Пред. Огл. След.
Представляет несомненный интерес следующий тезис: понятия сами по себе логически не следуют из опыта. Например, тела, состоящие из атомов, не могут быть точным прообразом геометрических фигур: вершины их углов не совпадают с точками, грани с плоскостями, «твёрдые» тела не являются бесконечно делимыми как в геометрии, а с позиции волновой теории света луч не может быть точным прообразом прямой. Также интересно как мы измеряем расстояния, и в частности как мы определяем положения тел. Мы пользуемся для этого линейками и совмещаем материальные точки, расстояние между которыми нужно определить с другими точками, расстояние между которыми уже определено. Но если это материальные точки, то нельзя абсолютно игнорировать воздействие линейки на измеряемое тело. Из-за этого, в частности, утверждение, что тела, с помощью которых мы измеряем предметы, не воздействуют на эти предметы, не является строгим и само по себе не оправдано. В связи с этим интересна позиция Эйнштейна а отношении квантовой механики. За ним следует вывод:
«Поистине никогда и ни при каких условиях понятия [такие как точка и прямая] не могут быть логическими производными ощущений [не следуют из опыта]. Но дидактические и эвристические цели делают такое представление неизбежным. Мораль: если вовсе не грешить против разума, нельзя вообще ни к чему прийти. Иначе говоря, нельзя построить дом или мост, если не пользоваться лесами, которые, конечно, не являются частью сооружения».[*]
[*] «A.Einstein. Lettres á Maurice Solovine. Paris, 1956, страница 129»
Вывод, несколько неожиданный для последователя великих рационалистов XVII—XVIII вв. Они были твёрдо убеждены: грешить против разума значит грешить против истины. Всё дело в том, что Эйнштейн был не столько последователем, сколько преемником Декарта и Спинозы. Он знал этих мыслителей, но также знал и Гёте с его «теория мой друг сера́, но зелено вечно зелёное дерево жизни». Эйнштейн знал, что непосредственные впечатления бытия преображаются в абстрактные понятия теории сложным образом, включающим игнорирования некоторых сторон реальности. Высшее выражение «безгрешного» рационализма — вездесущее существо Лапласа, знающее положение и скорости всех частиц Вселенной, для рационалистов XVII века было будущим их концепции, а для рационалистов XIX—XX вв. — прошлым.
Интересно проследить, как «непосредственные впечатления бытия преображаются в абстрактные понятия теории сложным образом», включая «игнорирование некоторых сторон реальности», как понятия сами по себе, логически не следуют из опыта, но тем не менее всегда сохраняют связь с опытом, на примере истории развития геометрии.
Эйнштейн говорит, что в древности геометрия была полуэмпирической наукой, рассматривавшей, например, точку как реальное тело, размерами которого можно пренебречь. «Прямая определялась или с помощью точек, которые можно оптически совместить в направлении взгляда или с помощью натянутой нити. Мы имеем, таким образом, дело с понятиями, которые, как это и вообще имеет место с понятиями, не взяты непосредственно из опыта или, другими словами, не обусловлены логически опытом, но всё же находятся в прямом соотношении с объектами наших переживаний. Предложения относительно точек, прямых, равенства отрезков и углов были при таком состоянии знания в то же время и предложениями относительно известных переживаний, связанных с предметами природы».
Античная геометрия — физическая или полуфизическая наука — эволюционировала, освобождаясь от эмпирических корней. Постепенно выяснилось, что большое число геометрических положений можно вывести из аксиом. Тем самым геометрия стала собственно математической наукой. «Стремление извлечь всю геометрию из смутной сферы эмпирического привело незаметным образом к ошибочному заключению, которое можно уподобить превращению чтимых героев древности в богов. Теперь под «очевидным» стали понимать то, что присуще человеческому разуму и не может быть отринуто без появления логических противоречий. Как же могут быть применены эти логически непротиворечивые, присущие человеческому духу и потому «очевидные» аксиомы, в частности, геометрические аксиомы, к познанию действительности? И тут, продолжает Эйнштейн, на сцену выходит канторовское учение о пространстве как априорной [до опыта, вместо опыта] форме познания».
Кант считал априорным, присущим сознанию, независимым от опыта соотношения геометрии Эвклида. В III в. до н. э. Эвклид вывел всю совокупность теорем геометрии из независимых одна от другой аксиом. Среди последних находился и так называемый постулат параллельных, эквивалентный утверждению: «через точку не лежащую на данной прямой можно провести одну и только одну прямую параллельную данной». Из этого постулата выводится равенство углов треугольника двум прямым углам, параллельность перпендикуляра к одной и той же прямой и ряд других теорем. Из него в частности выводится формула, позволяющая найти длину отрезка, если заданы координаты его концов.
Если все остальные аксиомы выглядели простыми и изящными, «очевидными», то аксиома параллельности таковой не выглядела. Это смущала многих математиков. На протяжении столетий многие известные математики пытались её доказать как теорему, опираясь на остальные аксиомы. Было дано много ложных доказательств, в которых незаметно опирались на факт из геометрии Эвклида, для доказательства которого, в свою очередь, привлекалась аксиома параллельных. Особенно «популярна» в этом плане было теорема о том, что сумма углов треугольника равняется двум прямым углам. Только в XVIII—XIX вв. математики начали пытаться доказывать, что сделать это невозможно. Лобачевский доказал независимость системы аксиом от аксиомы параллельности, т. е. если добавить аксиому параллельности к остальным аксиомам, или добавить отрицание аксиомы параллельности к остальным аксиомам, получится непротиворечивая геометрия.
В 1826 году Н. И. Лобачевский доказал, что может существовать иная, неэвклидовая геометрия, отказывающаяся от постулата параллельных. В геометрии Лобачевского «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с данной». Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского меньше двух прямых углов, перпендикуляры к прямой расходятся. Длина отрезка определяется в ней по координатам иначе, чем в геометрии Эвклида.
Тридцать лет спустя Бернгард Риман заменил эвклидов постулат параллельных утверждением, что «через точку, не лежащую на данной прямой нельзя провести ни одной прямой, не пересекающихся с данной». Иначе говоря, в геометрии Римана параллельных прямых нет. В геометрии Римана сумма углов треугольника не равна двум прямым углам, и не меньше их, как в геометрии Лобачевского, а больше двух прямых углов. Перпендикуляры к прямой не параллельны и не расходятся; в геометрии Римана они сходятся. Длина отрезка определяется в ней по координатам иначе, чем в геометрии Эвклида, и иначе, чем в геометрии Лобачевского.
Эти парадоксальные утверждения геометрии Лобачевского и геометрии Римана приобретают простой и наглядный смысл, если мы нарисуем геометрические фигуры не на плоскости, а на кривой поверхности. Для иллюстрации геометрии Римана возьмём поверхность сферы. Роль прямых на плоскости здесь будут играть кратчайшие дуги, примером которых могут служит дуги меридианов на поверхности Земли или дуги экватора. Но каждые два меридиана обязательно пересекутся, следовательно, на поверхности сферы нельзя найти параллельные кратчайшие линии. Перпендикуляры к экватору — ими как раз являются меридианы — сходятся в полюсе. Нарисовав на поверхности сферы треугольник, образованный дугой экватора и двумя меридианами, т. е. с вершиной в полюсе, мы убедимся, что сумма углов этого треугольника больше двух прямых углов. Длина кратчайшего отрезка на поверхности сферы определяется иначе, иной формулой, чем длина кратчайшего отрезка на плоскости.
Можно найти кривую поверхность, на которой, при замене прямых кратчайшими на этой прямой кривыми, так называемыми геодезическими линиями, все соотношения подчиняются геометрии Лобачевского: через точку, не лежащую на такой линии, можно провести множество геодезических линий, не пересекающихся с данной, сумму углов образованного такими линиями треугольника меньше двух прямых углов, перпендикуляры расходятся и т. д.
Такая возможность избирать различные исходные допущения и не приходить при этом к противоречиям нанесла сильный удар идеям априорного пространства.
Эйнштейн не только отвергал кантовский априоризм, но и указывал на реальные проблемы науки и действительные противоречия. Иллюстрация априорности создавалась аксиоматизацией геометрии. Второй источник отрыва геометрических понятий и их прообраз находится в самой физике. «Согласно ставшему гораздо позднее более тонкому взгляду физики на природу твёрдых тел и света в природе не существуют таких объектов, которые бы по своим свойствам точно соответствовали основным понятиям эвклидовой геометрии… [cм. развёрнутую цитату выше]… Геометрия должна предшествовать физике, поскольку законы последней не могут быть выражены без помощи геометрии. Поэтому геометрия и должна казаться наукой, логически предшествующей всякому опыту и всякой опытной науке». Объясняя такую абберацию научной мысли, Эйнштейн снова ссылается на свой исходный тезис: понятия сами по себе логически не следуют из опыта, [но всё же находятся в прямом соотношении с объектами наших переживаний.]
Как бы то ни было, в XIX веке, с его установившимся атомистическими представлении о веществе и волновыми представлениями о свете природа уже не была прикладной геометрией. Отсюда сделали вывод, что геометрия — это не абстрактно выраженная природа, и дошли до априорности геометрии, до её условности.
Болезни роста вылечиваются дальнейшим ростом. Иллюзия априорности и условности геометрии исчезли с дальнейшим развитием аксиоматизации и с дальнейшим развитием физических прообразов геометрии.
Прежде всего в геометрии выросли большие, разветвлённые системы, которые отличались некоторыми исходными допущениями, см. выше про геометрии Лобачевского и Римана. Появление различных по исходным постулатам геометрических систем подорвало корни представления об априорности геометрии и об априорном понятии пространства. Был поставлен вопрос: какая геометрия действительного мира? Имеет ли этот вопрос смысл?
Эйнштейн рассматривает во-первых ответ Гельмгольца: понятиям геометрии соответствуют реальные объекты и геометрические утверждения представляют собой в последнем счёте утверждения о реальных телах. Другая точка зрения, высказанная Пуанкаре: содержание геометрии условно. Эйнштейн присоединяется к ответу Гельмгольца.
«Чистая математика, — писал Бертран Рассел, целиком состоит из утверждений типа: если некоторое предложение справедливо в отношении данного объекта, то в отношении него справедливо некоторое другое утверждение. Существенно здесь, во-первых, игнорирование вопроса, справедливо ли первое утверждение, и во-вторых, игнорирование природы объекта… Математика может быть определена как наука, в которой мы никогда не знаем, о чём мы говорим, и никогда не знаем, верно ли то, что мы говорим».
Концепция Эйнштейна направлена как против априоризма и против представления о чисто условных математических истинах, так и против примитивной идеи тождества геометрических соотношений с «очевидными» и непреложными физическими соотношениями. Логические конструкции не дают априорных результатов при познании природы, они нуждаются в соответствии с экспериментом и в соответствии с ним приобретают физическую содержательность. Априорной очевидности не существует. Но и эмпирическая очевидность — иллюзия. Геометрические понятия получают всё новое и новое физическое содержание и при этом сами меняются.
Пред. Огл. След.
No comments:
Post a Comment