* Теорема о существовании площади окружности. Пусть у нас есть окружность с радиусом R. В него мы можем вписать для каждого n правильный n-угольник. Также, мы можем описать вокруг круга правильный n-угольник. Имеет возрастающую последовательность вписанных правильных n-угольников (в смысле, что их площади возрастают). Эта последовательность ограничена сверху (площадью описанного правильного n-угольника). Таким образом, по теореме Вейерштраса, у ней существует предел. Этот предел и будет площадью окружности S. Аналогично, для убывающей последовательность описанных правильных n-угольников (в смысле, что их площади убывают). Эта последовательность ограничена снизу (площадью вписанного правильного n-угольника). По теореме Вейерштраса, у ней существует предел. Этот предел и будет площадью окружности S. Легко увидеть, что оба этих S должны совпадать (S определяется как предел слева и предел справа, если предел существует, то его односторонние пределы должны совпадать). Архимед, естественно, теорию пределов не знал, он использовал метод исчерпывания (см. (#) ниже).
* Длина окружности существует и равняется $l=2\pi R$.
Теорема. Площадь круга с радиусом R равна $\pi R^2$.
Доказательство Архимеда:
Ниже есть продолжение.
Нужно доказать, что
$S=\pi R^2=\frac{1}{2} \cdot 2\pi R \cdot R=\frac{1}{2} \cdot l \cdot R$. (здесь использована формула $l=2\pi\cdot R$)
Рассмотрим прямоугольный треугольник, основание которого равно длине окружности $l=2\pi R$, а высота равна радиусу $R$. Он имеет площадь $T=\frac{1}{2} \cdot l \cdot R$. Таким образом, достаточно показать, что площадь S круга с радиусом R равняется площади прямоугольного треугольника T.
Допустим (от противного), что $S \ne T$. Тогда мы имеем два случая или $T > S$ или $T < S$.
Идея доказательства:
Для первого случая (треугольник "меньше" (по площади) круга) мы будем приближать "слева" наш круг вписанными правильными многоугольниками. Будем вписывать их до тех пор, пока "зазор" между ним и кругом будет бесконочно-малой величиной. Затем мы неожиданно найдём треугольник (с площадью T) "внутри" круга, что, очевидно, не возможно. Построение: проведении высоты h из центра окружности на середину стороны многоугольника (а также использование того, что высота h меньше радиуса R).
Для второго случая (треугольник "больше" (по площади) круга) мы будем приближать "справа" наш круг описанными правильными многоугольниками. Будем описывать их до тех пор, пока "зазор" между ним и кругом будет бесконочно-малой величиной. Затем мы неожиданно найдём треугольник (с площадью T) "вокруг" круга, что, очевидно, не возможно. Построение: проведём перпендикуляр от центра круга к середине каждой из сторон (а также использование того, что серединный перпендикуляр является радиусом R).
Доказательство (продолжение):
Ниже мы рассмотрим их по отдельности и в каждом из этих случаев мы придём к противоречию. Таким образом, наше посылка окажется не верна, а значит будет верно утверждение теоремы.
I. $T < S$
Площадь круга больше площади треугольника. Пусть $E=S-T > 0$.
Впишем квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь $G_4$ больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, $G_8$. Продолжаем деление, пока общий зазор $G_n$ не станет меньше E ($G_n < E$) (процесс деление имеет конечное число шагов по аксиоме Архимеда), т.е. $G_n=S-P_n < E$, где $P_n$ - периметр вписанного правильного многоугольника. Теперь площадь вписанного многоугольника $P_n=S−G_n$ должна быть больше площади треугольника, однако это приведёт к противоречию.
$E=S-T$ отсюда
$T=S-E$
$E > G_n$ отсюда $-E < -G_n$ или $-G_n > -E$, т.е. $-G_n > -E$
$P_n=S−G_n > S-E$, т.е. $P_n > S-E $, т.е. $P_n > T $
Получили $P_n > T $ - периметр вписанного многоугольника больше площади прямоугольного треугольника.
Проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности (длина катета меньше длины гипотенузы, $h < R $). Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину $a$, сумма всех сторон составит $na$, и эта величина меньше длины окружности ($na < l$ см. теорему о существовании выше). Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты $h$ с основанием $a$, что даёт $P_n=n*\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}nah$. Получим
$P_n=\frac{1}{2}nah < \frac{1}{2}naR < \frac{1}{2} \cdot l \cdot R=T $ что противоречит $P_n > T $ полученному раньше.
II.$T > S$
Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть $D=T-S > 0$.
Опишем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью $G_4$ больше $D$, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше $Gn < D$ (процесс деление имеет конечное число шагов по аксиоме Архимеда), где $P_n$ - периметр описанного правильного многоугольника. Теперь площадь описанного многоугольника $P_n=S+G_n$ должна быть меньше площади треугольника, однако это приведёт к противоречию.
$D=T-S$
отсюда $S+D=T$
$G_n<S+G_n=P_n < D$, т.е. $G_n < D$.
$P_n=S+G_n < S+D=T$, т.е. $P_n < T $.
Получили $P_n < T $ - периметр описанного многоугольника меньше площади прямоугольного треугольника.
Проведём перпендикуляр от центра круга к середине каждой из сторон. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину R. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину $a$, сумма всех сторон составит $na$, и эта величина больше длины окружности ($na > l$ см. теорему о существовании выше). Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты $R$ с основанием $a$, что даёт $P_n=n*\frac{1}{2}aR=\frac{1}{2}naR$. Получим
$P_n= \frac{1}{2}naR > \frac{1}{2} \cdot l \cdot R=T $ что противоречит $P_n < T $ полученному раньше.
Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника. Что и требовалось доказать.
(#) Метод исчерпывания (лат. methodus exhaustionis) — античный математический метод, предназначенный для исследования площадей криволинейных геометрических фигур или объёмов геометрических тел.
Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию (что мы видели выше). Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи. В такой форме метод был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал.
Теоретическая основа метода исчерпывания Евдокса изложена в X книге «Начал» Евклида. Там формулируется основная лемма:
Предложение 1. Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины.
Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было особого названия. Обоснование этого метода не опирается на понятие бесконечно малых, но неявно включает понятие предела. Уточнение метода исчерпывания привело впоследствии к интегральному исчислению.
В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем — математическим анализом.
Это одна из немногих теорем общей теории пределов, приведённая у античных авторов. В X веке Сабит ибн Курра предложил обобщение данной леммы, заменив «половину» на «любую часть». На этом утверждении также основано первое четкое и непротиворечивое определение предела, данное в XIX веке Карлом Вейерштрассом (1815–1897), которое стало важной вехой в истории математики.
С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса). Евклид в своих «Началах» использовал метод исчерпывания для доказательства шести теорем 12-й книги:
* теоремы 2 (о площади круга);
* теоремы 5 (об объёме тетраэдра);
* теоремы 10-12 (об объёмах конуса и цилиндра);
* теоремы 18 (о зависимости объёма шара от его радиуса).
Наиболее плодотворным метод исчерпывания стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В частности, он обнаружил следующее:
* площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого круга этой сферы;
* площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника;
* объём шара составляет 2/3 объёма описанного вокруг него цилиндра.
Основано на https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C_%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B0
https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_исчерпывания
UPDATE 28.06.02020:
P.S.Мне рассказали это доказательство на перемене в школе в 1997/1998 году, я сказал, что это чушь, так как предельные переходы не доказаны на корректность. Правильный ответ на тот момент или отсылка к исчислегию бесконечно-малых величин (это я знал, это "доказательство" приведено тут, см. "доказательство (предельный переход)") или отсылка к методу исчерпаний. А вот метод исчерпаний мне в школе объяснили, как оказалось, плохо. Его должны были объяснить, когда доказывали формулу длины окружности. Я помню, как учительница сказала читать учебник (Погорелова), а там предельный переход не был доказан. Учительница сказала, этого, мол, вам не надо. Потом из-за этого у меня были и проблемы с доказательствами формул объёма шара и прочие. Более того, метод исчерпаний не основан ни на одной из аксиом учебника по геометрии, почему я его должен был принять на веру?
END OF UPDATE
