Sunday, July 30, 2017

Человечество снова приходит от предельной анонимности – к предельной антианонимности

Две заметни вмместе полностью.

Не устаю удивляться эффекту притяжения мыслей. Стоило мне написать об анонимности в интернете (см. ниже) и порассуждать о том, что было БЫ, если бы полная информация о каждом лежала в открытом доступе, за что на меня накинулись возмущённые читатели, как пришло известие, что нечто подобное, и даже больше того – уже осуществляется. В Китае.

Став во главе Китая, Си Цзиньпин начал с жесткой борьбы с коррупционерами в рядах партийцев, а теперь намерен взяться за все общество. С помощью цифровых технологий и big data система будет анализировать данные о каждом гражданине, присваивая ему индивидуальный рейтинг. Законопослушных обладателей высокого рейтинга ждут льготы и поощрения, низкого – трудности и остракизм

Я не хочу обсуждать технические детали - меня интересует сам принцип.

А принцип состоит в том, что человек перестаёт быть анонимным и соответственно жизнь его больше не тайна. Всем заинтересованным может стать в любой момент известно, кто он такой, где учился, чем занимался, куда ездил и т.д. и т.п. Это ужасно! Это новый тоталитаризм! Совершенно верно – тоталитаризм. Только нового в нём ничего нет. Напротив, он стар, как мир.

Именно ТАК человечество жило многие-многие века и тысячелетия. Это, по сути, деревенский, местечковый образ жизни, где каждый знал всё о каждом. Точно так же было в заводском цеху, в рабочем посёлке, во дворе ведомственного дома. У каждого подъезда сидели старушки, которые следили за всем, происходящим во дворе, делали замечания всем детям двора, а не только своим: это была форма социального контроля. Разумеется, нельзя было жить без прописки или не там, где прописан. Нельзя было уклониться от записи ребёнка в школу или от прививки.

Ниже есть продолжение.

А вот что писал отец демократии Бенджамин Франклин: «Стук твоего молотка, который твой кредитор слышит в 5 часов утра и в 8 часов вечера, вселяет в него спокойствие на целых шесть месяцев; но если он увидит тебя за бильярдом или услышит твой голос в трактире в часы, когда ты должен быть за работой, то он на следующее же утро напомнит тебе о платеже и потребует свои деньги в тот момент, когда их у тебя не окажется». Что вы хотите - деревня! Все за всеми приглядывают.

Твёрдый и неуклонный социальный контроль – необходимейшая вещь. Все религии пытались интериоризировать, т.е. поместить внутрь человека, этот контроль, но до конца это не удалось ни одной из них. Без внешнего контроля большинство людей разбалтывается и идёт вразнос.

Только исторически недавно, на рубеже XIX и XX веков, когда деревня хлынула в город, когда города неконтролируемо разрослись, возникла та самая анонимность, за которую многие так пылко ратуют. Приехать невесть откуда невесть зачем, затеряться в каменных джунглях, и делать такое, о чём в деревне и помыслить совестно – так нынче живут миллионы. И не моги ничего ни у кого спросить и проверить, поскольку privacy.

Наша эпоха – это эпоха диктатуры privacy. Но жизнь не стоит на месте, она развивается, и развивается, как установлено, по спирали. И вот сегодня, на новом её витке, человечество снова приходит от предельной анонимности – к предельной антианонимности.

На новой технологической базе возрождается Деревня.

Снова о каждом всё известно или может быть легко узнано. Притом не только формальные характеристики вроде образования, или местожительства, или рода подлинных занятий. Можно узнать вещи почти интимные: вкусы, взгляды, интересы. И от всевидящего контроля не спрятаться-не скрыться. Ты теперь не анонимен, а контроль – невидим. Что-то вроде нового Господа Бога.

Кто будет этим недреманным оком? Разумеется, государство. Оно наконец технически сможет стать тоталитарным. То, что в прежние времена называлось тоталитаризмом, - это были лишь дальние подступы к нему.

«Меньше государства!» - был давний лозунг Маргарет Тэтчер. Маркс тоже рассуждал об отмирании государства при коммунизме. Но сменилась эпоха, и государства становится не меньше, а больше. Некоторые говорят даже о грядущем цифровом концлагере, который покроет собою всё пространство жизни.

Мне кажется, условный тоталитаризм (лучше сказать – этатизм), когда государство является главной организующей силой общества, может быть и ужасным, и прекрасным – в зависимости от целей этого государства. Целью государства должно быть БЛАГО, если угодно ПРАВДА, а не балансировка интересов сильных людей и их групп, а то и просто обслуживание интересов транснациональных корпораций, как происходит ныне. Государство блага и правды не только не должно отделять от себя церковь, более того – в некотором смысле оно само должно стать своеобразной церковью. С.С. Сулакшин выработал идею «нравственного государства». При всей внешней наивности эта концепция по сути очень верна. Если государство – нравственное, очень даже полезно, если оно будет охватывать всё пространство жизни и всех контролировать. Оно будет принуждать к правильному, достойному поведению, соответствующему высшим, божественным целям. Если этого нет, то цифровые технологии превратят жизнь в худший род ада.

...

резидент В.Путин подписал указ против анонимности в сети и об урегулировании похожих на СМИ сервисов. Это следует из «Стратегии развития информационного общества в Российской Федерации на 2017-2030 годы».

Говорят, в Китае так и есть: хочешь читать –, можешь оставаться анонимом, а захочешь писать – открой личико, расскажи общественности, кто ты такой есть. Не хочешь? Ну тогда оставь свои соображения при себе; может, оно и к лучшему: информационного шума меньше будет.

«Не могу молчать!»? Тогда сообщи хотя бы самые общие сведения о себе, вроде тех, что публикуют в журналах об авторах: где учился, где трудился, что сочинил. Очень даже демократично: у каждого есть выбор, и никто никого ни к чему не принуждает.

Я не знаю, насколько осуществимо иметь такие сведения на каждого, но было бы это очень полезным и дисциплинирующим делом. А то сегодня интернет живо напоминает улицу нашего посёлка, по которой я иду с моим громадным овчаром Волчком. Из-за каждого забора, а заборы у нас глухие, раздаётся разноголосый задорный брёх, и чем тоньше голосок – тем задорнее. И то сказать, бояться шавкам нечего: заборы у нас крепкие и непрозрачные: брехуна не видно. Ликвидировать «забор» в интернете или, по крайней мере, сделать его прозрачным – вот что надо.

Уверена: кто-то уже выстукивает инвективу власти, уличая её в неуважении к privacy, в попрании свободы слова, а то и прямо – чего уж мелочиться! – в сталинизме, фашизме, гулаге и тридцать седьмом годе. Люди будут бояться преследований за своё свободное самовыражение, им заткнут рот, никто не узнает этой самой благодетельной правды – ну, сами знаете, что принято говорить в подобных случаях. Любят цитировать давнего фрранцузского автора Андре Жида, который говорил: «чтобы иметь возможность свободно мыслить, надо иметь гарантию, что написанное не будет иметь последствий для автора». Я не знаю, какие последствия имел в виду французский литератор, но во многих случаях последствия бывают и очень благотворными: автора могут похвалить, а могут - назвать лгуном и невеждой. И это будет не какая-то ни к чему не относящаяся картинка на аватарке, а вполне определённый Иван Петрович Сидоров из Нижнего Тагила, по профессии учитель, ныне временно не работающий (например).

Зная, кто именно тот человек, что высказывается на ту или иную тему, лучше воспринимаешь его сочинение. Например, вы читаете статью о воспитании детей, написанную матерью пятерых детей и одновременно учительницей с тридцатилетним стажем (такая была среди учителей моей дочки) или гламурной журналисткой чайлд-фри. Кому вы больше поверите? Нет, никому не запрещается высказываться на любые темы, но полезно знать, кто таков и чем снискивает пропитание «в реале» наш автор.

Не случайно на уроках литературы «проходят» биографии писателей. Как поучительно было бы иметь ну не биографию, конечно, а хоть кратчайшее «резюме» блогера или другого какого автора. И получится, что об управлении государством или об иных вселенских материях рассуждает интеллигент, не управлявший сроду даже киоском в подземном переходе и не имеющий некнижного представления о том, каково это вообще - управлять. Это вовсе не обязательно управлять киоском – говорите? Совершенно согласна. Но знать, кто таков наш глобальный мыслитель – очень полезно и поучительно.

Всё это подорвёт ту самую privacy, дивно прекрасную, как заморская птица, для которой в нашем языке даже слова не нашлось? Может, и подорвёт… А давайте расхрабримся и подумаем вот над чем. Что бы случилось, если бы ВСЯ информация обо всех жителях нашей страны лежала бы в открытом доступе. Ну, чисто гипотетически. Положим, чтобы всем было доступно знать о каждом: местожительство, род занятий, где учился, семейное положение, дети, ну ещё что-нибудь; надо подумать, что именно. При знакомстве люди обмениваются ссылками на эту информацию – вроде как визитными карточками – таково правило вежливости. Погодите приходить в ужас – это чистая гипотеза. Мысленный эксперимент. Что тогда будет? Мне кажется, люди будут гораздо меньше врать и жульничать, чем они делают это сегодня. Они будут под колпаком? Ну, во-первых, целенаправленно и за деньги можно узнать что угодно о ком угодно: это и делается в коммерческих целях. А во-вторых, у честного и законопослушного человека нет причин скрывать, где он учился или работал. Вот если он там не учился, а работал на совершенно ином поприще – вот тогда… тогда остаётся только визгливо защищать свою личную тайну и персональную информацию.

Отсутствие анонимности само по себе заставит людей серьёзнее относиться к слову: сначала думать, а потом говорить. Когда-то этому учили в детском саду, но многие – разучились. Хорошо бы научиться вновь. Ведь слово – это материя мысли, а любое дело родится в мысли. А нам, хочется верить, предстоят большие дела. Несовместимые с безответственной болтовнёй.

«Никакое гнилое слово да не исходит из уст ваших, а только доброе», - учил ап. Павел. Ликвидация анонимности в интернете будет тому способствовать.
http://zavtra.ru/blogs/gosudarstvo_pravdi_ili_tcifrovoj_kontclager_
http://zavtra.ru/blogs/iz-za_zabora

Фантазия на тему заката Европы

Отрывок.

...Откат

Один мир, один Бог, один Закон и Закон этот — быть.

Ещё несколько месяцев и всё что было для нас таким привычным будет бороться за своё существование. Опустим мрачные детали краха образа жизни среднего класса и взглянем на этот процесс в общем из которого станет понятно, почему именно главы церквей так открыто, прямо и с уверенностью предрекали радикальные, неотвратимые изменения в мире, но без деталей. Гамбург в дни проведения G20 и события в Венесуэле, вот наглядный пример того, что вскоре ожидает любое европейское правительство. Череда смены премьеров и паника с обвинениями во всём своих оппонентов. В такой ситуации негодование населения будет настолько раскалено, что найти козла отпущения за пределами Европы будет проще простого при помощи грамотно построенной PR кампании на основе любого более менее правдоподобного факта. Виноватый во всём зелёный барсук будет убедительнее, чем признать тупиковость развития хвалёной западной цивилизации с её врождённой, маниакальной тягой к экспансии и глубинному расизму. До версии с зелёным барсуком конечно не дойдёт, ведь есть Россия - щедрая душа! Россия мешает установить мир на Ближнем Востоке помогая Асаду, из-за чего валят мигранты в Европу, а выход России из ВТО так сильно ударит по мировой экономике, что аж вызовет финансовый кризис. Одним словом Россия пока проигрывает этот раунд в информационной войне.

Ниже есть продолжение.

А чем же занят средний класс и население Европы между выпусками новостей и дебатами по радио? А тут всё по накатанной. Наслаждаются безопасностью во время комендантского часа и перемещаются в пригороды и деревни подальше от полыхающих кварталов мегаполисов. Ведь не хватает полиции для обеспечения безопасности и если уже сегодня есть кварталы куда полиция не суёт нос вовсе, то когда банды маргиналов начнут крушить магазины для захвата еды, полиция вовсе сконцентрируется только в престижных районах. А причина тому низкие зарплаты полицейских и высокие страховки, так что сами инструкции для полиции служат отличным оправданием для полицейских что бы не рисковать головой за средненькую зарплату с прочими бонусами смысл в которых уже пропал. Так что стягивание войск под предлогом российской угрозы, это прикрытие подготовки к голодным бунтам.

Таким образом существующая власть не способна обеспечить порядок и соблюдение законов во время беспорядков. Западное общество натыкается на собственные либеральные грабли. Каждый за себя. Стрессы, психозы, семейные самоубийства, каннибализм. Для выживания потребуется объединяться, вести хозяйство и обороняться от набегов банд. По какому принципу объединяться? Вариантов не много и все они известны: по религиозному принципу или национальному. Но век-то уже двадцать первый!

Пропускаем подробное описание уровня набожности современных европейцев и остановимся лишь на некоторых выводах. Объединяющий население религиозный признак, в силу глубинного расизма будет доминировать над национальным, так как ни один европеец в глубине души не признает за своего ни турка, ни араба, ни албанца, ни пакистанца и уж тем более чернокожего даже если он был рождён в Европе. Толерантность способна существовать только в сытом обществе как проявление снисходительного "cheerful" вежливости. Демонстрация принадлежности к религиозной конфессии будет работать как код определения свой/чужой и даст моральное право на насилие как дань уважения предкам времён Крестовых походов. А чернокожие и мусульмане радикалы припомнят европейцам их снобизм и унижения. Толерантная молодёжь не в силах самостоятельно выжить в условиях беззакония вынужденно примкнёт к своим для самосохранения. Ни кто не покинет стана своей коренной принадлежности ради отстаивания либеральных ценностей.

Таким образом группы населения будут самоорганизовываться по религиозному признаку независимо от уровня воцерковлённости и наиболее фанатично верующие не будут иметь больший вес. Распределение по доминантности не будет отличаться от обычной в современном обществе, но принадлежность к духовенству несомненно позволит иметь определённые преференции. Учитывая уровень "воинственности" современного европейца ( 60% мужчин Германии предпочитают быть домохозяйками, явный инфантилизм мужчин Франции отмечают все славянские женщины, целуем в щёчки мужчин Голландии и Бельгии ) и уровень эмансипации, можно сказать, что все они предпочтут путь наименьшего сопротивления и готовность отказаться от привычного комфорта в силу непреодолимых обстоятельств.

Таким образом, первичное внимание, при достижении стабильности в питании и крове, будет обращено на автономные религиозные поселения с собственным хозяйством, знакомым нам как монастырским у католиков и христиан, поселенческим как у протестантов и начнут объединяться вокруг них, так как не имеют ни знаний, ни навыков для организации собственных.

Опишем промежуточную картину "пылающей" Европы для определения активов и инструментов влияния. Базовое описание получится двухслойным, где прийдётся накладывать структуру социальных группировок населения ( включает три базовые составляющие: религия, национальность, класс и производные ) на реальное, географическое расположение инфраструктурных объектов в странах. Данное обобщённое описание касается Западной Европы, так как Восточная будет вести себя по-другому сценарию тяготея к бывшей социалистической зоне СЭВ, что добавит перца старой Европе ( здесь особая роль будет у войск НАТО и Советские танки в 1968 им покажутся пионерской "Зарницей" ).

Католические общины, протестанты, сектанты и средний класс при поддержке нац.ориентированных правительств, отвергнутые мусульмане и осевшие беженцы под управлением радикальных исламистов.

Компромис для поддержания порядка и инфраструктуры под контролем усиленной полиции, армии и народных, местами вооруженных ополченцев. Не забудем криминальные группировки с "понятиями" вместо законов, но так же как элемент стабильности, но не способные на организацию хозяйств. Под их контроль, из легального сектора, отойдёт логистика. Позднее легализованная торговля и производство растительных, "лёгких" наркотиков как двигатель мелкопроизводительного сельского хозяйства для обеспечения тепличными культурами большого количества мелких поселений. Тенденции развития теневого бизнеса - отдельная история. Отвлёкся, извините.

Раскол в обществе, дефицит ресурсов и продуктов питания, безработица и беспорядки, станут дополнительным бременем для бюджета, а для дотационных новоевропейцев катастрофой, за которую они расплатятся территорией. Тоже отдельная история.

Естественным образом возникнет распределительная экономика, при безвыходной потребности в производстве, с текущей структурой разделения труда. Единственная равновесная модель способная объединить столь разрозненное общество, остатки банковской структуры, производства и логистики и при этом функционировать - социальная сеть.

Социальные сети как инструмент распределительной экономики. Сочетает в себе "классическую" социальную сеть с полным набором привычных функций, онлайн магазин, букинг систему резервирования жилья ( для защиты рынка торговли внутри сети, крепостничество ХХI века ) и платёжную систему с внутренним, виртуальным токеном, впоследствии заменённым на чей-то победивший "биткоин" ). В качестве маркеталогического инструмента, инструмента влияния и инструмента снятия напряжённости среди молодёжи в сфере "творчества" - краудфандинговая площадка внутри этой же сети.

Таким образом такие понятия как технологическая зона, рынок сбыта, регион влияния и прочие привычные понятия и законы их развития переносятся на социальную сеть с обязательной, крепостнической привязкой к жилью, как естественной потребности в континентальном климате. Замените во всех экономических трудах термин "технологическая зона" на "социальная сеть 2.0" и вы увидите, что развитие западной цивилизации переходит на новый виток, диаметром от реформации Лютера до осеннего краха фондового рынка, но не так называемого, прогресса. Дух захватывает от Большого Бриджа!

Мелкие социальные сети будут не способны приобретать высокотехнологичные товары и будут вынуждены объединяться. Но с кем и как?! Не будем упрощать ситуацию ведь ход истории это не круг, а виток спирали. Тенденции надо черпать из истории, а события будут происходить новые и курс на падение в постмодернизм в Западном мире ускорится, несмотря на кажущийся откат к традиции.

Ирония судьбы заключается в том, что существующие гиганты в мире соц.сетей, такие как Facebook., LinkedIN, Twitter, особых преференций в данной ситуации не имеют. Если они начнут перестраиваться, то потеряют время из-за собственной громоздкости. М.Л.Хазин описывая вакуум при отсутствии новой экономической модели, оказался прав - кто первый, тот и лидер в гонке, но вовсе ещё не победитель...
http://aurora.network/forum/topic/53991-analiticheskii-etjud-vremja-primerjat-derevjannye-bashmachki

עושים הסטורייה 34: לא רציונלי על פי, הקבוע המפורסם ביותר במדע (Hebrew)

מאז ימי בבל העתיקה ועד ימינו מנסים מתמטיקאים רבים לחשב את ערכו של פיי, הקבוע המתמטי המוכר, בדיוק הולך וגובר…עד לאינסוף. בפרק זה נקרא על 'פפירוס רינד' ושיטוט מקרי בשוק פשפשים שהכניס עורך דין צעיר אל דפי ההיסטוריה, על ההצלחות בחישוב פיי, ועל האנשים שהשקיעו שנים מחייהם בחישובים- שהתבררו כמוטעים… על 'יום פיי הבינלאומי' וה'פייפולוגים' המנסים לזכור את כל הספרות של פיי בעל פה ועל חידת 'ריבוע המעגל' שהטרידה את חכמי יוון, וכיצד החליט הסנאט של מדינת אינדיאנה לפתור אותה אחת ולתמיד…


יש המשך למטה.
Ниже есть продолжение.

השנה היא 2326 לספירה, והמקום: החללית אנטרפרייז, במסלול סביב כוכב הלכת אורגליוס 2. קפטיין קירק והקצין הראשון שלו, ספוק, ניצבים בפני בעיה חמורה. ישות מסתורית משתלטת על אנשי הצוות של החללית וגורמת להם לרצוח אנשים אחרים בברוטליות וללא סיבה. בניסיון למנוע רציחות נוספות, קירק מורה לד"ר מקקוי, רופא הספינה, להזריק תרופת הרגעה לכל אנשי הצוות. הישות הרצחנית מתחמקת, משתלטת על מחשב החללית ובכך מאיימת על הצוות ועל כוכב הלכת כולו. קירק מוכרח למצוא דרך להשבית את המחשב.. ספוק ניגש אל המסך. 'מחשב,' הוא אומר ביובש הוולקאני האופייני, 'חשב את הסיפרה האחרונה של פי.' האורות מעל שידת המחשב מתחילים להבהב בפראות. זימזומים רמים עולים מתוך המכשיר- והמחשב נתקע. האויב המופתע נאלץ לנטוש את המכונה המקולקלת- ואז נתפס ומושמד.

מה יש בו, בקבוע המתמטי המכונה 'פי', שהצליח להוריד אל ברכיו את המחשב החזק של האנטרפרייז בסידרה המיתולוגית 'מסע בין כוכבים'? כדי לענות על שאלה זו, הבה נחזור כמה אלפי שנים אחורה, אל מצרים העתיקה.
פפירוס רינד

אלכסנדר הנרי רינד (Rhind) לא היה מתמטיקאי. הוא היה עורך-דין סקוטי, גברבר צעיר וטיפוסי של אמצע המאה ה-19, בעל חיבה מיוחדת לתרבות מצרים העתיקה. רינד סבל ממחלת ריאות קשה, ורופאיו המליצו לו לשהות באקלים יבש. עבור רינד, זו היתה סיבה מצוינת לחצות את הים התיכון דרומה. באחד משיטוטיו בשווקים הסואנים של העיר לוקסור, הזדמן רינד לדוכן עתיקות והבחין ביריעת פפירוס גדולה ברוחב של כשישה מטרים. פפירוסים כאלה, שלרוב נגנבו מאתרים ארכיאולוגים, צצו מדי פעם בשווקים. רינד בחן את הפפירוס בקפידה והחליט לרכוש אותו. בלא יודעין, החלטה רגעית זו היתה כרטיס הכניסה של עורך-הדין הצעיר להיסטוריה, שכן "פפירוס רינד" מכיל – כך נתגלה מאוחר יותר – את הערך המוקדם ביותר הידוע של הקבוע המתמטי המפורסם מכל: פיי (π).

רינד לא זכה להינות מתהילתו כיוון שמחלתו הכריעה אותו כשהיה כבן 30 בלבד, אך הפפירוס שרכש נחקר ביסודיות רבה לאורך השנים. הממצאים מעלים ש"פפירוס רינד" נכתב כמעט 1,700 שנים לפני הספירה, והוא עצמו העתק של פפירוס עתיק יותר, שנכתב כנראה 300 שנים קודם לכן. ערכו של פיי, כפי שנקבע במסמך העתיק, הוא 3.16 – רחוק רק באחוז אחד בלבד מערכו האמיתי הידוע לנו היום. כפי שמעיד "פפירוס רינד", המצרים הקדמונים וגם הבבלים לפניהם, הבחינו בתכונה המשונה והמרתקת של מעגלים: אם מודדים את היקף המעגל ומחלקים אותו בקוטר המעגל – יתקבל מספר קבוע. לא משנה אם העיגול קטן כמו בייגלה, או גדול כמו חומת העיר: תוצאת חילוק ההיקף בקוטר, תהיה תמיד אותו מספר.

העובדה שפי מופיע בכל העיגולים, קטנים וגדולים, קרובים ורחוקים, סיקרנה מאוד את המדענים הראשונים. הם ניסו להבין האם לפי יש משמעות עמוקה יותר לגבי היקום שלנו. אפשר להבין אותם. דמיינו את עצמכם פוסעים ברחוב, ומכל חלון של כל בית תלוי דגל ישראל. אחרי כמה עשרות בתים, ודאי תתחילו לשאול את עצמכם אם ישנה סיבה לתופעה הזו, שמחברת בין המוני בתים שלכאורה אינם קשורים זה לזה. ייתכן ומחקר מדוקדק יותר יעלה שהיום הוא יום העצמאות- מסקנה חשובה שאולי לא הייתם מגיעים אליה אלמלא שמתם לב לדגלים שעל החלונות.

למתמטיקאים הראשונים היתה גם סיבה מעשית טובה לנסות לחשב את פיי בדיוק רב ככל הניתן. הכלכלה הקדומה היתה מושתתת ברובה על חקלאות, וחישוב שטחי הגידול (שגבולותיהם לא תמיד היו ישרים כסרגל) ואורכן של תעלות ההשקייה הפתלתלות, היו בעלי חשיבות מכרעת עבור החקלאים. אך החישוב המדויק של פיי היווה בעיה קשה עבור המצרים וקודמיהם, שכן שהוא אינו מספר שלם, אלא שבר: שלוש וקצת. בהיעדר הידע המתמטי הדרוש, הם היו יכולים להיעזר רק במדידות שנעשו בפועל לצורך העניין, מדידות שמטבע הדברים היו גסות ולא מדויקות. גם ליורשיהם האינטלקטואלים של המצרים, היוונים, היו סיבות טובות לחשב את פיי. פיתגורס, אוקלידס וחבריהם עסקו בפתרונה של חידה עתיקת יומין, ששורשיה לוטים אי-שם בערפל ההיסטוריה: חידת "ריבוע המעגל".
ריבוע המעגל

השאלה שהציקה לפילוסופים היוונים היתה: האם ניתן לצייר ריבוע, אשר שטחו שווה לשטח של מעגל? מעבר לאתגר האינטלקטואלי, היה זה ניסיון אמיתי להבין את גבולותיה של התיאוריה המתמטית המתקדמת ביותר של אותו הזמן – הגיאומטריה האוקלידית. במילים אחרות, אלו מושגים מתמטיים ניתן להביע כנקודות במישור או במרחב, כציורים וצורות, ואיזה לא? הבעיה היא שכדי לצייר ריבוע ששטחו זהה לשטח מעגל, צריך לדעת במדויק את שטחו של המעגל. שטח זה נתון לפי הנוסחה "פיי כפול ריבוע הרדיוס": משמע, חובה עלינו לגלות את ערכו של פיי.

ארכימדס מסירקיוז היה זה שהצליח ליישם את העקרונות הגיאומטריים לצורך חישובו של פיי. הוא שרטט עיגול, וסביבו שני מצולעים שווי צלעות: אחד בתוך העיגול והשני מחוצה לו. את היקפם וקוטרם של המצולעים קל היה לחשב באמצעות גיאומטריה פשוטה, וארכימדס הוכיח שהשניים מהווים חסם תחתון וחסם עליון להיקפו של העיגול, הכלוא ביניהם. באופן זה הגיע ארכימדס למסקנה כי פיי הוא בערך 3.14, אם כי גם ארכימדס ידע שאין זה ערכו האמיתי או הסופי של קבוע זה. עדות לחשיבות פריצת הדרך של ארכימדס ניתן למצוא בעובדה שבמשך יותר מ-1,500 שנים איש לא הצליח לחשב את פיי בדיוק גבוה יותר.

פריצת הדרך הגדולה השנייה התרחשה רק לקראת תום ימי הביניים, עם תחילתו של עידן הרנסנס. במתמטיקה, זו היתה תחילתו של שינוי כיוון דרמטי, דרך אחרת לגמרי להבין מספרים: המצאת החשבון האינפיטיסימלי. המלה "אינפיטיסימלי" כוללת שתי מילים: Infinity (אינסוף) ו-Small (קטן). צירוף שתי המילים הללו מעיד כי ענף זה של המתמטיקה עוסק בחישובים של אינסוף מספרים, שהולכים ונעשים קטנים יותר ויותר.

הקשר בין החשבון האינפיניטיסמלי ופיי נתגלה עד מהרה: התברר שניתן לחשב את פיי לפי סדרה אינסופית של מספרים, שהולכים ונעשים קטנים יותר. למשל, ארבע פחות ארבעה-שלישים, ועוד ארבע-חמישיות, פחות ארבע-שביעיות ועוד ארבע-תשיעיות וכן הלאה עד לאינסוף. ככל שנשקיע זמן רב יותר בחיבור ובחיסור סדרת המספרים הזו, נקבל ערך מדויק יותר של פיי.

השיטה האינפיטיסימלית לחישוב פי הייתה התקדמות משמעותית- אבל חלפו עוד כמה וכמה שנים עד שהמתמטיקאים הצליחו ליישם אותה בהצלחה כדי להתעלות על הישגו של ארכימדס. כל החישובים הללו, חיבור וחיסור וחוזר חלילה, היו עבודה סיזיפית של ממש. נדרשו למעלה משלוש מאות חיבורים וחיסורים כאלה כדי למצוא את ערכו של פי עד לשני ספרות אחרי הנקודה, בסך הכל. רק כששיכללו המתמטיקאים את יסודות התיאוריה שלהם, קיבלו סוף סוף כלים חזקים יותר מאי-פעם לאיתור שיטות חדשות לחישוב פיי. שיא חדש רדף שיא חדש, ונוסחאות מבריקות החליפו נוסחאות מבריקות אחרות. 1,500 שנה החזיק שיאו של ארכימדס, אך בתוך 200 שנה בלבד הצליחו המדענים לחשב את פיי עד לספרה ה-100 אחרי הנקודה.

אך בל נטעה לחשוב שהמשימה הפכה לקלה יותר. עדיין נדרשו תעצומות נפש אדירות מצד המתמטיקאי, שהחליט לקחת על עצמו את המשא הכבד של חישוב פיי. נידמה שאין שום חוקיות הגיונית בתוך ערכו של פי. סיפרה אחרי סיפרה וחישוב אחרי חישוב, איש לא הצליח למצוא שום סדר פנימי או הגיון חבוי בטור המספרים הארוך- רק אקראיות קופצנית ומתסכלת: 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510….

במצב כזה קל מאוד לעשות טעות קטנה בחישוב אחד מתוך אלפים, ולקבל ערך שגוי לחלוטין של פי. האנגלי ויליאם שאנקס שקד על פי במשך חמש עשרה שנים רצופות במאה התשע עשרה, והגיע עד למקום ה-707 אחרי הנקודה. רק שבעים שנה לאחר מכן גילו חוקרים אחרים שלשאנקס הייתה טעות קלה באחד מחישוביו וכל הספרות החל מהמקום החמש מאות שבעים ושניים היו מוטעות.

גם המתמטיקאי לודולף ואן-קולן השקיע את מרבית חייו בחישוב פיי עד הספרה במקום ה-35 אחרי הנקודה. הוא היה כל-כך גאה בהישגו, שהיה הטוב ביותר במאה ה-17, עד שביקש שיחרטו את הערך של פיי על מצבתו.
מרדף שאין לו סוף

מדוע התאמצו המתמטיקאים לחשב את פיי? איזו תכלית יש למרדף אחר מספר שנדמה שאין לו סוף? הרי אין שימוש מעשי לידיעת ערכו של פיי עד ל-100 ויותר מקומות אחרי הנקודה. לצורך הדגמה, אם היינו רוצים לחשב את היקפו של עיגול, שמקיף את היקום כולו, די בדיוק של פיי עד המקום ה-39 אחרי הנקודה. רבים האמינו שהמרדף הזה הוא חסר תוחלת: אפילו אייזיק ניוטון הגדול, שניסה את כוחו והוא הצליח להגיע עד הסיפרה החמש עשרה לפני שנעצר, היה מעט נבוך לגבי כל העניין. "אני מתבייש לספר לכמה ספרות הגעתי," התנצל ניוטון, "לא היה לי משהו מעניין יותר לעשות באותו הזמן."

חלק מהמתמטיקאים שהקדישו את מרצם לחישובו של פי רצו לגלות אם חבויה חוקיות מסוימת לספרות האקראיות לכאורה של פיי. חוקיות כזו, אם ישנה, עשויה להתגלות כרמז לתובנות מעמיקות יותר על היקום שסביבנו. עבור מתמטיקאים אחרים, הערך לא היה המטרה, כי אם הנוסחה. המתמטיקאים מעריכים מאוד את האלגנטיות והיופי שבנוסחאות שלהם והם מנסים תמיד למצוא שיטות יעילות, יפות ומקוריות יותר לחישוב פיי. מניע זה סייע מאוד, כפי שיתברר בעתיד, דווקא למהנדסי המחשבים של המאה ה-20.
פתרון אינדיאנה

היו גם מי שביקשו להתגבר על הקשיים בדרך עוקפת. בשנת 1897 פנה רופא מקומי, שהיה גם מתמטיקאי חובב, אדווין גודווין, לחברי האסיפה הכללית של מדינת אינדיאנה שבארה"ב. הוא דיווח להם שהצליח לפתור את חידת "ריבוע המעגל" המפורסמת שטרדה את מנוחתם של המתמטיקאים עוד מימיו של ארכימדס. הפיתרון של גודווין היה פשוט למדי: הוא החליט שערכו של פיי הוא 3.2, וזהו. כשערכו של פיי ברור וידוע, אין כל בעיה לשרטט ריבוע בעל שטח זהה לזה של מעגל: מחשבים את ריבוע הרדיוס של המעגל ומכפילים ב- 3.2. גודווין הציע לחוקק בחוק מדינה את הפיתרון שלו. לא ברור מה היה אמור להיות עונשו של מי שיעבור על החוק.

חברי האסיפה הכללית של אינדיאנה העבירו את הצעת החוק לוועדה לתכנון תעלות השקייה (בחירה ברורה והגיונית), שלחבריה היה מספיק שכל בקודקודיהם כדי להעביר את העניין אל ועדת החינוך. הוועדה, שהיתה אמונה על חינוכם של ילדי אינדיאנה, לא מצאה כל סיבה להתנגד לקביעת ערכו של פיי, שכן (ואני מצטט) "ערכו הנוכחי של פיי הוא כה מסובך ונפתל, עד שאינו שימושי כלל וכלל".

משם עלתה הצעת החוק אל האסיפה הכללית של המדינה, ועברה פה אחד באפס מתנגדים. או-אז הועברה הצעת החוק מעלה – לסנאט של אינדיאנה – לאישור סופי לפני הכנסתה לספר החוקים של המדינה. בליל ההצבעה על אישור החוק, הזדמן לבניין הסנאט פרופסור קלארנס וואלדו, מתמטיקאי מקצועי (ולא חובב כמו ד"ר גודווין) מהאוניברסיטה המקומית, שהגיע כדי להשגיח באופן אישי על תקציב המוסד שלו. מישהו תחב לידיו את הצעת החוק והציע לו לגשת ולברך את הממציא בר-המזל. וואלדו, ששמע על הצעת החוק, סירב ואמר שהוא כבר מכיר מספיק משוגעים, תודה רבה. הוא הצליח לשכנע את חברי הסנאט לגנוז את הרעיון המטופש.

אדווין גודווין, כאמור, לא היה היחיד שניסה לפתור את חידת ריבוע המעגל. למעשה, כל כך הרבה פתרונות והצעות הוגשו לאקדמיה הצרפתית למדעים ולחברה המלכותית הבריטית, עד שבשלב מסוים הכריזו שתי המוסדות הללו שלא יקבלו יותר הצעות לפתרון.

המסמר הראשון בארון המתים של חידת ריבוע המעגל ננעץ בשנת 1761 כאשר יוהאן למברט, מתמטיקאי שוויצרי פורה, שתרם רבות לתחומי האסטרונומיה והאופטיקה, הצליח להוכיח כי פיי אינו מספר רציונלי. מספר רציונלי הוא מספר, שניתן לייצגו כשבר. למשל, חמש-שמיניות או רבע. אם לא ניתן לכתוב את פיי כשבר, כפי שהוכיח למברט, אזי הוא אינסופי: הספרות אחרי הנקודה ממשיכות וממשיכות לאין קץ.

תעודת הפטירה לחידת ריבוע המעגל הגיעה כמאה שנים מאוחר יותר, בשנת 1882, כשהמתמטיקאי הגרמני פרדיננד פון-לינדמן הוכיח כי פיי הוא מספר טרנסצנדנטלי. מספר טרנסצנדנטלי הוא מספר שאי אפשר להגיע אליו בשיטות המקובלות של חיבור, חיסור, כפל או חילוק. משמע, אי אפשר לקחת מספר כלשהו וממנו להגיע, באמצעות חישוב, לערכו האמיתי של פיי. המשמעות העמוקה יותר היא כי לפיי אין ערך אמיתי. נתאמץ ככל שנרצה, נזיע על המחברות ונגלה נוסחאות חדשות – לעולם לא נגיע לערכו האמיתי של פיי, פשוט מכיוון שאין כזה.

המתמטיקאים לא היו מופתעים מעובדה זו, שכן עצם היותו של פיי מספר אי-רציונלי, כפי שהוכח זה מכבר, הרי שאין תקווה לחשב את ערכו הסופי. להוכחה של לינדמן היתה חשיבות גדולה בעיקר לעניין חידת ריבוע המעגל: כדי לשרטט ריבוע באמצעות סרגל ומד-זווית, למשל, יש להתחיל מנקודה כלשהי על הדף, וממנה לצייר קווים מתאימים. פעולה זו שוות ערך, מבחינה מתמטית, לחיבור של קואורדינטות או הכפלה שלהן. אם לא ניתן להגיע אל פיי באמצעות חיבור, כפל וכדומה, אזי לא ניתן גם לשרטט ריבוע ששטחו כשטח מעגל (שהוא, כזכור, תלוי בערכו של פיי).

אבל גילויים אלה לא סימנו את סופו של המרדף אחר פי, ואפילו ההיפך מכך. מחשבים הם כלי מצוין לחישובים מתמטיים, אבל חישובו של פיי הוא אתגר קשה עבורם. זהו חישוב ארוך ונפתל, שכל שגיאה זעירה בו מתבטאת בתוצאה שגויה לגמרי. חישוב פיי הוא אתגר הנדסי משמעותי, שלפתרונו יש השלכות לגבי הצורה שבה מתכננים ובונים מחשבים עתירי ביצועים. למעשה, במשך זמן רב המהנדסים השתמשו בתוכנות לחישוב פי ככלי ל'בדיקת מאמץ' עבור המחשב, מתוך ההנחה שאם הוא שורד את האלגוריתמים הטובעניים הללו, הוא יסתדר עם כל שאר התוכנות (אולי פרט ל-Windows).

המתמטיקאים ניסו (ועדיין מנסים) למצוא אלגוריתמים ונוסחאות אלגנטיות ונפלאות, שיאפשרו למחשבים לחשב את פיי בדיוק הולך וגובר, והמהנדסים מתחרים זה בזה בתכנון ובניית מחשבים טובים, מהירים ומדויקים יותר. ישנן עדיין מספר שאלות בלתי פתורות שנוגעות בעניין זה, כמו למשל- האם פי הוא באמת מספר אקראי או שמא קיימת בו חוקיות סמויה שבאה לידי ביטוי רק בערכים הקטנים ביותר של פי. נכון להיום, ערכו של פי בדיוק של יותר מטריליון ספרות אחרי הנקודה, והוא עדיין אקראי לחלוטין לכל אורך הדרך.

בשנים האחרונות חלו שתי התפתחויות מרתקות בעולם הפי. המתמטיקאים ריצ'ארד ברנט ויוג'ין סלמאין גילו, כל אחד בנפרד, אלגוריתמים יעילים במיוחד המאפשרים חישוב ערכו של פי, בתוך עשרים וחמש חישובים בלבד, לארבעים וחמישה מיליוני ספרות אחרי הנקודה. בהשוואה לשלוש מאות החישובים שנידרשו עבור שתי ספרות בלבד אחרי הנקודה לפני חמש מאות שנה, זו התקדמות בלתי נתפסת כמעט.

גילוי חשוב נוסף הוא שיטת BBP, על שם ראשי התיבות של מגליה. BBP מאפשרת לנו לעשות משהו שהיה עד כה בלתי אפשרי. עד היום, כדי לחשב סיפרה כלשהי של פי, למשל- את הסיפרה במקום המאה אחרי הנקודה- היו חייבים לחשב את כל תשעים ותשע הספרות שקדמו לה. טעות אחרת בדרך- והכל אבוד. שיטת BBP, לעומת זאת, מאפשרת לחשב כל סיפרה רצויה של פי ללא קשר לאחרות. למי שדברים כאלה חשובים לו מאוד, הסיפרה במקום הקוונטריליון אחרי הנקודה היא- אפס.

יום פיי הבינלאומי

גם ההתעניינות התרבותית בפי לא דעכה אפילו במעט. מאז שנת 1988 נחגג ברחבי העולם "יום פי הבינלאומי". את החג המיוחד הזה (בלשון המעטה) ייסד הפיזיקאי לארי שואו במסגרת האקספלורטוריום, מוזיאון מדע של סאן פרנסיסקו, והוא נחגג בארבעה עשרה למרץ. אם נזכור שהאמריקאים כותבים את התאריך הפוך מאיתנו, קודם כל החודש ואחר כך היום, נקבל את התאריך 3.14. אכן, צירוף מקרים מדהים.

במסגרת אירועי החג נהוג ללבוש חולצות עם הדפסה של ערך מדויק ככל האפשר של פי (הנה מיקרה ייחודי שבו משתלם להיות קצת שמנמן), לראות את הסרט 'אמריקן פי', לארגן ריצה למרחק של פי קילומטרים, לאכול פשטידות ואננס (Pineapple) ובאופן כללי להסתובב במעגלים ולהראות חנון ככל האפשר. זוגות רומנטיים- אל תוותרו על ההזדמנות להתחתן ביום פי, בשעה אחת, חמישים ותשע דקות ועשרים ושש שניות.

גם הזמרת הוותיקה קייט בוש כתבה שיר על פי, שיר אהבה למתמטיקאי שבו היא שרה בפזמון את פי עד למקום המאה וחמישים אחרי הנקודה. ללא ספק, רעיון נהדר – אבל אולי כדאי שתשקול להחליף את היועץ המדעי שלה: היא טועה בכעשרים ושתים ספרות.

אבל יש עוד סוג של חובבי פיי, שלוקחים אותו למקום אחר. הם נקראים, "פייפולוגים", והם מתחרים זה בזה בשינון ערכו של פיי עד למספר הספרות המירבי. השיטה המקובלת ביותר כדי לשנן את פי היא באמצעות שירים. השירים האלה נכתבים כך שאורך כל מילה מתאים לסיפרה. למשל, המשפט How I need a drink: שלוש אותיות, אות אחת, ארבע אותיות וכן הלאה. שירים אלה מכונים 'פיאמות', על משקל 'פואמות'.
השיא העולמי, נכון להיום, שייך ליפאני, אשר זוכר בעל-פה את ערכו של פיי עד 100 אלף ספרות אחרי הנקודה.

הפיזיקאי האמריקני הנודע, ריצ'רד פיינמן, הבחין בעובדה, כי אי שם במקום ה-762 אחרי הנקודה נמצא רצף של שש-תשיעיות בזה אחר זה. באחת מההרצאות שלו, סיפר פיינמן שהוא מעוניין ללמוד בעל-פה את כל הספרות עד למקום ה-762, רק כדי שיוכל לקרוא אותן בקול ואז לסיים ב"תשע-תשע-תשע-תשע-תשע-תשע, וכן הלאה וכן הלאה". הומור מיוחד יש לפיזיקאים.

http://www.ranlevi.com/texts/ep34_the_most_famous_mathematical_constant_text/

עושים הסטורייה 105: על שקרים, שקרים מתועבים וסטטיסטיקה (Hebrew)

mp3

См. также:
Benford's Law
Закон Бенфорда, или закон первой цифры

הפעם ננסה לפענח את הסיבה שבגללה יצאה לסטטיסטיקה – ולאחותה, ההסתברות – שם רע כל כך. האם סטטיסטיקאים הם באמת… שקרנים?

-על ה'נס' שהתרחש בלוטו הישראלי ב-2010…
-על רופא הילדים ששלח לכלא אישה חפה מפשע – בגלל שטעה בחישוב הסתברויות…
-ועל פול, התמנון שהצליח לחזות את העתיד במקום שבו כשלו כל שאר החיות.

http://www.ranlevi.com/2012/01/06/ep105_lies_and_statistics/

יש המשך למטה.
Ниже есть продолжение.

לכל מקצוע בעולם המדע והטכנולוגיה יש תדמית משלו בעיניי הציבור הרחב. לעתים תדמית זו חיובית, כמו הקפדנות הייקית של המהנדסים או החינניות הפרועה של הפיזיקאים התאורטיים. לעתים, זו תדמית לא מחמיאה כל כך, כמו היבשושיות של המתמטיקאים או הגאוותנות של הרופאים המנתחים והיוהרה שלהם. איך רופא מנתח מחליף נורה? הוא עומד על כיסא עם הנורה ביד, והעולם מסתובב סביבו… סטריאוטיפ, כמובן, הוא רק סטריאוטיפ ולא צריך לקחת אותו ברצינות. לא כל המהנדסים קפדנים, יש מתמטיקאים בעלי אישיות מרתקת ורופאים מנתחים… טוב, אולי לפעמים יש בזה משהו. אבל בפרק זה אני רוצה להתמקד במקצוע מסוים דווקא בגלל התדמית שיצאה לו, תדמית חריגה אפילו ביחס לסטריאוטיפים הלא–מחמיאים של חלק מהתחומים האחרים במדע. לסטטיסטיקאים יצא שם של שקרנים.

התדמית הזו אינה עניין חדש. מארק טווין כתב עוד ב-1906 ש"יש שלושה סוגים של שקרים: שקרים, שקרים מתועבים, וסטטיסטיקה." אמרות כנף נוספות קיימות באותו הסגנון ומקורותיהן אינם ידועות, אבל הן מעידות על האופן שבו נתפסת הסטטיסטיקה בעיניי הציבור הרחב: "אם תענה את המספרים, הם יודו בכל."; "סטטיסטיקה היא כמו ביקיני: מה שהיא מגלה – מעניין, אבל מה שהיא מסתירה הוא שחשוב."

למרבה האירוניה, הסטטיסטיקה היא אחד מהענפים הבודדים של המתמטיקה שיש להם השפעה ישירה גם על החיים היום-יומיים שלנו. העיתונים מלאים בסטטיסטיקה: מסקרי דעת קהל על נושאים אקטואליים, ועד סקרים מקדימים של בחירות. בכל פרסומת שנייה בטלוויזיה הקריין מספר לנו בסמכותיות ש"שמונים אחוזים מהנשים שהשתמשו בקרם פנים X הבחינו בשיפור במצב הקמטים שלהן." כל תרופה אמתית שאי פעם קניתם בבית מרקחת אושרה לשימוש רק לאחר ניסויים קלינים מקיפים שבהם שיחקה הסטטיסטיקה תפקיד מרכזי: כמה חולים הבריאו? כמה אחוזים הבריאו גם מבלי שנטלו את התרופה, או נטלו את התרופה הקיימת? זו סטטיסטיקה. ממשלות וגופים עסקיים בכל העולם מקבלים החלטות כלכליות ארוכות טווח, בעיקר על סמך נתונים סטטיסטיים וסקרי דעת קהל. אז אם סטטיסטיקה חשובה לנו כל כך, למה אנו אוהבים לשנוא אותה? והכי חשוב – האם יש לנו סיבה אמתית להשמיץ אותה?
שורשיה של הסטטיסטיקה

מקורה של המילה 'סטטיסטיקה' הוא במילה הלטינית Statisticum, אשר בתרגום חופשי פרושה 'של המדינה'- ומכאן מגיעה אלינו גם המילה האנגלית State, למשל. עובדה זו מרמזת על מקורותיה המוקדמות של הסטטיסטיקה- איסוף מידע דמוגרפי וכלכלי כדי לסייע בפעילות התקינה של השלטון. רק בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 החלה הסטטיסטיקה שולחת זרועות ארוכות גם אל תחומים אחרים, כגון אסטרונומיה, רפואה ומדעי החברה. המאפיין המשותף למקצועות האלה הוא הצורך לאסוף כמויות גדולות של מידע גולמי ולהפיק ממנו מסקנות ברורות בתנאים של חוסר ודאות. באסטרונומיה, למשל, חוסר הודאות נובע מאי הדיוק של כלי התצפית ובמדעי החברה מקורו בשונות הגבוהה שבין הפרטים באוכלוסיה ובקושי הבסיסי ליצור ניסויים מבוקרים בתנאי מעבדה.

הסטטיסטיקה השתלבה היטב במדעים אלה מכיוון שתפקידה העקרוני הוא לעזור לנו לעשות סדר ולמצוא את הידיים והרגליים בתוך הררי המידע שמקיפים אותנו, ובמקביל גם לתחום את גבולות אי-הודאות. סקרי דעת קהל הם דוגמא טובה לכוחה של הסטטיסטיקה. סקרי בחירות, למשל, מקיפים כמות גדולה מאד של משיבים: לו היינו מקבלים לידינו את התדפיס שמכיל את התשובות עצמן, היה לנו קשה מאד להסיק מי מוביל בסקר ובאיזה הפרש. הסטטיסטיקאי מסוגל לעבד את התשובות למסקנות פשוטות ומובנות יותר: כך וכך אחוזים יצביעו למועמד הזה, וכדומה. נזכור גם שסקר אינו מקיף את כל אזרחי המדינה, אלא רק מדגם שלהם- ומכאן שיש אי ודאות בסיסי בתוצאות. הסטטיסטיקאי יוכל לומר לנו גם מהי רמת אי-הודאות שבתוצאות הסקר, או עד כמה אחוזים יכולה התוצאה לסטות מהתשובה האמיתית שהיינו מקבלים לו היינו סוקרים את כל אזרחי המדינה.

'סטיית תקן', למשל, היא אחד הכלים הסטטיסטיים החשובים והשימושיים ביותר בניסיון לחלץ תובנות ומשמעות מכמות גדולה של מידע גולמי. הנה דוגמה שתסביר זאת: תנאי החיים באנגליה של תחילת המאה ה–17 לא היו נוחים במיוחד, ועל אחת כמה וכמה לבני המעמדות הנמוכים. תזונה גרועה, עבודה מפרכת, הגיינה לקויה ומחלות מדבקות היו שכיחים למדי. אין פלא, אם כן, שתוחלת החיים באותה התקופה הייתה נמוכה משלנו. אם נפתח את רישומי התמותה מאותה התקופה ונחשב את ממוצע גיל המוות, נקבל שתוחלת החיים הממוצעת הייתה רק 35 שנים. זהו מספר איום ונורא… אני בן 36, ולו חייתי במאה ה–17 כנראה שהייתי עם רגל וחצי בקבר.

אבל כל סטטיסטיקאי מתחיל יציין מייד שחישוב פשוט של הממוצע מטעה ומוביל אותנו למסקנות שגויות. 'סטיית תקן' היא המדד לאופי פיזור הערכים סביב נקודת הממוצע. אם סטיית התקן קטנה, סימן שרוב הערכים בדגימה שלנו קרובים מאד לממוצע – במקרה שלנו, המשמעות היא שרוב התושבי אנגליה של המאה ה–17 הלכו לעולמם בסביבות גיל 35, פלוס מינוס. אך בפועל, סטיית התקן גדולה מאוד. בדיקה קפדנית של רישומי התמותה תגלה את העובדה הבאה: בתחילת המאה ה–17, שני שליש מהילדים מתו לפני גיל 4. זו עובדה איומה ונוראה, כמובן, אבל היא גם משנה את תמונת המצב הכללית מקצה לקצה. אם חלק גדול מהאוכלוסייה נפטר בגיל צעיר מאוד, ובכל זאת הממוצע הוא 35 שנים – משמע שמי שהצליח לשרוד את תקופת הילדות הלך לעולמו בגיל מבוגר באופן יחסי. תוחלת החיים הממוצעת היא 35 שנה – אבל לא בגלל שרוב האנשים מתו בסביבות גיל 35, אלא כיוון שחלק מהאוכלוסייה נפטר בגיל צעיר מאוד, וחלק אחר בגיל מבוגר. במילים אחרות, לו הייתי חי במאה ה–17 והצלחתי להגיע לגיל 36, יש סיכוי לא רע שאחיה עד גיל 60 ויותר.

חישוב פשוט יחסית של סטיית התקן, או פיזור ערכי הגילאים סביב נקודת הממוצע, היה חושף את האמת הזו לעיניו של הסטטיסטיקאי ללא קושי – וזו הסיבה שכלים סטטיסטיים כמו סטיית תקן הם בעלי חשיבות עליונה בכל מה שקשור להפקת תובנות חכמות מכמויות מידע גדולות.

אי אפשר לעסוק בסטטיסטיקה מבלי לדבר על אחותה, ההסתברות. ראשית, חשוב לציין שסטטיסטיקה והסתברות אינן שוות זו לזו. אם סטטיסטיקה מנסה להפיק תובנות מנתונים קיימים, מידע שכבר נאסף בעבר, ההסתברות היא דווקא הניסיון לחזות את העתיד על סמך תובנות קיימות – כמו הסיכוי לקבל מספר כלשהו בהטלת קוביה, למשל. אך על אף השוני ביניהן, קיים קשר עמוק בין הסטטיסטיקה להסתברות. שניהן משמשות אותנו, כל אחת בדרכה, ככלים להתמודדות מול אי–ודאות, בין אם זו אי–ודאות לגבי תוצאה של הטלת קוביה, או אי–ודאות לגבי תוצאות הבחירות בעוד יומיים. אותה אי–ודאות נמצאת גם בשורש היחסים המעורערים שלנו עם שני התחומים האלה. כפי שהראו הפסיכולוגים דניאל כהנמן ועמוס טברסקי, בסדרת מחקרים שעליהם זכו מאוחר יותר בפרס נובל, בני האדם מתקשים להתמודד עם אי-ודאות. המנגנונים שהעניקה לנו האבולוציה עושים עבודה סבירה בקבלת החלטות בתנאי יום-יום, אבל אינם מתאימים בהכרח כדי לתפוס סטיות תקן, הסתברויות קיצוניות ורעיונות מורכבים דומים. הנה שתי דוגמות לקשיים שכאלה, האחת מתחום ההסתברות והאחרת מתחום הסטטיסטיקה.
זכיה כפולה בלוטו

בשבעה עשר באוקטובר, 2010, הכותרת הראשית באתר Ynet הייתה זו: "תדהמה: בתוך חודש – מספרים זהים הוגרלו בלוטו." בהגרלות של ה-21.9 וה- 16.10 יצאו בגורל אותם שישה מספרים בדיוק. על פניו, זהו צירוף מקרים מדהים! מה הסיכוי להתרחשות שכזו? הסיכוי לנחש שבעה מספרים נכונים בלוטו הוא אחד ל–18 מיליון, בערך. זהו סיכוי אפסי, וזו גם הסיבה, דרך אגב, שלסטטיסטיקאים יש שם משלהם ללוטו: 'מס טפשות'. מאידך גיסא, אם ההסתברות לקבל שבעה מספרים מסוימים נמוכה כל כך הרי שעל פי כל היגיון, ההסתברות לקבל אותם שבעה מספרים פעמיים בתוך חודש ימים צריכה להיות כמעט בלתי אפשרית, לא? יש שתי קבוצות של אנשים שלא נדהמו כלל מצירוף המקרים המרשים הזה. הקבוצה הראשונה הייתה כותבי התגובות ב-Ynet, שחלק גדול מהם היו משוכנעים שכולם במפעל הפיס מושחתים ורמאים, ושההגרלות מכורות בראש. הקבוצה השניה הייתה, אולי תופתעו לשמוע, הסטטיסטיקאים עצמם. על פי החישובים שלהם, צירוף מקרים כזה אינו נדיר כל כך…

שתי עובדות משחקות כאן תפקיד חשוב. ראשית, יש לזכור שמפעל הפיס קיים כבר מאז 1951, ומאז ועד היום נערכו עשרות אלפי הגרלות לוטו, צ'אנס, 777 ומשחקים דומים. הכדורים מתגלגלים בתוך הסלסלות השקופות שוב ושוב, שבוע אחר שבוע, שנה אחר שנה, במשך עשרות שנים. שנית, כל קבוצת שבעה מספרים שתחזור על עצמה פעמיים מקיימת את התנאי לצירוף המקרים הזה. במילים אחרות, אלו לא צריכים להיות שבעה מספרים ספציפיים שהסיכוי להעלות אותם בגורל הוא אחד ל-18 מיליון, אלא כל שבעה מספרים שיעלו בגורל פעמיים. כשלוקחים את הנתונים האלה בחשבון, מסתבר שצירוף המקרים הזה אינו מדהים: לא אתאר את החישוב כולו, אבל גדי אלכסנדרוביץ' מהבלוג 'לא מדויק' חישב ומצא שמאורע מעין זה אמור להתרחש בערך פעם בעשרים שנה… ארוע נדיר, ללא ספק, אבל רחוק מלהיות 'כמעט בלתי אפשרי'. למעשה, שנה קודם לכן, ב-2009, עלו בגורל אותם שישה מספרים בלוטו הבולגרי שבוע אחר שבוע ברציפות. כאמור, קוריוז מרתק – אבל לא מדהים כפי שנטען בכתבה.

אך בפועל, כולנו נפלנו בפח הזה. אפילו כמה פרופסורים לסטטיסטיקה שרואיינו על ידי כתבי Ynet, נתנו גם הם הערכות שגויות לגמרי. כשזה מגיע להסתברויות, תחושות הבטן שלנו אינן מייצרות תשובות נכונות. זו הסיבה, למשל, לתהודה הגדולה שמקבלים "נסים" (במרכאות), כמו מעשי הריפוי המופלאים של רבנים מקובלים. לפלוני כלשהו יש סרטן סופני, והרופאים נותנים לו רק כמה חודשים לחיות. הוא הולך לרב ה'רנטגן' או 'האולטרא סאונד', מקבל ברכה… ומבריא! הרופאים מגדרים בראשם… מה יש לומר: נס אמתי, אחד למליון. אבל בכל שנה פונים עשרות אלפי חולים לרבנים בכל הארץ כדי לקבל את ברכתם, ואנחנו יודעים מניסיון שפה ושם יש אנשים שמבריאים ממחלות שנראות כסופניות בהחלט. צירוף המקרים של חולה סופני שהבריא לאחר שקיבל ברכה ממקובל יתרחש במוקדם או במאוחר…

שימו את עצמכם במקומו של גבעול דשא על מגרש גולף. הגבעול מוקף במיליוני גבעולים אחרים זהים לו לחלוטין, אבל כדור הגולף נוחת דווקא עליו. הגבעול שואל את עצמו… למה אני? מבין כל המיליונים האלה, מה מיוחד בי? התשובה, כמובן, היא 'שום דבר'. הכדור תמיד ינחת על גבעול בסוף. הסתברות, וזה הכול.

הנה דוגמה נוספת, הפעם מתחום הסטטיסטיקה. בשנת 1999 התפרסמו תוצאות מחקר שנערך באוניברסיטת פנסילבניה שבארצות הברית. החוקרים בדקו למעלה מ-450 ילדים, וגילו שתינוקות שישנו עם אור דלוק בלילה – פיתחו קוצר ראייה באחוז גבוה מאוד של המקרים: יותר ממחצית הילדים שישנו עם אור פתוח היו צריכים משקפיים כשהגיעו לגיל ההתבגרות. מה הקשר בין אור בלילה וקוצר ראיה? החוקרים לא ידעו לומר, אבל אחת ההשערות הייתה שאפילו כמויות זעירות של אור יכולות למנוע מהעין את המנוחה הרצויה בזמן שינה, ושחוסר זה קריטי במיוחד בתקופת ההתפתחות. ההמלצה הייתה ברורה מאליה: לא לתת לילדים לישון עם מנורה דולקת בלילה.

אבל כמה שנים לאחר מכן ערכו חוקרים באוניברסיטת אוהיו מחקר דומה, והגיעו למסקנות שונות בתכלית. אצל כל הילדים שנבדקו – למעלה מאלף ילדים, במקרה הזה – לא נתגלה הבדל בשכיחות קוצר הראייה, ולא משנה אם הילד ישן עם אור חזק, אור חלש או בחושך מוחלט. הסיבה העיקרית להבדל הדרמטי בין תוצאות שני המחקרים היא שבמחקר החדש, החוקרים לקחו בחשבון לא רק את התינוקות – אלא גם את ההורים שלהם. מסתבר שאצל ילדים הישנים עם אור דולק בלילה, אחוז גבוה של ההורים לוקה בקוצר ראייה. במילים אחרות, הסיבה לכך שהאור דולק בלילה היא שההורים לא רואים טוב בחושך. הילד בוכה באמצע הלילה, האבא קם להכין בקבוק, שוכח להרכיב משקפיים ודופק את הברך בפינה של השולחן… בלילה הבא, האור במסדרון נשאר דלוק. כפי שכולנו יודעים – אם ההורה צריך משקפיים, יש סיכוי לא רע שגם הילד שלו יזדקק להם…

החוקרים במחקר הראשון נפלו בפח של אחת המלכודות הגדולות של הסטטיסטיקה: הם התבלבלו בין סיבתיות למיתאם ('קורלציה', בלעז). אם יש מיתאם בין שני נתונים שונים – למשל, אחוז הילדים הישנים באור דלוק בלילה ואחוז הילדים הזקוקים למשקפיים בגיל ההתבגרות – אין זה אומר שיש כאן סיבתיות, ושאחד הוא בהכרח הגורם לאחר. כפי שראינו בדוגמה האחרונה, במקרים רבים יש גורם סמוי שלישי שמקשר בין השני הנתונים האלה – אבל קשה מאד להבחין בו. שגיאות מעין אלה, בדומה לטעויות בחישוב הסתברות אמתית של מאורעות נדירים, הן חלק גדול מהסיבה לכך שלפעמים נדמה שאפשר להוכיח כל דבר באמצעות סטטיסטיקה. קל מאד לטעות ולפרש באופן שגוי את התוצאות והמסקנות שמחקרים סטטיסטיים וחישובי הסתברות מספקים לנו, וכשהטעות מתגלה בסופו של דבר – אנחנו מרגישים מרומים, הסטטיסטיקה שיקרה לנו.
טעות סטטיסטית

לרוע המזל, לטעויות כאלה עלול להיות מחיר כבד, אם הנסיבות שבהן הן מתרחשות חסרות מזל במיוחד. סאלי קלארק הייתה עורכת דין בריטית אלמונית אשר חייה התנהלו על מי מנוחות עד שנת 1996, אז פקדה אותה ואת בעלה טרגדיה אכזרית: בנם התינוק נפטר מספר שבועות לאחר לידתו, ממה שמכונה בדרך כלל 'מוות בעריסה': מוות פתאומי ובלתי מוסבר של תינוק בריא. שנתיים מאוחר, ב-1998, היכה בהם הגורל שוב: גם בנם השני נפטר ממוות בעריסה. מכה כפולה שכזו מביאה עמה צער וסבל בכמות מספיקה לחיים שלמים, אבל לרוע מזלה של סאלי – הסבל שלה טרם נסתיים. כחודש לאחר מותו של בנה השני, סאלי קלארק נעצרה והועמדה לדין. האשמה: רצח של שני בניה. התביעה העלתה כמה טענות מחשידות כנגד סאלי: היא סבלה מדיכאון שלאחר לידה, ובשני המקרים הייתה השוהה היחידה בבית בזמן שהפעוטות הלכו לעולמם. זאת ועוד, בניתוח שלאחר המוות נתגלו סימני חבלה על גופם של התינוקות.

ההגנה, מצדה, מיהרה לציין שלטענות הנסיבתיות הללו היו גם הסברים פשוטים והגיוניים, שאינם מצביעים על רצח. אם שנשארת לבד עם תינוקה בבית? מקובל מאוד. דיכאון שלאחר לידה? תופעה מוכרת, אבל נשים בדיכאון לא נוהגות לרצוח את ילדיהן בדרך כלל. סימני החבלה היו עשויית להיות תוצאה של מאמצי ההחייאה שנעשו על התינוקות. בשורה התחתונה, טענו עורכי דינה של סאלי, לאף אחד לא הייתה כל סיבה להניח שסאלי רצחה את בניה. היא הייתה אישה נורמטיבית, אזרחית מן השורה, נשואה באושר, אפילו לא מעשנת.

אבל באופן אירוני, דווקא נורמטיביות חיובית זו היא שהרעה את מצבה של סאלי בבית המשפט. כלל ידוע בהסתברות הוא שהסיכוי ששני מאורעות יתרחשו זה אחרי זה הוא מכפלת ההסתברויות שלהם. אם הסיכוי למספר כלשהו בהטלת קוביה הוא אחד לשש, אז הסיכוי שאותו המספר יצא בשני הטלות רצופות הוא אחד לשש בריבוע, או אחד ל–36. התביעה העלתה לדוכן העדים את פרופסור רוי מדו (Meadow), מומחה לרפואת ילדים. פרופ' מדו טען בעדותו שהסיכוי למוות בעריסה במשפחה נורמטיבית וחסרת גורמי סיכון כמו זו של סאלי קלארק הוא בערך אחד ל–8000. הסיכוי לשני מקרי מוות בזה אחר זה, הסיק מדו, הוא 8000 כפול 8000, או אחד לכשבעים מיליון. במילים אחרות, סאלי קלארק היא רוצחת כיוון שהסיכוי שהילדים נפטרו בנסיבות טבעיות הוא אפסי. מישהו הרג אותם, וסאלי הייתה היחידה בבית…בעלה של סאלי נלחם בעוז על חפותה ולא נטש אותה לרגע, אבל אי אפשר היה להתווכח עם ההגיון שבטיעון הזה. בית המשפט שלח את סאלי קלארק למאסר עולם.

החישוב ההסתברותי הזה קומם סטטיסטיקאים רבים מאוד, משתי סיבות.

הראשונה היא שהנחת היסוד של פרופ' מדו לגבי הסיכוי לשני מיתות רצופות כתוצאה מ'מוות בעריסה' הייתה שגויה לחלוטין. חישוב מכפלת הסיכויים, אחד ל-8000 בריבוע, נכון אך ורק אם שני המאורעות המדוברים אינם תלויים זה בזה. במקרה של הטלת קוביה, התנאי הזה מתקיים: כל הטלת קוביה היא אירוע עצמאי, ואין קשר בין הטלה אחת לזו שקדמה לה. לא כן בנוגע למוות בעריסה. רופאי ילדים רבים טענו, אחרי המשפט, שבמשפחה שבה אירע מוות בעריסה, הסיכון למוות נוסף עולה בצורה משמעותית, לפחות פי חמישה עד עשרה. איננו יודעים בוודאות מה גורם למוות בעריסה, אבל סביר להניח שמעורבים בעניין גם גורמים תורשתיים או סביבתיים, והגורמים האלה משותפים לשני התינוקות: שניהם נולדו לאותם הורים, בעלי אותם הגנים, אותן המחלות, אותם תנאי הגיינה, אותו הבית… אם משהו מכול אלו גרם למות התינוק הראשון, סביר להניח שהוא עלול לגרום גם למות התינוק השני. במצב כזה, הסיכוי לשני מקרי מוות בעריסה באותה המשפחה, על אף שעדיין נמוך, הוא גבוה הרבה יותר מאשר אחד ל–70 מיליון.

שנית, טענו הסטטיסטיקאים, המושבעים צריכים לשקול לא רק את הסיכוי שסאלי רצחה את ילדיה, אלא גם הסבירות שהיא *לא* רצחה אותם. סאלי, כאמור, הייתה אדם נורמטיבי לחלוטין במשפחה מאושרת. הסטטיסטיקה מלמדת שבמשפחה תקינה שכזו, הסבירות שאם תרצח את שני ילדיה נמוכה מאד, ולמעשה – נמוכה הרבה יותר מהסבירות למוות כפול בעריסה! מי שהרגיזו במיוחד את הסטטיסטיקאים היו חברי המושבעים, שקיבלו את חוות דעתו של רופא ילדים בנושא שאין לו בו שמץ של הכשרה מקצועית. פרופ' מדו הוא אולי מומחה גדול ברפואה, אבל אין לו ידע מבוסס בסטטיסטיקה. כפי שאמר אחד המתמטיקאים בציניות, 'אם פרופ' מדו היה מביע את דעתו המקצועית על אכות בניית הגשרים על נהר התמזה שבלונדון, האם גם אז היו מקבלים המושבעים את דעותיו ללא עוררין?'

על רקע השגיאות הגסות בחישובים הסטטיסטיים הגישו עורכי הדין של קלארק שני ערעורים. הערעור הראשון נדחה, והשני נתקבל: סאלי שוחררה מהכלא בינואר 2003. בשלב זה, עם זאת, סאלי כבר הייתה שבר כלי. היא סבלה התעללויות קשות מהאסירות האחרות בזמן מאסרה, וחייה נהרסו. היא התמכרה לטיפה המרה, ובשנת 2007 נמצאה גופתה של סאלי בביתה והיא בת 42 בלבד. סיבת המוות הייתה הרעלת אלכוהול.
אפקט המגירה

כפי שכבר ציינתי בפתיחת הפרק, הסטטיסטיקה היא כלי עזר חשוב במחקרים מדעיים רבים. כמעט כל תואר אקדמאי, אם במדעי הטבע ואם במדעי הרוח והחברה, כולל גם לימודי סטטיסטיקה והסתברות כחלק בלתי נפרד ממסלול הלימודים. ובכל זאת, על אף שמרבית החוקרים מבינים את החשיבות שבניתוח סטטיסטי זהיר וקפדני ומשתדלים להימנע משגיאות מביכות – יש סוגי טעויות שבלתי אפשרי להתחמק מהן ברמת המחקר הבודד או החוקר היחיד: טעויות שאיש אינו אשם בהן, ובכל זאת מהוות בעייה לא פשוטה בתחומי מחקר רבים. הטעות המכונה 'אפקט המגירה' היא טעות שכזו, וכדי להסביר אותה – נפנה דווקא לעולם הכדורגל.

תחרות הגביע העולמי בכדורגל של 2010 הייתה, כמו כל התחרויות שקדמו לה, משופעת בכוכבים גדולים: קסיאס, דרוגבה, חאבי, רונלדו, מסי… המונדיאל של 2010 גם הכיר לנו שני כוכבים חדשים, צפויים פחות. הראשונה הייתה הוווזלה, והאחר: פול התמנון. תמנונים הם בעלי חיים אינטליגנטיים בצורה יוצאת דופן: יש להם זיכרון מעולה והם מסוגלים לפתור חידות פשוטות בזריזות מפתיעה. יש המשווים את רמת האינטליגנציה של התמנונים לזו של הכלבים, למשל. גם פול, תמנון במרכז הימי בעיר אוברהאוזן שבגרמניה, ניחן בחכמה שכזו – ואולי גם ביכולת מנטלית מסוג שונה לגמרי.

באליפות אירופה בכדורגל שנערכה ב–2008, הצליח פול לנחש את תוצאות משחקיה של נבחרת גרמניה בארבעה מתוך שישה משחקים. הצלחה זהירה זו הביאה את מטפליו של פול במרכז הימי לאפשר לו לנחש תוצאות המשחקים גם בגביע העולמי של 2010, אולי כדי לנסות ולמשוך את תשומת לב התקשורת ולזכות בכמה מבקרים חדשים. כיוון שתמנונים אינם יודעים לדבר או לכתוב, שיטת הניחוש של פול הייתה היורסטיקה מבוססת גסטרונומיה, או במילים אחרות – אוכל. המטפל היה מוריד אל האקווריום שני מכלי זכוכית ובהם מנות זהות של בשר צדפות, המזון האהוב על פול. על כל מיכל היה דגל של אחת המתמודדות – והמיכל שממנו בחר פול לנשנש ראשון סימן איזו קבוצה תנצח במשחק.

המשחק הראשון של גרמניה היה מול אוסטרליה, ופול בחר במיכל הגרמני. גרמניה ניצחה. המשחק השני היה נגד סרביה, ופול – במפגן אופי מעורר כבוד – הלך נגד הפטריוטיות המקומית והצביע בעד הסרבים. הוא צדק. במשחק השלישי התמודדה גרמניה נגד נבחרת גאנה, ופול בחר בגרמניה. נו, את ההימור הזה גם מדוזה הייתה לוקחת בהליכה. אבל כשפול קבע שגרמניה תנצח את אנגליה – וצדק – כבר אי אפשר היה להתכחש לכך שיש בתמנון הזה משהו שונה…

אוהדי כדורגל מכל העולם התגייסו כדי לבלום את כוחותיו המאיימים של פול. שף ארגנטינאי פרסם בפייסבוק מתכון לבישול בשר תמנונים, בניסיון להפעיל עלו לחץ פסיכולוגי – ניסיון נואש למדי, בהתחשב בעובדה שלתמנונים אין ממש פסיכולוגיה, לפחות ככל הידוע לנו היום. כשפול חזה שגרמניה תפסיד לספרד בחצי הגמר, ראש הממשלה הספרדי הציע לשלוח שומרים מטעמו כדי למנוע מאוהדי גרמניה לאכול את פול – אם כי יכול להיות שהוא רק התבדח. אני מקווה. פול השלים סדרה של שמונה תחזיות מוצלחות מתוך שמונה נסיונות, כשחזה שספרד תנצח את הולנד בגמר.

ובכן, מה סוד כוחו של התמנון? פול הלך לעולמו כעבור מספר חודשים בלבד ולקח את סודותיו עמו ל… היכן שתמנונים הולכים כדי למות. ככל הנראה הוא נפח את נשמתו רק שבועות ספורים לפני שההתאחדות הישראלית לכדורגל התכוונה להציע לו את תפקיד מאמן הנבחרת. מזל שלו, אם אתם שואלים אותי. אבל הסטטיסטיקאים כבר יודעים את הסוד. על פי התאוריה המקובלת, סיכויו של פול לנחש את כל התוצאות הנכונות במונדיאל – בהנחה הסבירה שכל הניחושים אקראיים לחלוטין – הם בסביבות האחד ל–250. זהו סיכוי לא גבוה במיוחד, אבל גם לא בלתי אפשרי. מדוע, אם כן, זכה פול לפרסום כה רב? התשובה טמונה ב'אפקט המגירה'.

בכל מחקר מדעי כלשהו יש סיכוי שלמרות כל המאמצים, נקבל בסופו של דבר תוצאה לא סבירה. נניח, לצורך העניין, שאנחנו בוחנים השפעה של תרופה על סוג נדיר של סרטן ונניח שהתרופה, לרוע המזל, אינה משפיעה כלל על המחלה. אם מאה חוקרים ברחבי העולם בודקים את התרופה הזו בניסויים מבוקרים, 99 מהם יקבלו את התוצאה השלילית הצפויה: התרופה לא השפיעה, והסרטן לא נרפא. אבל יש סבירות מסוימת שהניסוי המאה יקבל תוצאה חיובית מסיבות שאינן קשורות כלל לתרופה עצמה: החולים המשתתפים בניסוי הבריאו מסיבה אחרת – אולי שינוי תזונה, או כל סיבה ערטיאלית אחרת.

ברור שאם 99 ניסויים טוענים שהתרופה אינה יעילה, ורק אחד מוצא שהיא כן יעילה – התרופה אינה יעילה, נקודה. בפועל, עם זאת, 99 החוקרים שלא הצליחו לרפא את הסרטן יקחו את דו"ח הניסוי, ידחפו אותו למגירה ולא יפרסמו אותו לעולם. מה כבר יש לפרסם? הניסוי לא הפיק שום תוצאות מהותיות… אבל החוקר הבודד שכן הצליח להפיק תוצאות חיוביות, ימהר לפרסם את המחקר שלו. התוצאה: עולם הרפואה מסיק, בטעות, שאולי התרופה החדשה כן יעילה. זהו 'אפקט המגירה'.

זה גם מה שקרה לפול התמנון. סביר להניח שבכל רחבי העולם, בכל עשרת המונדיאלים האחרונים (ואולי יותר), ניסו אנשים להיעזר בחיות כדי לנסות ולנחש את תוצאות המשחקים. כיוון שחיות לא ממש מבינות בכדורגל, כל הניסיונות האלה כשלו – ולכן התקשורת לא התעניינה בהם. מי רוצה לשמוע בחדשות על רקס, הכלב שלא הצליח לנחש את תוצאות הגביע העולמי? כל אותם נסיונות כושלים אינם מגיעים לתודעת הציבור ונכנסים, באופן מטפורי, אל המגירה. אבל אם מספיק חיות ינסו לנחש את התוצאות, אחת מהן תצליח – ורק הגורל העיוור קבע שיהיה זה פול התמנון. ואכן, על פי וויקיפדיה, באותם המשחקים עצמם ניסו את מזלם בניחוש תוצאות המשחקים גם ליאון הקיפוד, פטי ההיפוטוטם, ג'ימי החזיר ואנטון הקוף – כולם פספסו בשלב זה או אחר. אנטון, דרך אגב, טען שגאנה תנצח… וזו לא הייתה הפעם הראשונה ש"הקוף" טעה בפרשנות.

אפקט המגירה, אם כן, הוא שגיאה שנגרמת כתוצאה מהאקראיות המובנת של העולם שלנו והאופן שבו מתפרסמים מאמרים מדעיים. כדי לנסות ולהילחם בו, יש מספר ירחונים מקצועיים שהכריזו שלא יקבלו מחקרים לפרסום אם החוקרים לא ידווחו על כוונתם להתחיל בניסוי מבעוד מועד- כדי שעורכי המגזין יוכלו לוודא שידווחו על תוצאותיהם בהמשך, גם אם התוצאות יהיו שליליות.
חוק בנפורד

עד כה סיפרתי רק על הצדדים השליליים של טעויות סטטיסטיות והסתברותיות. כדי להשלים את התמונה, הנה דוגמא למקרה שבו יש למוזרות הכללית של הסטטיסטיקה יכולה להיות דווקא השפעה חיובית. אחד העזרים המתמטיים הנפוצים בתקופה שלפני עידן המחשב היה "ספר הלוגריתמים": ספר שבו מפורטים תוצאותיו של חישוב מתמטי מסוים ונפוץ מאוד. התוצאות נרשמו בטבלאות דחוסות ובכתב קטן וצפוף, ולכן כל מי שהשתמש בהן היה עוקב אחר העמודות והשורות בעזרת האצבע המורה, כדי לא להתבלבל.

ב-1881 הבחין האסטרונום האמריקני סיימון ניוקום (Newcomb) בתופעה מרתקת. ניוקום נעזר בספר הלוגריתמים באופן שוטף, ובאחד מביקוריו בספרייה הבחין שבכל העותקים של ספר הלוגריתמים – הדפים הראשונים של הספר היו מלוכלכים מטביעות אצבעות הרבה יותר מדפיו האחרונים. הטבלאות בספר הלוגריתמים מסודרות על פי סדר עולה של המספרים: 100, 101, 102 וכן הלאה. עובדה זו פירושה שבדפים הראשונים של הספר נמצאים המספרים שהספרה השמאלית ביותר שלהם, הספרה הראשונה, היא 1. מדוע, שאל ניוקום את עצמו, מתעניינים האסטרונומים דווקא בחישובים או במדידות שמתחילים במספר 1? הרי אין בזה שום היגיון. הטבע נייטרלי ואקראי, ואין שום סיבה להניח שכאשר מודדים מרחקים, זמנים או גדלים דומים – תוצאות המדידה תהיינה מוטות דווקא למספרים המתחילים במספר 1, כמו 153, 1830 או 1,230,900…

אבל כשבדק ניוקום את העניין בפועל, זה בדיוק מה שהוא גילה: במדידות רבות באסטרונומיה, התוצאה המתקבלת היא מספר שהספרה הראשונה שלו היא 1. המספר 1 מופיע כספרה השמאלית ביותר בשכיחות גבוהה באופן מובהק: כשלושים אחוז מהמקרים. הספרה 2 מופיעה כספרה הראשונה במדידות בשכיחות נמוכה יותר, אבל עדיין גבוהה יחסית. הספרה 9 היא הנדירה ביותר, עם פחות מחמישה אחוזים מהמדידות. ניוקום לא הצליח להסביר את התוצאה שקיבל, אבל פרסם אותה במאמר מקצועי. לרוע מזלו, אף אחד לא לקח אותו ברצינות – ובאמת, איך אפשר לקחת תוצאה כזו ברצינות?… המאמר נשכח.

57 שנים מאוחר יותר, ב-1938, הבחין פיסיקאי בשם פרנק בנפורד (Benford) באותה התופעה בדיוק: גם הוא, כמו ניוקום, השתמש בספר לוגריתמים – וגם העותק שלו היה מלוכלך מאוד בדפים הראשונים. בנפורד השקיע מאמצים אדירים, הירואים ממש, כדי לוודא שההשערה שלו לגבי השכיחות המוגזמת של המספר 1 כספרה הראשונה בכל מדידה, אכן תקפה. הוא בחן כעשרים אלף מדידות וטבלאות נתונים מכל סוגים: שטחי נהרות, משקלים אטומיים של יסודות, מספרים שמופיעים בדיווחי עיתונות, אפילו סטטיסטיקות של משחקי בייסבול… בכל מקום שבו הביט התוצאה הייתה זהה: הספרה הראשונה הייתה, בכשלושים אחוז מהמקרים, 1. פרנק בנפורד כתב מאמר על מחקריו, והפעם זכה המאמר להתעניינות מצד הקהילה המדעית. התופעה המשונה הזו זכתה לכינוי 'חוק בנפורד', ומי שגילו בו עניין מיוחד היו דווקא הכלכלנים, ובפרט אלו המתמחים בהנהלת חשבונות.

מנהלי חשבונות מנסים כל העת למצוא שיטות חדשות ומתוחכמות לאתר רמאויות פיננסיות, ובשנות השבעים הציע פרופ' האל וריאן – המשמש כיום ככלכלן הראשי של גוגל, דרך אגב – להשתמש בחוק בנפורד כדי לגלות אי סדרים בספרי חשבונות. אם הדוחות הפיננסיים תקינים, המספרים המופיעים בהם אמורים לציית לחוק בנפורד: הספרה השמאלית ביותר תהיה 1 בכשלושים אחוזים מהמקרים, 2 בכ-17 אחוזים מהמקרים, 3 בכ-12 אחוזים מהמקרים וכן הלאה. אבל אם ספרי החשבונות 'טופלו' ומישהו פברק את המספרים, המספרים לא יצייתו לחוק בנפורד. מדוע?

אחת האנקדוטות המפורסמות בעולם הסטטיסטיקה היא זו של פרופסור למתמטיקה באחת האוניברסיטאות, שבכל פתיחת סמסטר היה מטיל על הסטודנטים שלו את שיעורי הבית הבאים. חלק מהם יטילו מטבע 200 פעם וירשמו את התוצאות, וחלק מהם לא יטיל מטבע ויגיש תוצאות מפוברקות ומומצאות. בשיעור הבא, כשהגישו הסטודנטים את הרשימות שלהם לפרופסור, הוא היה מעיף מבט חטוף על כל דף וקובע בתוך שניות מי באמת הטיל מטבע, ומי פיברק את התוצאות. הניחושים שלו היו מדויקים בכמעט כל המקרים.

סוד הצלחתו של הפרופסור היה טמון בחוסר יכולתם של הסטודנטים – כמו כל שאר בני האדם – לפברק אקראיות בצורה אמינה. הסיכוי שבשש הטלות מטבע רצופות נקבל 'עץ', למשל, הוא סיכוי נמוך יחסית – אבל אם מטילים מטבע 200 פעמים ברציפות, יש סבירות גבוהה שנקבל סדרות ארוכות כאלה של עץ או פלי. זו אותה התופעה, עקרונית, שתיארתי כסיפרתי לכם על ההסתברות לאותם מספרים בלוטו שבוע אחר שבוע: אם נחזור על אותו ניסוי שוב ושוב, גם התוצאות הכי לא סבירות יתרחשו בסוף. אך כפי שידע הפרופסור, הסטודנטים שמפברקים את התוצאות לא יכתבו שרשראות ארוכות של עץ או פלי: האינטואיציה שלהם מטעה אותם, והם מניחים שאקראיות "אמתית" פרושה פיזור שווה פחות או יותר של תוצאות עץ ופלי. הפרופסור מחפש שרשראות ארוכות של אותה התוצאה בהטלה, ואם הוא לא מוצא אחת כזו – סימן שזה פברוק.

זה גם המפתח לגילוי רמאויות בספרי חשבונות באמצעות חוק בנפורד. הרמאים, כשהם מפברקים את המספרים במסמכים הפיננסיים, משתדלים לשמור על שכיחות שווה של כל המספרים השונים כיוון שאינם רוצים למשוך אליהם תשומת לב. אם המספרים בספרי החשבונות אינם מצייתים לחוק בנפורד, הבוחנים יכולים להסיק מכך שנדרשת בדיקה מעמיקה וחשדנית יותר של הנתונים. שימו לב שכתבתי שהבוחנים צריכים לבצע בדיקה נוספת, ולא להניח מיד כי נעשו פעולות לא כשרות. לא כל סוגי הנתונים מצייתים לחוק בנפורד, והסיבה לכך מתבררת כשמבינים מדוע הוא קיים מלכתחילה.

ניקח, לצורך הדוגמה, חברה שהרווח השנתי שלה צומח בעקביות, שנה אחר שנה, בחמישה אחוזים. אם בשנה הראשונה הרווח היה דולר אחד, בשנה הבאה הרווח יהיה 1.05 דולרים. בשנה שלאחר מכן, דולר ועשרה סנטים וקצת, ובשנה שלאחריה – 1.15 דולרים וקצת. הרווח יגדל בהתמדה ובעקביות, ובסך הכל יידרשו לחברה 14 שנה כדי לחצות את קו שני הדולרים. אבל ברגע שתגיע לשני דולרים, יחלפו רק 8 שנים עד שתגיע לרווח של שלושה דולרים – כיוון שחמישה אחוזים מ-2 הם יותר מחמישה אחוזים מ-1… הקפיצה מרווח של שלושה דולרים לארבעה דולרים תתרחש בתוך 6 שנים בלבד, ומתשעה דולרים לעשרה דולרים – רק שנתיים! אבל מה קורה עכשיו? הקפיצה מרווח של עשרה דולרים לעשרים דולרים שוב אורכת 14 שנים ארוכות… ומעשרים לשלושים דולרים- רק 8 שנים.

סוג כזה של צמיחה מכונה 'גידול לוגריתמי', והוא מתאפיין בכך שהתוספת לערך תלויה גם בערך הגודל עצמו. במקרה שלנו, תוספת של חמישה אחוזים תהיה חמישה סנט אם הערך ההתחלתי שלנו הוא דולר אחד, אבל חמישים אלף דולרים אם הערך ההתחלתי שלנו הוא מליון דולרים. כפי שראינו, בגידול לוגריתמי המספרים מבלים הרבה 'זמן' בתחום שבין 1 ל-2, ביחס לזמן שבין 2 ל-3, והרבה זמן בין 10 ל-20, ביחס לזמן שבין 20 ו-30, וכן הלאה. עובדה זו מסבירה מדוע המספר 1 שכיח מאד בתור הספרה הראשונה, והמספר 9 כמעט ואינו מופיע בה.

לשם השלמות כדאי לציין שיש סיבות נוספות לקיומו של חוק בנפורד, סיבות הקשורות לסוגים של התפלגויות סטטיסטיות – אבל השורה התחתונה היא שאסור למנהלי החשבונות להניח באופן מיידי שאם המספרים בדוחות אינם מצייתים לחוק בנפורד, יש כאן 'אקדח מעשן'. יש גורמים רבים המסוגלים להטות את שכיחות המספרים. למשל: בחברות רבות מקובל הנוהג שאם הוצאה כספית אינה עוברת רף מסוים, אפשר לאשר אותה במסלול מהיר: עד חמש מאות שקלים צריך אישור של הבוס הישיר, ומעל חמש מאות שקלים צריך אישור של סמנכ"ל כספים. נוהג כזה יעוות לחלוטין את הפילוג הסטטיסטי של המספרים כיוון שקבלני משנה רבים יעדיפו להוציא חשבונית רק עד 499.99 שקלים, במקום להתעסק בבירוקרטיה המתישה בשביל עוד כמה שקלים מסכנים.

אבל אם נזהרים ולוקחים בחשבון את כל הגורמים השונים, חוק בנפורד הוא בהחלט כלי רב עצמה בזיהוי תרמיות פיננסיות, ובעשרים השנים האחרונות הורשעו כמה וכמה נוכלים – במיוחד בארצות הברית – שמעשיהם נחשפו באמצעות שימוש בחוק בנפורד. הסטטיסיקה יכולה אולי לשקר, אבל לעתים היא גם יכולה להוציא את האמת לאור…

ברור, אם כן, שלסטטיסטיקה ולהסתברות יש חלק משמעותי מחיי היום יום שלנו – וברור גם שרוב האנשים, בהכללה, מתקשים להתמודד עם הדקויות והמלכודות שהן מציבות בפנינו. הדרך הכמעט יחידה לשפר את מצב זה של העניינים היא באמצעות חינוך, ועל כן נשמעים בשנים האחרונות קולות, כמו זה של המתמטיקאי ארתור בנג'מין, הקוראים לחשוב מחדש על האופן שבו אנחנו מלמדים מתמטיקה בבתי הספר התיכוניים. רוב לימודי המתמטיקה בתיכון מוקדשים לאלגברה ולחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: אלו תחומים חשובים, ללא צל של ספק, אבל בעיקר עבור מי שממשיך לתארים מתקדמים במקצועות הריאליים. עבור כל השאר, הם לא ממש מועילים. סטטיסטיקה, לעומת זאת, יכולה להיות שימושית גם עבור מי שלא פונה לתחומי ההנדסה והמדע. ה' ג' וולס, סופר המדע הבדיוני המפורסם, השמיע את הטענה הזו כבר לפני למעלה ממאה שנים. "בעתיד," כתב וולס, "הבנה של הסטטיסטיקה תהיה הכרחית לאזרחות טובה, לא פחות מהיכולת לכתוב ולקרוא."

http://www.ranlevi.com/texts/ep105_lies_and_statistics_text/