Wednesday, February 29, 2012

Немного о футболе. Часть III - эквивалентное определение ничьи в матче

Содержание:
Часть I - футбольная вводная
Часть II - естественные требования ничьи в матче
Часть III - эквивалентное определение ничьи в матче
Часть IV - "естественность" дополнительного требования
Часть V - "естественность" и недостатки дополнительного требования

В предыдущей заметке были приведены естественные требования к определению лучшей команды и показано как они выполнятся согласно данному нами правилу определение лучшей команды.

Я повторю формулировку правила для удобства. Обсудим требования 1-3, в частности более подробно обсудим требование 3, приведём эквивалентную формулировку нашего правила через разности забитых и пропущенных мячей, в следующей заметке исследуем в каких случая условия 1) недостаточно, чтобы определить победителя и почему "дополнительное" требования является "естественным" в некотором смысле. Также укажем на некоторые недостатки.

Ниже есть продолжение.

Итак, вспомним ещё раз:

Формулировка правила. Победителем является команда, которая по-сумме двух встреч забила больше голов, чем пропустила. В случае равенства забитых и пропущенных мячей сравниваются количество голов забытых на выезде. В случае и этого равенства, в конце обычный 90 минут игр ("грязного времени") во второй игре, судья назначает дополнительное время и, в случае надобности, пенальти.

Любой счёт между командами A и B может быть записан как a1:b1, a2:b2.


1). Для определение победителя нужно сравнить два выражения (a1+a2) и (b1+b2). Если первое больше второе, то победителем объявляется команда A. Если второе больше первого, то победителем объявляется команда B. В случае ничьей, для определения победителя переходим к следующему правилу.


Второе, сравниваются количество голов забытых на выезде, в наших обозначениях может быть записано так:


2) Если a2 больше чем b1, то победителем является команда A. Если меньше-команда B. Если они равны, фиксируется ничья (дополнительное время и пенальти).


Требование 1. Если одна из команда выиграла обе игры, она должна быть объявлена победителем.

Требование 2. Если одна из игр закончилась ничьей, а в другой был выявлен победитель, то именно он должен быть объявлен победителем плей-офф. В какой именно игре была ничья, при этом не важно.

Требование 3. Если побеждала то одна, то вторая команда, но одна из побед была "с разгромным счётом", то тот, кто выиграл с разгромным счётом объявляется победителем.

Дополнительное требование ("дома и стены помогают"). В случае равенства основных показателей, предпочтение должно быть отдано команде, которая забила больше голов на чужом поле.

Напомню, также, что "разгромный счёт", это счёт в котором разница между забитыми и пропущенных мячей будет больше или равняться некоторому "большому" положительному числу.

Заметим, что дополнительное требование полностью эквивалентно условию 2 из второго условия определения победителя. Более того, для требований 1-3 достаточно было использовать требование 1 (что мы и сделали в прошлой заметке).

Заметим также что "основное" (первое) условие определения победителя по сумме двух встреч сформулировано через суммирование мячей забитых в двух играх, а требование 3 сформулировано на языке разностей забитых и пропущенных мячей. Я хотел бы остановиться на этом чуть подробней.

Для удобства, я ещё раз приведу требование 3.

Требование 3. Если побеждала то одна, то вторая команда, но одна из побед была "с разгромным счётом", то тот, кто выиграл с разгромным счётом объявляется победителем.

Итак, запишем в алгебраической форме требование 3. Пусть первая игра закончилась со счётом a1:b1, а вторая игра закончилась со счётом a2:b2. Пусть, без ограничения общности, "разгромный счёт" был в первой игре и в ней победила команда A. Это значит, что (a1-b1)>>0 (много больше нуля). Во второй игре, выиграла команда B, но с обычным счётом, значит (b2-a2)>0 (просто больше нуля). Имеем,

(1) a1-b1>>0
(2) b2-a2>0

Обозначим через d1=a1-b1. d1>>0 (следует из определения d1 и неравенства (1)).
Обозначим через d2=b2-a2. Т.к. во второй игре команда B выиграла с "обычным" счётом разница d2 должна быть обязательно меньше разницы d1 т.е. d2<d1 или что тоже самое d1-d2>0. Имеем

0<d1-d2=(a1-b1)-(b2-a2)= далее раскрываем скобки и получаем
=a1-b1-b2+a2= далее группируем слагаемые по другому
=(a1+a2)-(b1+b2), т.е.

0<(a1+a2)-(b1+b2) что эквивалентно

(a1+a2)>(b1+b2)

Выиграл у нас с разгромным счётом команда A, вот мы и видим что сумма забитых её голов больше суммы забитых голов команды B.

Замечание: Советую перечитать доказательство требования 3 с предыдущей заметки.

Согласитесь, это несколько удивительно, мы начали с рассмотрения разности, а пришли к рассмотрению сумм. В доказательстве требования 3 мы наоборот начали с суммы а пришли к разности.

Замечание: Формально говоря строчка (a1+a2)>(b1+b2) не является полный аналогом пункта 1) нашего правила, но оно очень близко к нему подходит. Настолько близко, что формулировка пункта 1) правила является естественным обобщением. См. также заметку о расширяемости и осмысленности в математике.

Дадим, альтернативную формулировку правила сложения, через разность.


Любой счёт между командами A и B может быть записан как a1:b1, a2:b2.


1*)
Рассмотрим 3 случая.

Случай I. a1=b1

Первая игре закончилась в ничью, т.е. с разницей в d1=b1-a1=0. Таким образом, исход поединка зависит от исхода второй игры, разницы забитых и пропущенных мячей во-второй игре. В случае ничьи во-второй игре, будет объявлена ничья в поединке (дополнительное время и пенальти), команда победившая во-второй игре будет объявлена победителем по сумме двух игр.


Случай II. a1>b1

В первой игре победила команда A с разницей в d1=a1-b1>0. Таким образом, команде A должна проиграть вторую игру с разницей большей чем d1, чтобы проиграть по сумме двух встреч. В случае если вторая игра закончится с разницей b2-a2 равной d1 в точности, будет зафиксирована ничья (дополнительное время и пенальти). Иначе, выиграет по сумме двух игр команда A.


Случай III. a1<b1

В первой игре победила команда B с разницей в d1=b1-a1>0. Таким образом, команде B должна проиграть вторую игру с разницей большей чем d1, чтобы проиграть по сумме двух встреч. В случае если вторая игра закончится с разницей a2-b2 равной d1 в точности, будет зафиксирована ничья (дополнительное время и пенальти). Иначе, выиграет по сумме двух игр команда B.


Я не буду подробно приводить доказательство эквивалентности этих формулировок (по-сути я должен ещё нескольо раз повторять одно и тоже) я скажу, что оно базируется на том, что следующие выражения эквивалентны (вместо > может быть >=, < или <= или =):

(a1+a2) > (b1+b2)

(a1+a2) - (b1+b2) > 0

(a1-b1) - (b2-a2) > 0

(a1-b1) > (b2-a2)

Футбольные комментаторы предпочитает именно последнюю формулировку. Почему? Она ведь кажется намного более громоздкой (в ней рассматриваются три случая к примеру). Дело в том, что до сих пор мы рассматривали задачу следующим образом: после того как оба матча были сыграны, кто победил? Обычно же между играми есть некоторое время, несколько недель, когда комментаторы и делают свои комментарии. Т.е. мы уже знаем значения a1 и b1 (первая игра уже сыграна), но ещё не знаем значений a2 и b2. Для того чтобы как-то отличать известные значение от неизвестных, обозначим a1=k, b1=m. Мы также, естественно знаем, что больше k или m, и какова разница между ними. Согласно первоначальному определению, нам нужно сравнивать (a1+a2) и (b1+b2) или (k+a2) и (m+b2). Беда в том, что в данным момент мы не знаем значений a2 и b2. Мы, конечно, можем "перенести всё в одну сторону", "перегруппировать слагаемые", известные и неизвестные по отдельности, но тем самым мы перейдём к эквивалентному определению 1*. Согласно определению 1*, мы легко определяем какой у нас случай, пусть, для примера у нас случай II (в первой игре победила команда A, напомню, что a1 и b1 нам известны и мы их обозначили как k и m соответственно). Итак, к>m. Определим d1=a1-b1=k-m>0. Мы теперь знаем, что команда A победила с разностью в d1. Таким образом она может себе позволит проиграть (или сыграть в ничью) с разницей в d1-1. Т.к. d1>0, d1-1>=0 (напомню, что d1 будет положительным целым числом или ноль).

Продолжение следует.

[12.01.2007] Хазин и Л.Григорьевым на Маяке



То же самое тут Михаил Хазин. Радио маяк. Иностранные инвестиции в России: нужны ли ограничения? (12.01.2007)



Есть ли где-нибудь в Интернете полная запись или скрипт Вашей памятной передачи на Маяке с Л.Григорьевым от 12.09.2007
"Иностранные инвестиции в России: нужны ли ограничения?" ?
В архиве "Маяка" она есть только в урезанном виде, очевидно, неслучайно ).

Эта та самая передача, в которой из прямого эфира Л.Григорьев убежал, поскольку не мог обсуждать темы, на которые она вышла.

http://khazin.livejournal.com/278947.html

Хазин сказал следующее: во времена эпохи Клинтона США управляло миром через финансы. Затем консенсусом было принято решение перейти на прямое военное управление (отсюда Ирак и т.п.), т.к. чисто финансово они мир не могли удержать. Для изменение психологии людей были устроены теракты 11 сентября (т.е. США сами себя высекли взорвали). В качестве подкрепление своих доводов Хазин приводит исторические параллели, а также ссылается на то, что он сказал это буквально 10 сентября 2001 года.

Помимо этого хочу обратить внимание на то, как Л.Григорьев интерпретирует размер гос.долга США (напомню, это ещё было даже до программы TARP!). Мол инвесторы всего мира просто счастливы держать свои деньги в американских гос. облигациях. Отношения гос. долга к ВВП находится "всего лишь" на уровне 1980-ых, мол, и тогда США все "хоронили", а они выкарапкались.

Хазин о докладе Всемирного банка по Китаю (AUDIO)

О расширяемости и осмысленности в математике

Из блога Привычка не думать
Форматирование моё. Как обычно в квадратных скобках [] приведены мои комментарии.


Казалось бы, нет ничего особенно плохого в правиле сложения a/b + c/d = (a+c)/(b+d) (умножать же так можно). Просто тут надо понимать, что оно имеет ряд дефектов:
1) Отсутствует связь с реальностью. Например, 1/2 + 1/2 должно быть равно 1, а почему-то опять равно 1/2.
2) Отсутствует связь с ранее изученными целыми числами. Например, 1 + 2 = 3, но 1/1 + 2/1 почему-то оказывается равным 3/2.
3) Слишком много нулей[т.е. чисел нейтральных относительно сложения]. Это тонкий момент, но тоже достаточно наглядный. Работая с целыми числами, мы привыкли, что существует только одно число, прибавляя которое к остальным мы не меняем результат. Это число равно 0, причём других таких чисел нет. Но тогда из странного равенства 1/2 + 1/2 = 2/4 = 1/2 [получили, что 1/2+1/2=1/2, сравните с 0+0=0, если другое число, отличное от нуля с таким свойством?] следует, что 1/2 = 0 (и подобных нулей [в указанном выше смысле] можно ещё много найти).

Короче, такой способ складывать обыкновенные дроби никак не позволяет аккуратно расширить наши знания о натуральных и целых числах. А это расширение обязательно должно быть. Мы ведь учимся складывать дроби не только для решения задачек на сложение дробей?

http://my-tribune.blogspot.com/2012/02/blog-post_29.html