Представьте себе: вы — астронавт, парите в безграничной пустоте космоса. Вы изо всех сил бросаете обычный камень. Интуиция и даже первый закон Ньютона подсказывают нам, что в этой пустоте, где нет трения, камень должен лететь вечно, сохраняя свою скорость и направление. Просто и понятно, верно?
Но вот сюрприз: в нашей реальной, огромной, расширяющейся Вселенной происходит нечто иное. Если бы мы могли наблюдать за этим камнем достаточно долго, мы бы увидели, что он... замедляется. И в конце концов, относительно общего расширения Вселенной, он практически остановится. То же самое происходит со светом: фотон, путешествующий миллиарды лет от далекой галактики, теряет энергию, его цвет смещается к красному, он становится менее энергичным. Куда же девается энергия камня? Куда утекает энергия фотона? Неужели фундаментальные законы сохранения энергии и импульса не работают?
Этот вопрос мучил даже Альберта Эйнштейна, когда он разрабатывал свою Общую теорию относительности. Он пытался понять, как энергия сохраняется в мире искривленного пространства-времени. И ответ пришел из неожиданного источника — от выдающегося математика Эмми Нётер.
Ниже есть продолжение.
Амалия Эмми Нётер (1882-1935) была немецким математиком, чьи работы перевернули представления о математике и физике. Несмотря на огромные препятствия, с которыми она столкнулась как женщина в академическом мире начала XX века (ей долгое время не разрешали занимать официальные должности и не платили зарплату), она внесла фундаментальный вклад в абстрактную алгебру и теоретическую физику. Её часто называют самой влиятельной женщиной в истории математики. Из-за своего еврейского происхождения она была вынуждена эмигрировать из нацистской Германии в США в 1933 году, где и провела последние годы жизни, продолжая преподавать и исследовать. Эйнштейн и другие великие умы того времени глубоко уважали её гений. Её теоремы о связи симметрий и законов сохранения считаются одними из самых красивых и важных в физике.
Именно Нётер раскрыла глубочайшую связь между симметриями нашей Вселенной и её фундаментальными законами. Прежде чем мы погрузимся в её идеи, давайте разберемся с несколькими важными понятиями, которые физики используют для описания движения.
Во-первых, Действие. В физике это не просто какое-то событие, а вполне конкретная величина, которая описывает весь путь системы (камня, планеты, частицы) из одного состояния в другое за определенное время. Представьте, что вам нужно проехать из пункта А в пункт Б. Есть много возможных маршрутов. Действие — это как бы "оценка" каждого возможного маршрута целиком, учитывающая затраты энергии и времени на всём пути.
Чтобы вычислить Действие, физики используют Лагранжиан. Это функция, которая для каждого момента времени показывает разницу между кинетической энергией системы (энергией движения) и её потенциальной энергией (запасенной энергией, как у сжатой пружины или камня, поднятого над землей). Лагранжиан как бы описывает "состояние дел" системы в терминах её положения и скорости. "Суммируя" значения Лагранжиана по всему пути, мы и получаем Действие.
Есть и другой способ описать систему — через Гамильтониан. Он представляет собой полную энергию системы (сумму кинетической и потенциальной) и выражается через её положение и импульс (грубо говоря, количество движения). Если Лагранжиан фокусируется на скоростях, то Гамильтониан — на импульсах и полной энергии. Это особенно удобно в квантовой механике или при анализе сохранения энергии.
Так зачем нужно Действие и Лагранжиан, если есть Гамильтониан (полная энергия)? Дело в том, что они приводят нас к удивительному Принципу наименьшего действия. Он гласит, что из всех мыслимых путей, по которым система могла бы двигаться из точки А в точку Б, она на самом деле выбирает тот путь, для которого Действие минимально (или, точнее, стационарно — не меняется при малых отклонениях пути). Почему природа так "экономна"? Почему она выбирает путь наименьшего действия? Это один из самых глубоких вопросов физики. Можно думать об этом так: природа стремится к наиболее "эффективному" и "сбалансированному" способу перехода из одного состояния в другое. Подобно тому, как вода всегда течет по пути наименьшего сопротивления, или свет выбирает самый быстрый путь между двумя точками, физические системы эволюционируют так, чтобы "затраты" (в смысле Действия) были минимальны. Этот принцип настолько фундаментален, что из него можно вывести почти всю современную физику!
Теперь вернемся к Эмми Нётер и симметриям. Что такое симметрия в физике? Это очень простая идея: если вы что-то меняете, а законы природы или результат эксперимента от этого не меняются, значит, у вас есть симметрия.
Важно различать два типа симметрий:
- Дискретные симметрии: Это преобразования, которые можно сделать только на определённые "шаги". Например, квадрат симметричен при поворотах на 90, 180, 270 градусов, но не на 30. Или симметрия зеркального отражения — вы либо отражаете, либо нет, промежуточного состояния нет. Такие симметрии описываются конечными группами.
- Непрерывные симметрии: Это преобразования, которые можно делать плавно, на любую сколь угодно малую величину.
- Проведите эксперимент сегодня, а потом повторите его завтра — результат будет тем же. Но вы могли бы сдвинуть время и на секунду, и на миллисекунду – законы физики не должны меняться. Это непрерывная симметрия во времени.
- Проведите эксперимент здесь, а потом перенесите установку в другую галактику и повторите — законы физики будут теми же. Но можно сдвинуть и на метр, и на миллиметр. Это непрерывная симметрия относительно сдвигов в пространстве (трансляционная симметрия).
- Проведите эксперимент, а потом поверните всю установку на какой-то угол — результат не изменится. Поворот может быть на любой, даже самый малый, угол. Это непрерывная симметрия относительно поворотов (вращательная симметрия).
Математически непрерывные симметрии описываются специальными объектами, называемыми группами Ли. Они сочетают алгебраическую структуру группы с гладкой геометрической структурой, позволяя использовать методы анализа (производные, интегралы).
И вот здесь Эмми Нётер сделала свое гениальное открытие, известное как Первая теорема Нётер. Она математически доказала, что каждой непрерывной симметрии (описываемой группой Ли) физической системы, подчиняющейся принципу наименьшего действия, соответствует свой закон сохранения.
Представьте, что у вас есть система, описываемая Лагранжианом, и она обладает непрерывной симметрией, например, относительно сдвига в пространстве. Это значит, что если вы чуть-чуть сдвинете всю систему (все её частицы) в одном направлении, Лагранжиан (а значит, и физика системы) не изменится.
Теперь подумайте: если система сама по себе сдвинется на крошечное расстояние за крошечное время (то есть, будет иметь некоторую скорость), то это преобразование должно быть "разрешено" симметрией. Если бы Лагранжиан менялся при сдвиге, то такое движение было бы "запрещено" или требовало бы внешних сил.
Нётер показала, что условие неизменности Лагранжиана при этом инфинитезимальном (бесконечно малом) сдвиге математически эквивалентно тому, что некоторая величина, связанная с этим сдвигом, не меняется со временем. Для сдвига в пространстве этой сохраняющейся величиной оказывается импульс.
Аналогично:
- Если Лагранжиан не меняется при небольшом повороте системы (вращательная симметрия), то сохраняется момент импульса.
- Если Лагранжиан не зависит явно от времени (симметрия сдвига во времени), то сохраняется энергия (которая в гамильтоновом формализме равна Гамильтониану).
По сути, теорема Нётер говорит: если "правила игры" (Лагранжиан) не меняются при определённом непрерывном преобразовании координат или времени, то существует связанная с этим преобразованием физическая величина, которая будет оставаться постоянной на протяжении всего движения системы.
Итак, конкретные связи:
- Симметрия во времени → Закон сохранения энергии.
- Симметрия относительно сдвигов в пространстве → Закон сохранения импульса.
- Симметрия относительно поворотов → Закон сохранения момента импульса.
Теперь мы можем понять, почему в идеализированной, пустой и статичной Вселенной наш камень летел бы вечно. Такая Вселенная была бы симметрична во времени и пространстве, и теорема Нётер гарантировала бы сохранение его энергии и импульса.
Но наша реальная Вселенная, как мы знаем благодаря наблюдениям астрономов, не статична. Она расширяется! Галактики разлетаются друг от друга, причём чем дальше галактика, тем быстрее она удаляется. Миллиарды лет назад Вселенная была невероятно горячей и плотной, а в далеком будущем она станет холодной и разреженной. Это означает, что наша Вселенная *не симметрична во времени* в глобальном масштабе! Она меняется.
Более того, само пространство расширяется. Это нарушает и *глобальную* симметрию относительно сдвигов в пространстве в том смысле, который нужен для строгого сохранения импульса относительно "неподвижной" сетки координат.
И что же говорит теорема Нётер? Если симметрии нарушены, то и соответствующие глобальные законы сохранения не обязаны строго выполняться!
Наш брошенный камень замедляется относительно общего "потока" расширяющейся Вселенной, потому что глобальная симметрия сдвига нарушена — его импульс относительно этой расширяющейся системы не сохраняется.
Фотон света, летящий сквозь миллиарды лет расширяющегося пространства, "растягивается" вместе с ним, его длина волны увеличивается, а энергия уменьшается (это называется космологическим красным смещением). Энергия не сохраняется глобально, потому что нарушена глобальная симметрия во времени.
Куда же девается энергия? В случае фотона она, по сути, "передаётся" самому расширяющемуся пространству-времени, гравитационному полю Вселенной. Определить полную энергию всей Вселенной, включая энергию гравитации, оказалось сложной задачей, и здесь мы подходим ко Второй теореме Нётер.
Эйнштейн в своей Общей теории относительности постулировал принцип общей ковариантности: законы физики должны выглядеть одинаково в любой системе отсчета, как бы она ни двигалась и ни ускорялась. Это пример локальной симметрии — преобразования могут быть разными в разных точках пространства-времени (вспомните локальную калибровочную симметрию в электромагнетизме). Вторая теорема Нётер показала, что такие локальные симметрии приводят не к простым глобальным законам сохранения (типа "полная энергия константа"), а к более сложным соотношениям, называемым тождествами, которые связывают между собой уравнения движения. Эти тождества часто приводят к локальным законам сохранения, описывающим, как энергия и импульс перетекают из одной области пространства-времени в другую, взаимодействуя с самим полем (в данном случае, гравитационным). Это похоже на уравнение непрерывности для жидкости: если где-то убыло, значит, куда-то перетекло. В ОТО энергия материи может "перетекать" в энергию гравитационного поля (связанную с кривизной), и наоборот. Это объясняет, почему так трудно определить общую, глобально сохраняющуюся энергию Вселенной — она неразрывно связана с динамикой самого пространства-времени.
Теоремы Эмми Нётер произвели революцию в физике. Они показали, что законы сохранения — это не какие-то произвольные правила, а глубокие следствия симметрий нашего мира. Первая теорема связала непрерывные глобальные симметрии с законами сохранения. Вторая теорема связала локальные (калибровочные) симметрии с тождествами между уравнениями и локальным сохранением. Эти идеи легли в основу Стандартной модели физики элементарных частиц, объясняя сохранение электрического заряда и других квантовых чисел через калибровочные симметрии.
Итак, возвращаясь к нашему камню и фотону. Их замедление и потеря энергии в расширяющейся Вселенной — это не опровержение фундаментальных законов физики. Наоборот, это яркое подтверждение глубокой связи между симметриями и законами сохранения, которую гениально раскрыла Эмми Нётер. В нашей реальной, динамичной Вселенной именно отсутствие идеальных глобальных симметрий и приводит к таким эффектам, полностью в согласии с её теоремами.
