Monday, July 10, 2017

Математическая статистика (и элементарная теория вероятности)



Нормальное распределение


См. также:
Теорема Лебега о разложении меры

Элементарная теория вероятности - Аксиомы теории вероятности, Формула полной вероятности и формулы Байеса, испытания Бернулли, дискретные и непрерывные случайные величины, Мат. ожидание и дисперсия, Биномильное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение; равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение. Закон больших чисел, центральная предельная теорема.

Статистика - линейная регрессия, случайные функции, основные понятия математической статистики, генеральное и групповое среднее, генеральная и выборочная дисперсия, групповая, межгрупповая и общая дисперсия, интервальные оценки, проверка гипотез, основы дисперсионного анализа, основы корреляционного анализа, метод Монте-Карло.


См. также:
Интеграл Эйлера - Пуассона

В данном курсе не вводятся бесконечные вероятностные пространства (см. ниже).

Ниже есть продолжение.

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии. Но при изучении этих последних применяются существенно новые принципы: предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей выполняется ещё следующая


Аксиома непрерывности. Для убывающей последовательности
$x_1 \supseteq x_2 \ldots \supseteq x_n \supseteq \ldots$
событий из $\mathcal{\Omega}$ такой, что
$\bigcap_{n} x_n = \emptyset$
имеет место равенство
$\lim_{ n \rightarrow \infty } \mathbf{P}(x_n) = 0.$

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий.

Заметим, что если система событий $\mathcal{\Omega}$ конечна, аксиома непрерывности следует из других аксиом. Для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности является независимой от остальных аксиом.

При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме непрерывности, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Алгебра $\mathcal{\Omega}$ событий пространства элементарных исходов $\Omega$ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы $\sum_{n} x_n$ событий $x_n$ из $\mathcal{\Omega}$ принадлежат $\mathcal{\Omega}$. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют $\sigma$ -алгебрами событий (сигма-алгебрами).

С точки зрения теории множеств полное аксиоматическое определение вероятности есть не что иное, как введение в множестве $\Omega$ нормированной, счетно-аддитивной, неотрицательной меры P, определенной для всех элементов множества $\Omega$.

См. также:
Теорема Каратеодори о продолжении меры. Из теоремы в частности вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.




No comments:

Post a Comment