Метод решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта знают почти все. Но, как мне пришлось убедиться, для многих эта формула: D = b2 - 4ac кажется своего рода заклинанием. И почему для получения корней сначала нужно произвести именно такую операцию с коэффициентами - загадка.
Ниже есть продолжение.
тобы понять, откуда взялась формула дискриминанта и почему она работает, попробуем решить квадратное уравнение без неё.http://desyatbukv.blogspot.com/2012/05/blog-post.html
Итак, имеем уравнение ax2 + bx + c = 0, где первый коэффициент не равен нулю.
Для начала разделим обе части на a:
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
Было б здорово, если бы левую часть удалось свернуть по формуле квадрата суммы. Квадрат первого, x2 , уже есть. Тогда удвоенным произведением первого на второе должно стать:
$\frac{b}{a}x=2*x*\frac{b}{2a}$
Квадрат второго будет равняться
$(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}$
Прибавим его и отнимем от левой части уравнения:
$x^2+2*x\frac{b}{2a}+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0$
Соберём три слагаемых левой части в квадрат суммы, а оставшиеся два - перенесём вправо:
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$
Приведём правую часть к общему знаменателю:
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
Вот он! Выражение b2 - 4ac, стоящее в числителе правой части - и есть наш дискриминант. Почему же его знак определяет количество корней? Рассмотрим полученное уравнение внимательнее. Слева стоит квадрат. В знаменателе правой части - тоже квадрат. И только дискриминант может иметь любой знак. Поэтому, если он окажется отрицательным, полученное уравнение корней иметь не будет. Если нулевым - корень будет единственным (кстати, формула нахождения вершины параболы также происходит отсюда). И только для положительного дискриминанта будет 2 различных корня.
Ну а дальше - легко :)
No comments:
Post a Comment