Математическая статистика (и элементарная теория вероятности)

Нормальное распределение


См. также:
Теорема Лебега о разложении меры

Элементарная теория вероятности - Аксиомы теории вероятности, Формула полной вероятности и формулы Байеса, испытания Бернулли, дискретные и непрерывные случайные величины, Мат. ожидание и дисперсия, Биномильное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение; равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение. Закон больших чисел, центральная предельная теорема.

Статистика - линейная регрессия, случайные функции, основные понятия математической статистики, генеральное и групповое среднее, генеральная и выборочная дисперсия, групповая, межгрупповая и общая дисперсия, интервальные оценки, проверка гипотез, основы дисперсионного анализа, основы корреляционного анализа, метод Монте-Карло.


См. также:
Интеграл Эйлера - Пуассона

В данном курсе не вводятся бесконечные вероятностные пространства (см. ниже).

Ниже есть продолжение.

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии. Но при изучении этих последних применяются существенно новые принципы: предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей выполняется ещё следующая


Аксиома непрерывности. Для убывающей последовательности
$x_1 \supseteq x_2 \ldots \supseteq x_n \supseteq \ldots$
событий из $\mathcal{\Omega}$ такой, что
$\bigcap_{n} x_n = \emptyset$
имеет место равенство
$\lim_{ n \rightarrow \infty } \mathbf{P}(x_n) = 0.$

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий.

Заметим, что если система событий $\mathcal{\Omega}$ конечна, аксиома непрерывности следует из других аксиом. Для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности является независимой от остальных аксиом.

При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме непрерывности, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Алгебра $\mathcal{\Omega}$ событий пространства элементарных исходов $\Omega$ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы $\sum_{n} x_n$ событий $x_n$ из $\mathcal{\Omega}$ принадлежат $\mathcal{\Omega}$. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют $\sigma$ -алгебрами событий (сигма-алгебрами).

С точки зрения теории множеств полное аксиоматическое определение вероятности есть не что иное, как введение в множестве $\Omega$ нормированной, счетно-аддитивной, неотрицательной меры P, определенной для всех элементов множества $\Omega$.

См. также:
Теорема Каратеодори о продолжении меры. Из теоремы в частности вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Интеграл Эйлера - Пуассона (English, Russian)

Он же Гауссов интеграл.

Integral of exp(-x^2)





https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant#Example_2:_polar-Cartesian_transformation

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D0%B0%D0%BD#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{a}\,dx= \sqrt{a*\pi}}$ (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function#Integral_of_a_Gaussian_function)


Всё это важно в контексте нормального распределения.

ЦСБ: еврейское население в Израиле стало расти быстрее, чем арабское

Заметка полностью. Форматирование моё.

Почему в еврейских семьях стало рождаться больше детей, а в арабских меньше? Специалисты дают объяснение

Центральное статистическое бюро (ЦСБ) Израиля опубликовало сведения о численности и национальном составе населения по состоянию на 31 мая 2017 года. Из данных следует, что впервые после 1990-1991 годов, когда в Израиль хлынула беспрецедентная волна алии из бывшего СССР, еврейское население страны растет быстрее, чем арабское.

Подчеркнем, что речь идет лишь о статистике за один месяц - май 2017 года. Различия пока невелики и не выходят за рамки стандартной статистической погрешности. Однако ранее - с погрешностью или без - арабский прирост всякий раз оказывался выше еврейского.

С середины 1950-х до конца 1980-х годов, невзирая на алию, количество арабов росло быстрее, чем евреев. Вплоть до конца ХХ века естественный прирост арабского населения (вычисляемый как разность рождаемости и смертности) систематически превышал 3% в год.

Однако с начала XXI века благодаря повышению экономического уровня, перехода части арабов с деревенского на городской образ жизни, а также вовлечению арабских женщин в систему высшего образования и на рынок труда, арабская рождаемость стремительно падает. Она уже уменьшилась с 5 до 3 детей в среднем на семью, в результате чего арабский естественный прирост снизился до 2%. У мусульман он несколько выше, у друзов и христиан - ниже этого усредненного показателя.

Что касается еврейской рождаемости, то она с начала XXI века медленно, но верно росла (с 2,8 до 3,1 ребенка на семью), естественный прирост евреев увеличился с 1,4% до тех же 2%, и теперь устойчивая долгосрочная тенденция пришла к логическому разрешению - переходу количества в качество.

Ниже есть продолжение.

По сведениям ЦСБ, с 30 апреля до 31 мая 2017 года общее население Израиля увеличилось на 13.300 человек (0,153%) и достигло 8.694.900. При этом количество евреев выросло на 9700 человек (0,150%) и составило 6.496.800. Количество арабов увеличилось на 2700 человек (0,149%) - до 1.809.100. Остальное население, включающее тех людей, чья этническая и конфессиональная принадлежность не определена, выросло на 900 человек (0,23%) и составило 389 тысяч.

Детальный анализ, проведенный д-ром Марком Тольцем из Института современного еврейства при Еврейском университете в Иерусалиме, показывает, что рождаемость у евреев в последние годы растет именно в нерелигиозном секторе, в том числе среди репатриантов из бывшего СССР.

Сопоставляя данные израильского ЦСБ, российского ЦСУ и статистических ведомств других постсоветских государств, д-р Тольц обнаружил, что в 1990-х и 2000-х годах еврейская женщина, остававшаяся в экс-СССР, в среднем в течение жизни производила на свет 0,8 ребенка, а переехавшая на историческую родину - 1,8. Теперь этот показатель для репатрианток превышает 2.

Ближайшие месяцы и годы призваны дать окончательный ответ на вопрос, обоснован ли вывод о том, что евреи возвращают себе демографическое доминирование в Израиле.

http://www.vesty.co.il/articles/0,7340,L-4987207,00.html