Dailymotion. Видео. Часть I
Dailymotion. Видео. Часть II
Dailymotion. Видео. Часть III
Dailymotion. Видео. Часть IV
Dailymotion. Видео. Часть V
Этот пост я должен был довести до ума давно. В предыдущих сериях:
Dangerous Knowledge
Dangerous Knowledge - Бесконечное множество и интуиция.Часть I
Dangerous Knowledge - Парадокс брадобрея. Часть II
Dangerous Knowledge - Диагональный метод доказательства Кантора. Часть III
Dangerous Knowledge - Континуум-гипотеза. Часть IV
Dangerous Knowledge - Аксиома выбора. Часть V
Dangerous Knowledge - Теория меры. Часть VI
Dangerous Knowledge - Тест Тьюринга. Часть VII
Infinity: does it exist?
Существует по-крайней мере две различные мотивации для создании теории меры. Первая -
её использование в теории вероятности (аксиоматика Колмагорова), вторая -
в качестве обобщение "обычного" определённого интегралла.
Однако, начнём мы с того, что скажем, что мера множества есть суть обобщение понятие площади в "обычной" эвклидовой геометрии.
Ниже есть продолжение.
Многие годы площадь считалась первичным понятием, не требующим определения. Основной задачей математиков являлось вычисление площади, при этом были известны основные свойства площади...В Древнем Египте использовались точные правила вычисления площади прямоугольников, прямоугольных треугольников и трапеций...Основным приёмом вычисления площади при этом являлось построение квадрата, площадь которого равна площади заданной многоугольной фигуры, в частности в книге I «Начал» Евклида, которая посвящена планиметрии прямолинейных фигур, доказывается, что треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ним равные основания и высоту... Метод разложения, основанный на том, что две равносоставленные фигуры равновелики, позволял также вычислить площади параллелограммов и любых многоугольников...
Следующим шагом было вычисление площадей круга, кругового сектора, лунок и других фигур. Основу вычислений при этом составлял метод исчерпывания многоугольниками...с которого берёт начало теория пределов. Метод заключается в построении последовательности площадей, которые при постепенном нарастании «исчерпывают» требуемую площадь. Метод исчерпывания, получивший своё название только в XVII веке, основан на аксиоме непрерывности Евдокса — Архимеда...Архимеду принадлежит идея использования площадей или объёмов как вписанных, так и описанных фигур для определения требуемой площади или объёма...
...Развитие и обобщение метода исчерпывания произошло только в XVII веке. В 1604 году в работе «Три книги о центре тяжести тел» Валерио широко использует теорему, по которой разность между площадями вписанной и описанной фигур, составленных из параллелограммов можно сделать меньше любой данной площади...
...Площадь — функция, которая обладает следующими свойствами [это есть набор форамальных аксиом]:
* Положительность, то есть площадь неотрицательна;
* Аддитивность, то есть площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её фигур без общих внутренних точек; [здесь имеется ввиду конечное количество фигур]
* Инвариантность, то есть площади конгруэнтных фигур равны;
* Нормированность, то есть площадь единичного квадрата равна 1.
Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры... [для доказательства запишем $B=A \cup X$, применим аддитивность площади и то, что для любого $X$ $S(X)>=0$ в силу положительности площади.]
Первоначально определение площади было сформулировано для многоугольников, затем оно было расширено на квадрируемые фигуры. Квадрируемой называется такая фигура, которую можно вписать в многоугольник и в которую можно вписать многоугольник, причём площади обоих многоугольников отличаются на произвольно малую величину. Такие фигуры называются также измеримыми по Жордану [мера жордана лежит в основе определение "обычного" определённого интеграла или интеграла Римана]. Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими...
...Площадь квадрируемой плоской фигуры существует и единственна...
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C
Повторю ещё раз. Мера является обобщением понятия площади евклидовой геометрии. Если фигура может быть "поделена" на конечное количество треугольников (скажем, выпуклый многоугольник), то его площадью будет сумма площадей этих треугольников. Сложнее, дело состоит с фигурами, которые не поддаются такому деление. К примеру, круг. Площадь круга была найдена методом исчерпывания, предтечей предельного перехода, когда круг был описан в многоугольник с увеличивающимся количеством сторон, и вписан многоугольник с увеличивающимся количеством сторон. Чем больше сторон было в этих многоугольниках, тем меньше оставался "зазор" между ними и кругом. С повышением количества сторон, этот зазор становился всё меньше и меньше, площадь круга "исчерпывается" последовательности площадей многоугольником.
При определение обычного "школьного" определённого интеграла, известного также как интеграл Римана используется обобщение этого самого метода "исчерпывания". Допустим, у нас есть некоторый график функции f(x). Мы хотим определить площадь фигурой под графиком на определённом отрезке [a,b]. Я не буду подробно описывать процедуру определения определённого интеграла, но суть состоит в следующем. График функции f(x) есть некоторая кривая. Если мы разобьём интервал [a,b] на конечное количество "маленьких" интервалов, то искомая площадь будет равна сумме площадей на этих интервала (важно, что количество интервалов конечно). Обратите внимание, при таком разбиении мы имеем интервалы [ai, a_i+1], на которых мы находим площадь фигуры под графиком. Далее, делается похожий переход, описанному выше. В каждом маленьком интервале, искомая площадь лежит между длиной этого "маленького" интервала (но это не точка!) умноженного на абсолютную величину инфимума ("минимума") функции на этом интервале и длиной этого "маленького" интервала умноженного на абсолютную величину супреммума ("максимума") функции на этом интервале. Далее, чем тоньше разбиение или, что тоже самое, чем меньше длина этих интервалов, тем меньше описанная разница. (суммы Дарбу) В примере с кругом, мы увеличивали количество сторон многоугольников, "исчерпывая" искомую площадь, здесь мы уменьшаем длину интервалов, делая их настолько "маленькими", что функции "трудно" "резко" поменять свою значение. Далее, если при устремлении разбиения к бесконечности ("маленькие" интервалы становятся всё меньше и меньше) вышеописанная разница становится сколь угодно мала, то говорят, что определённый интеграл сходится.
Существенно в этом описании то, что мы разбиваем наш искомый интервал [a,b] на множество интервалов. В каждом интервале, мы, по-сути, заменяем искомую площадь, на площадь трапеции. Подобное разбиение называется мерой Жордана.
Примем за единицу измерения отрезок [0,1]...Тогда длина произвольного отрезка [a,b], очевидно, равна b-a. Точно так же если имеется два непересекающихся отрезка [$a_1$,$b_1$] и [$a_2$,$b_2$], то под длиной множества E, состоящего из этих двух отрезков, естественно понимать число ($b_1-a_1$)+($b_2-a_2$). Однако далеко не так ясно, что следует понимать под длиной множества более сложной природы, расположенного на прямой; например, чему равна длина канторова множества.
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=mera-mnozhestva
Для построение Канторова множества, из единичного отрезка $C_0$=[0,1] удалим среднюю треть, то есть интервал ($\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$). Оставшееся точечное множество обозначим через $P_1$. Множество $P_1=[0,\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},1]$ состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через $P_2$. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем $P_3$. Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств $P_0\supset P_1\supset P_2\supset...$ Пересечение $P=\bigcap_{i=0}^\infty P_i$ называется Канторовым множеством.
Мера канторова совершенного множества
При построении канторового множества P из отрезка [0,1] выбрасывается сперва один смежный интервал длины $\frac{1}{3}$, затем два смежных интервала длины $\frac{1}{9}$, затем четыре смежных интервала длины $\frac{1}{27}$ и т.д. Вообще, на n-м. шаге выбрасывается $2^{n-1}$ смежных интервалов длины $3^{-n}$. Таким образом, сумма длин всех выброшенных интервалов равна
$S=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\cdots+\frac{2^{n-1}}{3^n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}.$
Члены этого ряда представляют собою геометрическую прогрессию с первым членом $\frac{1}{3}$, и знаменателем $\frac{2}{3}$. Поэтому сумма ряда S равна
$\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1$.
Итак, сумма длин всех смежных к канторовому множеству интервалов равна 1. Иначе говоря, мера дополнительного к канторовому множеству P открытого множества G равна 1. Поэтому само множество имеет меру ... 1-1=0.
Как показывает этот пример, множество может иметь мощность континуума и тем не менее иметь меру, равную нулю.
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=mera-mnozhestva
Множество Кантора может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит Канторовому множеству, если у него есть одно такое представление, например $0,1_3\in P$ так как $0,1_3=0,0(2)_3$. Каждой точке канторова множества взаимно-однозначно соответствует одно из полученных чисел, мощность этого множества двоичных чисел равна мощности канторова множества.
Также, очевидно, что в Канторовом множестве нет ни одного отрезка (хотя бы часть его должна была быть "вынута" по построению), т.е. это такое "облако пыли", состоящие из точек, которое тем не менее имеет мощность континуума.
Перед тем как продолжить, сделаю маленькое замечание. Как известно множество рациональных числе счётно. Это легко видеть здесь:
Нарисованной змейкой мы можем "обойти" все положительные дроби. Отсюда, очевидно (об этой я писал в первой части), что счётно также и множество всех рациональных чисел, как состоящие из положительные, отрицательных чисел и нуля.
Мера множества R всех рациональных точек отрезка [0, 1]
Идея доказательства состоит в том, что мы вокруг первого рационального числа берём интервал длиной $\varepsilon$, вокруг второго рационального числа, берём интервал $\frac{\varepsilon}{2^1}$, вокруг третьего рационального числа, берём интервал $\frac{\varepsilon}{2^2}$...вокруг (n+1)-го рационального числа, берём интервал $\frac{\varepsilon}{2^n}$. Сумма длин всех взятых интервал покрывает множество рациональных чисел, однако сумма их "длин", равняется $\varepsilon$, т.е. внешняя мера множества рациональных чисел сколь угодно мала. Так как взятые числа, находятся в интервале [0,1], с мерой 1 и 1-0=1, отсюда следует, что мера множества рациональных чисел равна нулю.
Этот пример показывает, что множество может быть всюду плотным на некотором отрезке и тем не менее иметь меру, равную нулю.
Множества меры нуль во многих вопросах теории функций не играют никакой роли, и ими следует пренебрегать. Например, функция f(x) интегрируема по Риману в том и только в том случае, если она ограничена и множество её точек разрыва имеет меру нуль. Можно было бы привести значительное число таких примеров.
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=mera-mnozhestva
Множество Витали - неизмеримо.
Как и в случае с наивной теорий множеств, построение теории меры, которая в этой заметке обрисована лишь пунктирно, натолкнулось на парадоксы. Изначально, существовала надежда, что она окажется применима к любому ограниченному множеству вещественных чисел. Открытие множества Витали показало, что эта надежда не оправдалась. В дальнейшем были обнаружены и другие контрпримеры, однако их построение всегда существенно опирается на аксиому выбора.
В этом примере мы построим множество (Витали) на отрезке, «длина» которого не существует. При этом мы будем опираться лишь на следующие очевидные свойства «длины» множества: длина множества остается неизменной при сдвиге всех точек этого множества (1); длина множества, составленного из счётного объединения попарно непересекающихся множеств, равняется сумме длин этих множеств (2).
Рассмотрим окружность $[0,2\pi]$ создаваемой кругом единичного радиус . Возьмём любое иррациональное число $\alpha$. Рассмотрим последовательность чисел $n\alpha$, где $n$ - целое число. Для любого $n<>0$, $n\alpha$ является иррациональным (допустим, от противного, что существует целое $n<>0$, при котором $n\alpha$ является рациональным, скажем $n\alpha=\frac{b}{c}$, тогда т.к. $n<>0$ получим, что $\alpha=\frac{b}{c*n}$, т.е. $\alpha$ является рациональным - противоречие). Т.е. $n \alpha$ равняется некоторому целому $k$, только при n=k=0 или, $2\pi n \alpha$ равно $2\pi k$ лишь при $n=k=0$.
Возьмём произвольную точку $x \in [0,2\pi]$, повернём её на угол (в радианах) $+2\pi\alpha$, а также на угол $-2\pi\alpha$. Затем, полученные точки повернём ещё раз на угол $±2\pi\alpha$ и т.д. Получим счётную последовательность точек $x; x±2\pi\alpha; x±4\pi\alpha;...;x±2\pi n \alpha$. Здесь ± следует понимать как поворот на угол в радианах или арифметика $mod 2\pi$. Т.к. ни для какого $n<>0$ $2\pi n \alpha$ не равно числу кратному $2\pi$ (см. абзац выше), то мы никогда не вернёмся в ту же точку x. (Именно для этого мы брали иррациональное число $\alpha$). Объединим их в один класс точек. С любой другой точкой окружности можно тоже связать класс точек, получающихся из неё поворотами на $2\pi n \alpha$ при целых $n$. Таким образом, вся окружность разбивается на классы точек. В каждом классе счётное число точек, и все точки в одном классе получаются друг из друга такими поворотами. Разные классы не пересекаются. Заметим, что таких классов несчётное число (допустим от противного, что таких классов счётное число, т.к. в каждом классе у нас счётное количество точек, то мы пересчитали все точки в $[0,2\pi]$ (счётное объединение счётных множеств счётно), известно, однако, что количество точек в $[0,2\pi]$ несчётно. Противоречие).
Более формально. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности $\sim$ на отрезке $[0,2\pi]$: $x\sim y$ если разница $x-y$ рациональна (здесь важно что разница именно рациональна, а не, скажем, целая. При целой разнице у нас будут конечные классы эквивалентности, т.к. количество целых чисел на отрезке $[0,2\pi]$ конечно).
Рефлексивность следует из факта, что $x-x=0$ и 0 - рационально. Симметричность из факта, что если $x-y=\frac{p}{q}$, где $p$ - целое, $q$ - натуральное, то $y-x=\frac{-p}{q}$. Транзитивность из факта что $x-z=x-y+y-z=(x-y)+(y-z)$ и что сумма двух рациональный чисел рациональна.
Все рациональные числа лежат в одном классе эквивалентности. Т.к. сумма\разность рациональных чисел - рациональна. Все другие классы содержать иррациональные числа. К примеру, т.к. $\sqrt(2) \in [0,2\pi]$ рассмотрим его класс эквивалентности. По определению $\sim$, класс эквивалентности содержит все такие $y \in [0,2\pi]$, что $\sqrt(2)-y$ рационально, иными словами это все числа вида $\sqrt(2)±\frac{p}{q}$, где $p$ - целое, $q$ - натуральное и $\sqrt(2)±\frac{p}{q}$ лежит внутри интервала $[0,2\pi]$. Существует бесконечно-счётное множество таких числе, так как между $0$ и $\sqrt(2)$, а также между $\sqrt(2)$ и $2\pi$ лежат бесконечное количество рациональных чисел, а количество рациональных числе счётно. Заметим также, что таких классов несчётное число (допустим от противного, что таких классов счётное число, т.к. в каждом классе у нас счётное количество точек, то мы пересчитали все точки в $[0,2\pi]$ (счётное объединение счётных множеств счётно), известно, однако, что количество точек в $[0,2\pi]$ несчётно. Противоречие).
Далее, из каждого такого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора, т.к. количество классов несчётное, иначе мы не может обосновать существование такой выборке). Получим искомое множество Витали V, которое несчётное.
Теперь, покажем, что построенное множество V неизмеримо.
Рассмотрим множество рациональных чисел в интервале $[-2\pi,2\pi]$. Это множество счётно. Пусть q1, q2, ... qk ... будет перечислением этих чисел. Определим $V_k=V+q_k=\{v+q_k : v \in V\}$ для $k \in \mathbb{N}$.
Заметим, для любых $u,v \in V, u \neq v$ $u-v$ и иррациональна. Если бы разница была рациональна, они бы принадлежали одному классу эквивалентности, а значит, по построению $V$, не могли быть элементами $V$.
Множества $V_k$ являются попарно не пересекающимся. Интуитивно, это вытекает из того, что элементы $V_k$ получены "сдвигом на разные рациональны числа" элементов $V$. При чём, так как в $V$ разница между элементами иррациональна (см. параграф выше), то в следствии такого "сдвига" "наложение" элементов не может произойти. Что я имею в виду? Допустим, у меня есть множество A=$\{1, 3, 5\}$ и я "сдвигаю" его на 2 и на 4, т.е. $A+2=\{a+2 : a \in A\}=\{3, 5, 7\}$, $A+4=\{a+4 : a \in A\}=\{5, 7, 12\}$ в таком случае у этих множеств есть непустое пересечение $\{5, 7\}$.
Более формально, пусть $V_k$ и $V_m$ два множества, определённые выше. Допустим, от противного, что у них есть непустое пересечение. Так как, пересечение непусто, существует элемент $w \in V_k$ и $w \in V_m$. Из определения $V_k$ следует, что существует такое $v_1 \in V$ и рациональное $q_k \in [-2\pi,2\pi]$, такие что $w=v_1+q_k$. Из определения $V_m$ следует, что существует такое $v_2 \in V$ и рациональное $q_m \in [-2\pi,2\pi]$, такие что $w=v_2+q_m$. Из этого следует, что существует такие $v_1, v_2 \in V$, $q_k, q_m \in [-2\pi,2\pi]$, что $v_1+q_k=v_2+q_m$ отсюда $v_1-v_2=q_m-q_k$. Т.е. мы имеет два элемента $V$ у которых разница рациональна, противоречие.
Рассмотрим $\bigcup_k V_k$. Очевидно, что $bigcup_k V_k\subseteq[-4\pi,4\pi]$. В самом деле, $\bigcup_k V_k$ состоит из объединения множеств $V_k$, каждый элемент которого состоит из суммы двух элементов $v_k, \in V\subseteq[0,2\pi]$ $q_k \in [-2\pi,2\pi]$. Очевидно, что $|\v_k+q_k|<=4\pi$. Менее очевидно, что $\bigcup_k V_k\supseteq [0,2\pi]$. Возьмём любое действительно число $x \in [0,2\pi]$. Для того чтобы доказать последние включение, нам надо найти такие $v \in V$ и такое $k$, для которого существует $q_k \in V_k$, что $x=v+q_k$. Т.к. $x \in [0,2\pi]$, то по построению $V$ существует некий элемент $v \in V$, который находится с $x$ в одном классе эквивалентности. Рассмотрим элемент $x-v$. Разница между элементами в классах эквивалентности $V$ является рациональным числом $q \in [-2\pi,2\pi]$. Для этого $q$ существует такой индекс $k$, что $x-v=q=q_k \in [-2\pi,2\pi]$, т.е. для искомого $x \in [0,2\pi]$ мы нашли такие $v \in V$ и такое $k$, для которого существует $q_k \in V_k$, что $x=v+q_k$.
Итак, выше мы показали, что $[0,2\pi]\subseteq\bigcup_k V_k\subseteq[-4\pi,4\pi]$
Из соотношения между множествами выше перейдём к соотнесениями между «длинами» множества, применяя свойства такой «длины». Получим $l([0,2\pi]<=l(\bigcup_k V_k)<=l([-4\pi,4\pi])$ или $2\pi<=l(\bigcup_k V_k)<=4\pi$.
Вспомним, что объедение множеств $V_k$ попарно непересикается, а также, что оно счётно. Значит $l(\bigcup_k V_k)=\sum_{k=1}^\infty l(V_k)$.
Т.к. $0 \in[-2\pi,2\pi]$, и он является рациональным числом, среди множеств $V_k$ есть также и множество $V$ (существует такой индекс $k$, что $V_k=0$, и тогда $V+q_k=V+0=\{v+0 : v \in V\}=V$). Все точки множества $V_k$ получены свдигом точек множества V (по постороению). Поэтому из (1) следует, что $l(V_1)=l(V_2)=...=l(V_k)...$. Так как среди множеств $V_k$ есть также множество $V$, то также имеем $l(V_1)=l(V)$.
Имеем $l(\bigcup_k V_k)=\sum_{k=1}^\infty l(V_k)=\sum_{k=1}^\infty l(V)$. Итого,
$2\pi<=\sum_{k=1}^\infty l(V)<=4\pi$.
$l(V) \in [0,1]$.
* Если l(v)=0, то тогда мы получили, что $2\pi<=\sum_{k=1}^\infty 0<=4\pi$ или $2\pi<=0<=4\pi$, противоречие.
* Если l(v)>0, то тогда ряд расходится, опять противоречие.
Мы получили противоречие, т.е. не существует никакой меры для множества $V$, которое бы удовлетворяло очевидным свойствам «длины».
Замечание: в определённый момент я "перепрыгнул" на формальное доказательство, вернёмся к нашей окружности. Отступил я от него, потому что "сложение углов в радианах" требует отдельного определения, сделать которое корректно непросто. А без этого невозможно привести многих формальных доказательств... Итак, мы взяли произвольную точку $x \in [0,2\pi]$ и нашли её "орбиту", все точки вида $±2n\pi\alpha$, для некоторого фиксированного иррационального числа $alpha$. $alpha$ было выбрано для того, чтобы мы гарантировано не могли вернуться в ту же точки $x$ через некоторое количество поворотов (в этом случае количество "точек на орбите" было бы конечным). Итак, на нашей "орбите" бесконечно-счётное количество точек.
Мы можем повторит эту процедуру для любой другой точки. При этом полученные "орбиты" не пересекутся. Поэтому эти "орбиты" задают классы эквивалентности. При этом таких классов эквивалентности несчётное число (допустим, от противного, что их счётное число, так как в каждом классе эквивалентности есть счётное число, а количество этих классов счётно, то т.к. объедение счётного числа счётных множеств счётно, то и количество точек в изначальном отрезке $[0,2\pi]$ должно быть счетно, а это не так. Противоречие).
Искомое множество $V$ определим так: возьмём из каждого такого класса ровно по одной точке.
Утверждение: это множество неизмеримо. В самом деле, предположим от противного, что «длина» $l(v)$ существует. Определим множества $V_n$ как множество всех точек из $V$, каждая точка которого повёрнута на угол $2n\pi\alpha$, $n=±1,±2,...$. Очевидно, в силу (1), что $l(V)=l(V_1)=l(V_2)...=l(V_n)=...$ т.к. мы имеем одни и те же точки просто повёрнутые на определённый угол.
Рассмотрим $\bigcup_n V_n$, $n=±1,±2,...$. По построению, это объединение является в точности $[0,2\pi]$.
В силу (2) и того, что множества $V_i$, $V_j$ попарно не пересекаются для любых $i,j$ получим $l(\bigcup_n V_n)=\sum_{n=-\infty}^\infty l(V_n)$. Получили
$2\pi=l([0,2\pi])=l(\bigcup_n V_n)=\sum_{n=-\infty}^\infty l(V_n)=\sum_{n=-\infty}^\infty l(V)$.
* Если $l(V)=0$, то мы получим $2\pi=\sum_{n=-\infty}^\infty 0=0$ или $2\pi=0$, противоречие.
* Если $l(V)>0$, то тогда ряд расходится, опять противоречие.
В своих «Лекциях об интегрировании и отыскании примитивных функций» Анри Лебег заявил, что его целью было найти (неотрицательную) меру на вещественной прямой, которая существовала бы для всех ограниченных множеств и удовлетворяла бы 3 условиям:
1. Конгруэнтные множества имеют равную меру (то есть мера инвариантна относительно операций переноса и симметрий).
2. Мера счётно-аддитивна.
3. Мера интервала (0, 1) равна 1.
Конструкция Лебега охватывала обширный класс множеств вещественных чисел и определяла множество измеримых функций, более широкое, чем множество аналитических функций. При этом всякая измеримая функция допускала применение многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. Однако в диссертации Лебега (1902) теория меры была существенно обобщена до «меры Лебега». Лебег определил понятия ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.
Уже в следующем году (1905) Дж. Витали [см. выше про неизмеримое множество Витали] показал, что мера, удовлетворяющая трём приведенным выше условиям, не охватывает всех ограниченных вещественных множеств: он построил множество, не имеющее меры с указанными свойствами. Более того, в 1914 году Хаусдорф доказал, что даже заменив требование счётной аддитивности на более слабое условие конечной аддитивности, мы всё равно обнаружим в трёхмерном пространстве ограниченные неизмеримые множества. Для прямой, как обнаружил Банах в 1923 году, универсальная конечно-аддитивная мера существует и даже не единственна.
Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э. Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909).
Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0
Мера Лебега
Неформально говоря мера Лебега, эта такая единственно существующая мера, значение которой на любом интервале равно его длине: $\lambda([a,b])=b-a$.
Для корректного определения, нужно определить что такая борелевская сигма-алгеброй всех интервалов и потом доказать существование и единственность меры с выше определённым свойством. Я этого делать не буду, а приведу лишь простейшие примеры множеств, мера Лебега готорых равна нулю.
Для этого я использую, без доказательства, следующую лемму непрерывности меры (ей удовлетворяет, вообще говоря, любая сигма-алгеброй). Итак,
Лемма непрерывности меры Пусть дана убывающая последовательность $B_1 \supseteq B_2 \supseteq B_3 \supseteq...$ вложенных друг в друга множеств (из сигма-алгебры).
Если $l(B_1)<\infty и $B=\bigcap_{n=0}^\infty B_n$,
то $l(B)=\lim_{n \to \infty} l(B_n)$.
Интуитивно это значит, если мы имеем множества, меру каждого из которых мы легко можем узнать, при чём самое "большое" множество имеет конечную меру, затем мы берём его подмножество, берём подмножество этого подмножества, если в пределе мы получаем множество, которое мы хотим измерять, то мера искомого множества совпадёт с мерой подмножества подмножества...Т.е. вычисление мера замкнуто относительно предельного перехода при измерении меры (именно чтобы последнее свойство выполнялось используется сигма-алгебра, а не простая алгебра, т.е. мы требуем замкнутость относительно счётного количества пересечений, а не просто конечного, с которого мы начинали).
Утверждение: Мера любого множества, состаящая из ровно одного элемента равна нулю.
Доказательство:
Пусть $A=\{x\}$ данное множество. Рассмотрим последовательность $B_n=(x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n})$.
$l(B_1)=l((x-\frac{1}{1}, x+\frac{1}{1}))=l((x-1, x+1))=x+1-(x-1)=2<\infty$.
Т.к. каждый следующий интервал является меньшей окрестностью точки x, легко видеть, также что $B_1 \supseteq B_2 \supseteq B_3 \supseteq...$.
$\lim_{n \to \infty} l(B_n)=\lim_{n \to \infty} l((x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}))=\lim_{n \to \infty} x+\frac{1}{n}-(x-\frac{1}{n})=\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} =0$.
Однако, согласно аксиоме непрерывности, $l(B)=\lim_{n \to \infty} l(B_n)$=0, где $B=\bigcap_{n=0}^\infty B_n=\bigcap_{n=0}^\infty (x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}=\{x\}=A$
Что и требовалось доказать.
Выводы:
1. Мера множества натуральных чисел равна нулю. l(\mathbb{N})=0
2. l(\mathbb{Z})=0
3. l(\mathbb{Q})=0
4. Мера любого конечного множества равна нулю.
Доказательство 1-3: Любое счётное множество, будь-то $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ или любое другое счётное множество можно представить в виде счётного объединение множеств содержащие ровно один элемент, при чём все такие множества будут попарно непересекающимся. Тогда мера искомого множества будет равнятся сумме мер одноточечных множеств. Из утверждения выше следут, что мера каждого множества равня нулю. Поэтому и (бесконечно-счётная) сумма будет равна нулю. Т.е. мера искомого множества равна нулю.
Доказательство 4. Любое конечно множество можно представить в виде конечного объединение множеств содержащие ровно один элемент, при чём все такие множества будут попарно непересекающимся. Тогда мера искомого множества будет равнятся сумме мер одноточечных множеств. Из утверждения выше следут, что мера каждого множества равня нулю. Поэтому и конечная сумма будет равна нулю. Т.е. мера искомого множества равна нулю.
Напоследок вспомним, что в фильме упоминалось, что "линии в круге" имеют меру ноль.
Здесь, речь идет уже об определении площади на плоскости. По-сути, утверждается, что мера "линии", фигуры у которой есть площадь в одномерном пространстве, площадь в двухмерном пространстве равна нулю. На самом деле, верно более общее утверждение, а именно, для любого n-го пространства мера (n-1)-ой фигуры, обладающей площадью в (n-1)-ом пространстве, мера равна нулю.
Для доказательства последнего утверждения достаточно использовать лемму непрерывности. Пусть $x_k=(x_{k,1},...,x_{k,(n-1)},0)$ последовательность "точек" на (n-1)-мерной фигуре. Для k=1, т.е. для первой точки последовательности, на месте с первого до n-1 (второй индекс) стоит какое-то число. Т.е. число зависит от места в "точке" и от номера в последовательности. Заметем также, что последняя компонента, без ограничения общности, всегда равна нулю. Последнее вытекает из факта, что мы берём точки на (n-1)-мерной фигуре. Также мы допускаем, что мера (n-1)-ой фигуры в (n-1)-ом пространстве существует. Напомню также, что мера Лебега в n-ом пространстве определяется как произведение мер множеств в каждой компоненте. Отсюда, в частности, следует, что мера фигуры в n-ом пространстве равна произведение меры (n-1)-ой фигуры в (n-1)-ом пространстве умноженную на меру множества в последней компоненте.
Определим последовательность $B_k=((x_{k,1}-\frac{1}{k}, x_{k,1}+\frac{1}{k}),(x_{k,2}-\frac{1}{k}, x_{k,2}+\frac{1}{k}),...,(x_{k,(n-1)}-\frac{1}{k}, x_{k,(n-1)}+\frac{1}{k}), (-\frac{1}{k}, +\frac{1}{k}))$. Мы строим "покрытие" толщиной в $\frac{2}{k}$ в n мерном пространстве к рассматриваемой (n-1) фигуре.
Легко видеть что $B_1 \supseteq B_2 \supseteq B_3 \supseteq...$ (мы просто в каждой компоненте делаем то, что мы раньше делали один раз)
$\lim_{k \to \infty} l(B_k)=$
$=\lim_{k \to \infty} l(((x_{k,1}-\frac{1}{k}, x_{k,1}+\frac{1}{k}),(x_{k,2}-\frac{1}{k}, x_{k,2}+\frac{1}{k}),...,(x_{k,(n-1)}-\frac{1}{k}, x_{k,(n-1)}+\frac{1}{k}),(-\frac{1}{k}, +\frac{1}{k})))=$
$=\lim_{k \to \infty} l(((x_{k,1}-\frac{1}{k}, x_{k,1}+\frac{1}{k}),(x_{k,2}-\frac{1}{k}, x_{k,2}+\frac{1}{k}),...,(x_{k,(n-1)}-\frac{1}{k}, x_{k,(n-1)}+\frac{1}{k}))*$
$*l((-\frac{1}{k}, +\frac{1}{k}))))=A*0=A$, где A-мера фигуры в (n-1)-мерном пространстве, а 0 на который умножаем A, это мера $l((-\frac{1}{k}, +\frac{1}{k})$, которая была посчитана выше.
