках с помощью клинописи, которые очень неплохо сохраняются в отличие от бумаги, папируса, и подобных вещей, поэтому мы знаем достаточно много и про Вавилон, и про его математику. Но, конечно, мы не знаем всего. В отличие от греков вавилоняне не оставили точных алгоритмов и ясных объяснений своих приемов. Теперь мы можем только догадываться как именно вавилоняне действовали в том или ином случае при решении задачи. В этой работе я сосредточусь в основном на вавилонской арифметике, оставив в стороне геометрию, алгебру и астрономию.


Ниже есть продолжение.

Вавилоняне в математике продвинулись намного дальше египтян, насколько нам известно, хотя и не сравнялись с греками, видимо. Они уже умели решать квадратные уравнения, кроме того имели некоторые зачатки числовой алгебры. Одно из их достижений было введение позиционной шестидесятеричной системы счисления без нуля. Это означает, что обращение с числами стало значительно более гибким и простым, чем в Египте. Точно не известно, откуда взялась такая система. Одна из версии говорит, что к ней привело смешение 6-ичной и 10-ичной систем народов Шумера и Аккада. Но существуют и другие мысли на этот счет.

Эта система, к сожалению (может и к счастью, не хотелось бы учить их таблицу умножения) не была освоена другими народами Древнего Мира, и пришлось ждать прихода индийской позиционной системы. Однако, кое-какое отражение вавилонской математики в нашей культуре осталось: деление минуты на шестьдесят секунд и часа на 60 минут — это отзвук древней вавилонской системы счисления.

Цифры и система счисления



На картинке показано, как вавилоняне обозначали 1 и 10. С их помощью изображались все числа от 1 до 59. На картинке ниже показано число 33. Это аналогично римской и другим непозиционным системам записи чисел.



Число 60 обозначалось точно так, как и единица. В начале оно рисовалось крупнее, но позже это различие стерлось. Числа больше 60, но меньше, чем 120 обозначались следующим образом: сначала писалось число 60, потом через пробел остальная часть числа, меньшая 60.
Ниже пример числа 63



Числа вида K*60+n (1<=K<60; n=1, 2, 3, ... 59) обозначались по аналогии, так, как на примере ниже.



У Вавилонян не было 0, но со временем они придумали использовать знак, который обозначал пропущенные разряды. Этот знак применялся, только для разрядов внутри числа и не ставился в конце. Вот пример на картинке.




Проблема в том, что это число можно было бы прочитать и как 2*60^2 +2, и как 2*60^5+2*60^3. Весьма неудобно! Такая система записи должна была бы вести к многочисленным ошибкам, вам не кажется? Вавилоняне старались очень тщательно отделять разряды, чтобы избежать путаницы (гораздо аккуратнее, чем я). Все же в некоторых случаях ошибки очень вероятны. Известны примеры больших чисел, когда часть числа переносилась на другую строку. Попробуй тут разберись, что имелось в виду! Но число ошибок в вавилонских текстах невелико, хотя они кончено есть.
Этим же способом обозначали и дроби. Только для весьма популярных 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.
Везде дальше я буду записывать вавилонские числа, отделяя разряды запятой и целую часть от дробной с помощью точки с запятой. Например: 177 будет 2,57 и т.д. Пропущенные разряды, я буду заменять 0.

Вычисления

Поскольку система Вавилонян была позиционной, то их вычисления были очень похожими на наши. При вычитании и сложении они просто складывали и вычитали числа поразрядно. Дополнительным плюсом было то, что шестидесятеричные цифры обозначались непозиционным способом при помощи единиц и десятков, и в такой системе вычитать и складывать гораздо проще, чем в наших абстрактных обозначениях, требующих выучивать специальную таблицу сложения.

Умножение, как можно догадаться, тоже было аналогично нашему. Но как они пользовались своей громадной таблицей умножения? Учили ее наизусть? У них были заготовлены специальные таблицы, где можно было смотреть произведения.

От Вавилонян до нас дошло много таблиц умножения, но они не включали в себя все произведения “однозначных” чисел, как наши десятичные таблицы. Их таблицы начинались от 1 до 20 включительно, затем следовали произведения на 30, 40, 50. Если вавилонян хотел умножить 35 на 47, то ему нужно было найти в таблице сначала 35*40, а затем 35*7 и сложить. Это требовало лишних действий, но таким образом можно было значительно сэкономить место.

Деления, как самостоятельного действия вавилоняне не знали. Вместо него они использовали умножение на обратное число. Для этого, конечно, им были нужны таблицы обратных чисел. Например, если нужно было разделить 1,15 на 5 то вавилонянин находил 1/5, что в их нашей записи будет 0;12 и умножал 1,15 на 0;12. Если такое число не выражалось конечной шестидесятиричной дробью, то вавилоняне искали такое число которое при умножении на делитель давало делимое.

Например, нужно разделить 22,45,0 на 6,30. В данном случае формулируется такое условие: “Что нужно взять с 6,30 чтобы получить 22,45,0? ” Ответ 3,30. Разумеется, вавилоняне пользовались и приближенными значениями, когда было необходимо.

Таблицы обратных величин выглядели примерно так:



2 30
3 20
4 15
5 12
6 10
8 7;30
9 6;40
12 5
15 4
16 3;45
18 3;20
20 3

[Читать надо так, "обратное число" числу 2 будет $\frac{30}{60}$ или
"обратное число" числу 8 будет $\frac{7}{60}+\frac{30}{3600}$.]

И так далее.
Кроме таблицы обратных значений, вавилоняне имели и много других таблиц: квадратов, кубов, квадратных и кубических корней и некоторые другие.

Задачи

Какие задачи умели решать вавилоняне?
Например такие:
“10 братьев и 1 целая и 2/3 мины серебра. Брат выше брата. На сколько он выше я не знаю. Доля восьмого брата 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше? ”

адача в том, чтобы разделить сумму между братьями так, чтобы доля каждого составляла арифметическую прогрессию и найти разность этой прогрессии.
Конечно, Вавилоняне решали и задачи на проценты. В том числе и задачи на сложные проценты:
“Один гур он отдал в рост. Через сколько лет он вырастет на самого себя?”

Процент предполагается 0;12 годовых. Некоторые исследователи предполагали, что вавилоняне владели зачатками логарифмов. Другие с ними несогласны.
Еще один пример включает в себя квадратные уравнения:

«Площадь двух квадратов складываю, и это есть 37,5. Сторона одного квадрата составляет 2/3 стороны другого квадрата. 10 к стороне большего прибавлено, 5 к стороне меньшего прибавлено. Эти квадраты суть что?»

В таблицах эти задачи даются с объяснением их решения. Можно видеть, что вавилоняне знали квадратные уравнения и системы линейных уравнений.
Знали вавилоняне и квадратные корни, которые вычислялись по приближенным формулам:
«Диагональ квадрата есть 10. Найди сторону квадрата. 10 с 0;42,30 перемножь 7;5 есть сторона. 7;5 с 1;25 перемножь. 10;25 это дает».
http://geektimes.ru/post/252310/

Из комментариев:

>>“Один гур он отдал в рост. Через сколько лет он вырастет на самого себя?”

Обратная ситуация — на сколько вырастет доход при 100 % годовых и максимальной частоте капитализации процентов — это и есть число Эйлера e.

К сожалению в школах про это не говорили и не привызявали к реальности.

Конкуренция идей и ценностей все чаще напоминает "мягкую" гонку вооружений.

Заметка полностью. Форматирование моё.

Если речь заходит о слабостях российского внешнеполитического арсенала, все комментаторы — и доброжелательные, и не очень — сходятся в одном: дефицит «мягкой силы». То есть способности при помощи собственного примера, обаяния и убеждения (а не принуждения) привлекать других к осуществлению своих начинаний и реализации интересов. Проблема не раз признавалась и официально, правда, систематической работы по ее решению не получалось — ни тогда, когда нанимали специальные иностранные компании, ни тогда, когда пытались активизировать работу государственных учреждений.

Ниже есть продолжение.

Бюджеты на это, скорее всего, будут выделять и дальше. Но меняющаяся международная среда сказывается и на судьбе «мягкой силы», придавая ей другой смысл, не тот, что хотели вложить авторы понятия.

В оборот его ввел выдающийся американский дипломат и ученый Джозеф Най сразу после окончания большого идеологического противостояния — в 1990 году. Возникновение этой идеи именно тогда символично. Холодная война завершилась без крупного вооруженного столкновения. Сама жизнь, как представлялось, продемонстрировала бессмысленность накопленных танковых армад, мегатонн и мегаватт, способных многократно уничтожить планету. Победу одержали прежде всего невоенными способами — культурно-идеологическими и экономическими.

В невоенных методах воздействия не было ничего нового — они существовали на протяжении всей человеческой истории. Однако концепция Ная внесла важный нюанс, не только академически описав этот феномен, но и формально признав его политическим инструментом.

Джозеф Най легитимировал культурно-идеологическое влияние в качестве способа проведения национальной политики в интересах конкретной страны.


Вообще слово power — сила, власть (неслучайно в русском обороте встречался и перевод «гибкая власть») — отсылает к классическому видению международных отношений как силового взаимодействия. То есть сфера применения силы расширилась.

Джозеф Най писал прежде всего о Соединенных Штатах. Предполагалось, что и остальные могут (и должны) соревноваться теми же методами, но США заведомо обладают наибольшим потенциалом «мягкой силы», ведь благодаря ей они и победили в холодной войне. Вообще считалось, что торжество «мягкой силы» знаменует собой начало другой эпохи, когда сила традиционная оставалась бы уделом отношений с немногими странами-смутьянами (они же изгои), а приличные державы общаются по-другому.

Результат получился не вполне ожидавшийся. Во-первых, все согласились с тем, что это самое культурно-политическое «мягкое» влияние — средство политики. А значит, может служить достижению чьих-то целей, и его нужно соответственно воспринимать. И противодействовать ему. Во-вторых, надо учиться применять в ответ свою «мягкую силу». В-третьих, если ее потенциал недостаточен, отвечать приходится другими способами, мягкость которых сомнительна.

«Цветные революции» — яркий пример того, что получается, когда «мягкие» и «твердые» формы влияния вступают во взаимодействие, которое перерастает в клинч. На родине понятия «мягкой силы» поддержку демократизации в странах, отстающих на пути прогресса, считают законным способом его ускорения. Власти же государств, которые становятся объектом такого воздействия, видят в нем проекцию силы (пусть и необычного ее вида) в интересах другого государства. И либо стремятся перекрыть соответствующие каналы, либо реагируют применением той силы, которой обладают, — репрессивным аппаратом.

Меняется не только понятие силы, изменения претерпевает и трактовка войны. О «гибридных» боевых действиях твердят в связи с Украиной, но война вообще принимает другие формы, когда главными ее средствами, одобряемыми в Америке, например, становятся беспилотники, санкции и действия в киберпространстве.

То есть грань между видами силы, между мирным и военным вообще стирается.

Что дает основания правительствам произвольно интерпретировать любые виды иностранной деятельности как требующие отпора. И если в странах с системами разной степени авторитарности (включая Россию и Китай) это вписывается в общие подходы, то в государствах с устоявшейся демократией такое в новинку, однако тоже набирает обороты.

Печальная примета современности — новая милитаризация дискурса. С одной стороны, разгорается риторика настоящей холодной войны с угрозами разместить танки и контингенты. С другой — новые понятия, которые должны были сделать соперничество более мирным, тоже приобретают военизированный оттенок. Жертвами будут простые граждане, которым в очередной раз станут ограничивать пространство для жизни. Но им не привыкать.

Forbes
http://www.globalaffairs.ru/redcol/Yastreby-mira-pochemu-kontceptciya-myagkoi-sily-ne-prekratila-voiny-17611

Экс-глава ШАБАКа заявил об угрозе религиозного сионизма

Заметка полностью.

Юваль Дискин, бывших глава Службы общей безопасности (ШАБАК), предупредил, что "религиозный сионизм стремится захватить контроль над Государством Израиль".

Об этом Дскин написал на своей странице в Facebook в пятницу.

"Могут ли два еврейских государства существовать в рамках одного двунационального государства? … Устарело ли понятие два государства для двух народов? Абсолютно, нет. Государство Иудея возникает рядом с Государством Израиль", - написал Дискин.

Ниже есть продолжение.

"У Государства Иудея есть разные стандарты, разные системы ценностей, разные подходы к демократии, и есть две правовые системы. Одна судит евреев (по израильским законам) и одна палестинцев (по законам обеспечения безопасности). Нравится вам это или нет, эти правовые системы судят в соответствии с различными критериями одинаковых правонарушений. Государства имеют границы? В большинстве случаев. Даже между этими двумя государствами имеется четкая граница - забор безопасности или разделительный барьер, предназначенный быть буфером между нами и исламским/палестинским террором, но на самом деле он создает границу между двумя еврейскими государствами", - считает бывший глава ШАБАКа.

"Это, без сомнения, победа идеологии религиозного сионизма, но это пиррова победа. Это трагическая победа", - написал он.

После завершения срока на посту главы ШАБАКа Юваль Дискин проявил себя как критик политики премьер-министра Нетаниягу в отношении мирного процесса с палестинцами.

Дискин лоббирует соглашение с Палестинской автономией, в котором одно из условий предусматривает уход Израиля с палестинских территорий. Во время выборов в кнессет Дискин примкнул к главе блока Сионистский лагерь Ицхаку Герцогу.
http://cursorinfo.co.il/news/novosti1/2015/08/08/eksglava-shabaka-zayavil-ob-ugroze-religioznogo-sionizma/

Так считали древние. Египет

Заметка полностью.

Мало кто задумывается, что те приемы, которые мы используем для письма и счета формировались на протяжении многих тысяч лет. Нам они кажутся очевидными, ну, подумаешь, умножить в столбик, перенести все члены с неизвестным на одну сторону. Ведь это так просто! На самом деле это огромные интеллектуальные завоевания человечества, которые часто были недоступны умнейшим людям прошлого. Я собираюсь (если хватит терпения и времени) написать несколько заметок о том, как считали в прошлом. В этой я расскажу про то, как считали египтяне.

Ниже есть продолжение.

Меня всегда немного интересовал древний Египет. Ну, во-первых, Египет — одно из первых государств, о котором мы много знаем, и кроме того, это очень великое государство, которое оставило огромное наследие. Я не имею в виду огромные размеры пирамид. Даже наша письменность и латинская, и кириллическая восходит к древнему Египту. Мне также всегда нравилась египетская скульптура, и мода брить голову у женщин и мужчин. Это кажется очень современным. Но это статья не о художественной культуре. Так что приступим.

Цифры и числа

Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой счисления. Выглядели цифры примерно так:



Эти цифры относятся к т.н. иероглифическому письму, которое позже было заменено иератическим. Я очень люблю иератическое письмо. Оно выглядит весьма стильно. Но здесь я буду использовать иероглифическое начертание.
Все целые числ образовывались путем повторения знаков, приведенных выше (и некоторых других для еще более высоких разрядов). Например, 3215 будет:



Очень ясная система, хотя не слишком лаконичная. Ее просто освоить, но числа получаются не слишком удобными. С первого взгляда трудно уловить точное значение числа. Писали египтяне в разных направлениях, но я здесь пишу как привычно нам слева на право.
Теперь насчет дробей. Для трех дробей существовали специальные значки:




Все остальные дроби, у которых в числителе была единица, обозначались знаменателем и похожим на глаз значком сверху. Например, ниже я написал 1/14



Все правильные дроби записывались как сумма таких дробей. Например:



На одном сайте я прочитал, что «в некоторых случаях» египетские дроби «лучше наших». И даже в английской вики, есть такой чудный пример: «Египетские дроби иногда легче позволяют сравнить размер дробей. Например, если некто хочет знать, больше ли $\frac{4}{5}$, чем $\frac{3}{4}$ он может превратить их в египетские дроби:

$\frac{4}{5}= \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{20}$
$\frac{3}{4}= \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$


Мне этот «легкий способ» напоминает шутку про Фейнмана, который ради какой-то задачи школьного курса просуммировал ряды в уме. Я гуманитарий и особо не умею считать, но сравнивать в уме обычные дроби в их нормальной записи мне кажется гораздо проще, чем переводить их в египетский вид. Возможно, для египтян сравнения такого рода и были более удобны, так как наших дробей они не знали.

Сложение и умножение
Ну, вот мы и переходим к главному. Как египтяне считали? Сложение и вычитание целых чисел у них происходило также как и у нас, а может быть даже проще, им ведь просто нужно было объединить иероглифы и учесть смену разрядов. А как обстоит дело с умножением и делением? В древнеегипетском мире это была вовсе не тривиальная задача.
Египтяне использовали такой алгоритм для умножения. В два столбца писались числа. Первый столбец начинался с единицы, а второй с множимого. Затем каждое число в столбце удваивалось до тех пор, пока из некоторых чисел первого столбца не удастся сложить множитель. Вы поняли? На примере понятно лучше. Например, 7 на 22

1 22
2 44
4 88

8 уже больше, чем 7, поэтому табличка заканчивается на четырех. Теперь 1+2+4=7 значит 22+44+88=154 Хотите верьте, хотите нет но 154 это верный ответ. Конечно в египетской записи (я не знаю, как она точно выглядела) такие вычисления были проще, ведь умножать на 2 в египетской записи очень просто.
Еще пример, немного сложнее: 13 умножить на 57

1* 57
2 114
4* 228
8* 456

1+4+8=13 и 57+228+456=741
Иногда, чтобы ускорить процесс прибегали к умножению на 10.
Может возникнуть вопрос, всегда ли можно представить множитель в таком виде? Да, на самом деле мы фактически имеем дело с двоичной системой счисления:
1*20+0*21+1*22+1*23 т.е. 1+100+1000=1101

Деление выполнялось при помощи схожего алгоритма. Разделим 238 на 17:
Опять составляем табличку с одной стороны, которой стоит 17 с другой единица. Процесс удвоения останавливается на числе, которое при удвоении будет больше делимого.

1 17
2 34
4 68
8 136

Здесь нужно составить число 238 из чисел второго столбца, начиная с конца. 136+68+34=238, значит нам нужны числа 8+4+2=14. Итак, 238/17=14
К несчастью, деление не всегда приводит к целому числу. В ряде случаев это было довольно сложно. Я покажу простой пример, заимствованный мной из одной книги.
Разделим 213 на 8
Сначала все, как обычно


1 8
2* 16
4 32
8* 64
16* 128


Здесь мы останавливемся, ведь 128 на 2 = 256, а это больше 213. 128+64<213. 128+64+32 уже опять больше. Не подходит. 128+64+16<213 Пока все ОК. 128+64+16+8 уже больше. Значит мы смогли набрать только 208=128+64+16 из 213. И нам осталось разделить 213-208=5 Мы делим делитель по полам, используя уже привычную таблицу. К счастью 5 это 1+4.

$\frac{1}{2}$* 4
$\frac{1}{4}$ 2
$\frac{1}{8}$* 1

Таким образом, окончательный результат будет
213/8 = 2+8+16+1/2+1/8 =26+1/2+1/8
Сейчас мы имеем удачный случай, но так получается не всегда.
http://geektimes.ru/post/240900/

P.S. Избранные комментарии:

В избранное однозначно — как тема для школьников — непозиционные системы счисления.

Интересно будет ли наша текущая десятичная система исчисления с арабскими цифрами в будущем архаичной? Может через 1000 лет все будут считать в шестнадцатеричном виде или ещё каком.