Рекомендую прочитать статью полностью тут. Форматирование моё.
Пред. часть тут.
Мы должны озаботиться тем, чтобы математика ожила как ядро наук, как официальный язык.
Мы должны озаботиться тем, чтобы математика ожила как ядро наук = как официальный язык наук = как обновляемая долговременная память наук, --> чтобы она вновь начала впитывать находки других наук.
Нам надо вернуть математике статус объективной науки не на словах, а на деле; вернуть здравый смысл в процесс математизации (или формализации) других наук.
Математики не просто забыли куда идут и зачем идут, - они забыли о том, что такие вопросы могут существовать.
В математике не видно всплесков синтеза знания, имеющих общий характер.
Ниже есть продолжение.
Краткий исторический экскурс. Для более детального ознакомления смотри см. Математика и естествознание. Часть II или О программе Гильберта или математика на рубаже XX века.
В III в до н.э. Эвклид публикует свои знаменитые "Начала", выводящую всю геометрию из нескольких аксиом. В 1901 году Гильберт выступая на Втором Всемирном съезде математиков выдвигает знаменитую программу Гильберта. Он хотел свести все разделы математике к системе аксиом, как у Эвклида. Также предполагалось найти такую формализацию математики, что средствами этой системы можно доказать свою собственную непротиворечивость. В 1931 году молодой австриец Курт Гёдель доказал, что в любом нетривиальном языке (языке достаточно богатом, чтобы допускать формулировку результаты классической арифметики) есть утверждения которые не возможно ни доказать, ни опровергнуть. Гёдель показал невозможность чисто синтаксического доказательства непротиворечивости формальной системы.
Оказывается, прошлый XX век был золотым веком для математики! Правительства конкурирующих держав щедро субсидировали математику, считая ее основой прогресса в инженерном деле и естественных науках, не сомневаясь в скором получении прибылей от нее через них. В СССР, например, в конце 1960-х - начале 1970-х при университетах открыли новые факультеты - прикладной математики. Тем самым число студентов - математиков чуть ли не удвоили.
И математика возгордилась. Она возомнила себя самостоятельной ценностью. В результате сегодня самые крупные математики занимаются проблемами, понятными лишь узким специалистам. Не слышно, чтобы эти проблемы что-то важное сулили наукам и Человечеству.
Полагаю, надо пересмотреть содержание понятия "математизация наук". Пытаясь подражать Эвклиду и Гильберту, его понимают слишком примитивно. Несмотря на ужасно формализованный "новый" вид математизированной науки, вся ее математизация, по сути, часто сводится к переназванию старых понятий и / или к присваиванию ее названий переменным в какой - нибудь системе уравнений или неравенств. Часто научным понятиям навязывают очень узкий смысл, дабы отождествить их с какими-то математическими понятиями. Я бы сказал, что за математизацию наук часто выдают формализацию бюрократического типа. В аксиоматизации есть что-то еще. Есть индуктивный аспект. Простое, механическое выполнение "Эвклидизации" науки нам мало полезно. Вот, например, Трусделл аксиоматизировал механику сплошных сред. И что это дало? Можно упомянуть еще худший пример, - книгу Годбийона, в которой механику объявляют частью части дифференциальной геометрии. А вот хороший пример: Каратеодори аксиоматизировал классическую термодинамику, и сразу многое стало понятным, стали понятнее границы применимости теории.
Мы должны изменить отношение к аксиоматизации, которую многие понимают чрезмерно упрощенно, - как гарантию правильности фактов, доказанных в теоремах; гарантию отсутствия противоречий в теории. По традиционному математическому верованию теория состоит из основ - определений и аксиом (утверждений, истинность которых не вызывает никаких сомнений, - а в приложениях это не всегда можно проверить), и теорем (следствий из основ, полученных с помощью так называемых "доказательств"). Истинность следствий получают с помощью "логики". Никто не знает, почему "логика" всегда должна давать такой эффект, но все верят в это. В математической логике к определениям и аксиомам добавляют еще и правила вывода, - это результат сомнений в способностях "логики".
Важнейшая роль аксиоматизации - архивация знаний в программистском смысле: сжатие, компактификация добытой информации с целью сделать ее доступной одному мозгу. Причем древесная структура теории, которую мы традиционно связываем с именем Эвклида, является гарантией двух свойств архива: его минимальности и его непротиворечивости. Можно сказать, больше ничего из себя аксиоматизация не представляет, - синтез, архивация и сжатие! Настоящая, неподдельная аксиоматизация, дает синтез многих понятий в одно целое, дает единые средства решения прежде разнородных задач. Она экономит мозги следующим поколениям. Без этого она - подделка под аксиоматизацию.
Сложившеюся ситуацию можно охарактеризовать так: аксиоматизация благополучно превратилась в фетиш. Сегодня аксиоматизация наук часто не сопровождается никаким ее развитием, просто авторы аксиоматизации механически выполняют завет предка аксиоматизировать все подряд (точнее сказать - формализовать язык). А зачем надо было аксиоматизировать, - забыли (точнее сказать - забыли об этом задуматься). Непоследнюю роль в этом играет программа Гильберта, точнее её извращённое толкование.
Сегодня аксиоматизация наук часто не сопровождается никаким ее развитием, просто авторы аксиоматизации механически выполняют завет предка аксиоматизировать все подряд (точнее сказать - формализовать язык). А зачем надо было аксиоматизировать, - забыли (точнее сказать - забыли об этом задуматься).
[u]МАТЕМАТИЗАЦИЯ ЛЮБОГО ЗНАНИЯ НЕИЗБЕЖНА? А ОБРАТНОЕ ВЛИЯНИЕ ? [/u]
По мере накопления знаний мы вынуждены давать потомкам информацию во все более сжатом виде. Именно этим - сжатием научной информации, ее архивацией (в программистском смысле) и занимается математика.
Уникальная особенность математики, как архиватора знаний, заключается в том, что в ней не отделены друг от друга знания и методы их архивации. Математика одновременно - и архив и архиватор.
Следующая проблема: мы должны сжимать имеющиеся знания все сильнее и сильнее. И этот процесс сжатия знаний не должен прекращаться. Действительно: если мы этот процесс остановим, если наши ученики будут иметь наши знания к нашему возрасту, то они не будут иметь времени и сил развивать науку дальше, - никакого прогресса более не будет.
http://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_004/Sushkov/Purposes.XXI/index_full.html
No comments:
Post a Comment