Владимир Арнольд. Для чего мы изучаем математику.

Tuesday, August 31, 2010

Владимир Арнольд. Для чего мы изучаем математику.

Выделения в тексте мои.

...Нью-Йоркский профессор Джо Бирман объяснил мне, что для
него как американца «правильное» решение этой задачи
совершенно очевидно. «Дело в том,- сказал он,- что я точно
представляю себе степень идиотизма составителей этих задач»...

Для чего надо изучать математику? В 1267 году на этот вопрос уже ответил английский философ Роджер Бэкон: "Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества". Собственно, на этом можно было бы и закончить лекцию, но люди думают, что, может быть, что-то изменилось за семь веков...

Послушаем более современное свидетельство - один из создателей квантовой механики, Поль Дирак, утверждает, что при построении физической теории "следует не доверять всем физическим концепциям". А чему же доверять? "Доверять математической схеме, даже если она, на первый взгляд, не связана с физикой". Действительно, все чисто физические концепции начала века физикой отброшены, а математические модели, взятые физиками на вооружение, постепенно обретают физическое содержание.

И в этом проявилась устойчивость математики.
Итак, математическое моделирование - продуктивный метод познания в естествознании. Мы подойдем к математическим моделям с другой стороны, рассматривая проблемы математического образования.
В нашем математическом образовании (и среднем, и высшем) мы идем в фарватере европейской системы, основанной на "бурбакизации" математики. Группа молодых французских математиков, выступавшая под псевдонимом Никола Бурбаки, начиная с 1939 года опубликовала несколько книг, в которых формально (т.е. с помощью аксиоматического метода) излагались основные разделы современной математики на основе теории множеств.
Формализация математики приводит и к определенной формализации ее преподавания. В этом и проявляются издержки "бурбакизации" математического образования. Характерный пример. Ученикам второго класса во французской школе задают вопрос:
-Сколько будет два плюс три? Ответ:
-Так как сложение коммутативно, то будет три плюс два.
Замечательный ответ! Он совершенно правильный, но ученику и в голову не приходит сложить эти два числа, потому что при обучении упор делается на свойства операций.
В Европе уже осознали недостатки такого подхода к образованию, и начался откат от "бурбакизации".
В нашей стране в последние годы происходит американизация математического образования. В ее основе лежит принцип: учить тому, что нужно для практики. А если кто-то считает, что ему математика не нужна, то он может не изучать ее совсем. В старших классах американских колледжей курс математики факультативен: третья часть старшеклассников, например, не изучает алгебру. К чему это приводит, показывает следующий пример. В тесте для 14-летних американских школьников предлагалось оценить (не вычислить, а лишь оценить), что произойдет с числом 120, если от него взять 80%. И предлагалось три варианта ответа: увеличилось; осталось прежним; уменьшилось. Крестики напротив правильного ответа поставили примерно 30% опрашиваемых. Иными словами, школьники ставили крестики наудачу. Вывод: никто ничего не знает.
Вторая особенность американского подхода к преподаванию математики - его компьютеризация. Само по себе увлечение компьютерами не способствует развитию мышления. Вот еще пример из американского теста: в классе 26 учеников. С ними нужно провести экскурсию на автомобилях. В одной машине могут ехать один родитель и 4 школьника. Сколько родителей нужно попросить помочь? Типичный ответ: 65 родителей. Компьютер выдает: 26:4 = 6,5. Ну а школьник уже знает, что если в решении должны быть целые числа, то с десятичной запятой надо что-то сделать, например отбросить.
А вот пример из официального американского экзамена 1992 года для студентов:
Что из нижеследующего больше всего походит на соотношение между углом и градусом:
а) время и час,
б) молоко и кварта,
в) площадь и квадратный дюйм (и т.д.).
Ответ: площадь и квадратный дюйм, так как градус - минимальная единица угла, а квадратный дюйм - площади, в то время как час делится еще и на минуты.
Составители этой задачи явно обучены по американской системе. Боюсь, что и мы придем к этому уровню.*

*

Нью-Йоркский профессор Джо Бирман объяснил мне, что для него как американца "правильное" решение этой задачи совершенно очевидно. "Дело в том,- сказал он,- что я точно представляю себе степень идиотизма составителей этих задач".

Можно только удивляться, что в США так много замечательных математиков и физиков (правда, многие из них иммигранты; лучшие студенты в американских университетах сегодня - китайцы).
Сейчас наше математическое образование медленно поворачивается от европейской системы к американской. Как всегда, мы опаздываем, отстаем от Европы лет на 30, и надо быть готовыми к тому, чтобы через 30 лет спасать ситуацию и выходить из этого тупика, в который нас приведет американизация образования с ее прагматичностью, факультативностью, повальной компьютеризацией.
Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет назад в семьях сохранялись старинные "купеческие" задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим.
Рассмотрим, например, задачи:
1. Имеется 3 яблока, 1 взяли. Сколько осталось?
2. Сколько нужно сделать распилов, чтобы бревно распалось на 3 части?
3. У меня сестер на 3 больше, чем братьев. На сколько в нашей семье сестер больше, чем братьев?
С точки зрения арифметики это все разные задачи - у них разное содержание. Интеллектуальные усилия, нужные для решения этих задач, совершенно разные, хотя алгебраическая модель одна: 3 - 1 = 2.
В математике прежде всего поражает удивительная универсальность ее моделей и их непостижимая эффективность в приложениях.

Вспомним В.В.Маяковского: "Человек, впервые сформулировавший, что "два и два четыре" - великий математик, если даже он получил эту истину из складывания двух окурков с двумя окурками. Все дальнейшие люди, хотя бы они складывали неизмеримо большие вещи, например паровоз с паровозом, - не математики".

Считать паровозы - это и есть американский путь математического образования. Это гибель. Пример с развитием физики показывает, что "паровозная" математика в начале нашего века оказалась хуже "окурочной": прикладная математика не успевала за физикой, а в теоретической нашлось все, что необходимо было для дальнейшего развития физики. "Паровозная" математика не может успеть за практикой: пока мы учим считать на счетах, появляются компьютеры. Надо учить думать, а не тому, как нажимать на кнопки.
...