Tuesday, March 24, 2020

Отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности

Это отношение обознается греческое буквой π (читается пи).

Предварительное замечания:


* Теорема о существовании длины окружности. Пусть у нас есть окружность с радиусом R. В него мы можем вписать для каждого n правильный n-угольник. Также, мы можем описать вокруг круга правильный n-угольник. Имеет возрастающую последовательность вписанных правильных n-угольников (в смысле, что их периметры возрастают). Эта последовательность ограничена сверху (периметром описанного правильного n-угольника). Таким образом, по теореме Вейерштраса, у ней существует предел. Этот предел и будет длиной окружности $l$.


Ниже есть продолжение.


Возьмем две произвольные окружности ω1и ω2. Пусть R1 и R2 – их радиусы, а l1 и l2 – их длины соответственно. Допустим (от противного), что утверждение теоремы неверно, т.е.

$\frac{l_1}{2R_1} \neq \frac{l_2}{2R_2}$

Пусть, без ограничения общности, $\frac{l_1}{2R_1} > \frac{l_2}{2R_2}$ (иначе просто меняем индексы 1 и 2 местами в обозначениях переменных).

Обозначим через ε величину $\epsilon=\frac{l_1}{2R_1} - \frac{l_2}{2R_2}$. Очевидно, что ε фиксированное (конечное) число, а также, что $\epsilon > 0$.

Впишем в окружности правильные многоугольники. При достаточно больших n длины окружностей ω1 и ω2 будут сколь угодно мало отличаться от периметров вписанных многоугольников P1 и P2 соответственно. Заметим, так как многоугольники вписанные, см. выше теорему о существовании длины окружности, P1 < l1 и P2 < l2, т.е. $l_1-P_1 > 0$ и $l_2-P_2 > 0$

Обозначим $l_1-P_1=\delta_1$, $l_2-P_2=\delta_2$. Заметим, что δ1 и δ2 зависит от n (количества сторон вписанных многоугольников, чем больше сторон у правильного многоугольника, тем больше его периметр). Заметим так же, что $\delta_1>0$ и $\delta_2>0$.

Выберем δ1 так, чтобы $\delta_1 < 2 \epsilon R_1 $. Мы можем это сделать, т.к. в правой части у нас фиксированное (положительное) число, а δ1 мы можем выбрать сколько угодно малой, в частности меньше приведенного числа. Тогда

$\epsilon=\frac{l_1}{2R_1} - \frac{l_2}{2R_2}=\frac{P_1+\delta_1}{2R_1} - \frac{P_2+\delta_2}{2R_2}=(\frac{P_1}{2R_1} - \frac{P_2}{2R_2})+(\frac{\delta_1}{2R_1}- \frac{\delta_2}{2R_2})$

Однако, периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей, см (#) ниже для доказатеьства, т.е. $\frac{P_1}{2R_1} = \frac{P_2}{2R_2}$, таким образом имеем

$\epsilon=\frac{\delta_1}{2R_1}- \frac{\delta_2}{2R_2}$

Однако, $\delta_1 < 2 \epsilon R_1$, таким образом

$\epsilon=\frac{\delta_1}{2R_1}- \frac{\delta_2}{2R_2} < \frac{2 \epsilon R_1}{2R_1}- \frac{\delta_2}{2R_2}= \epsilon - \frac{\delta_2}{2R_2} < \epsilon $

Мы получили $\epsilon < \epsilon $. Мы пришли к противоречию. Значит, наше допущение (от противного) было не верна, а значит верна изначальная посылка. Что и требовалось доказать. Q.E.D

Следствие: Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой π (читается «пи») $\frac{l}{2R}=\pi$. Отсюда длина окружности вычисляется по формуле $l=2\piR$

Введем новую меру угла на основе понятия длины окружности.

Определение: Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, которая соответствует центральному углу, равному данному, к радиусу окружности.

Следствие:

Радианная мера угла $1 \circ$ в равна $\frac{\pi}{180}$

Доказательство:

Рассмотрим "дугу окружности" в целую окружность радиуса $R$. Длина окружности будет $2\pi R$. Центральные угол для такой "дуги" будет $360 \circ$ или $\frac{2\pi R}{R}=2\Pi$. Т.е. угол в $360 \circ$ является углов в $2 \pi$ радиан. Таким образом, $1 \circ$ в равна $\frac{2\pi}{360}=\frac{\pi}{180}$. Q.E.D


Отсюда радианная мера угла $180 \circ$ в равна $\pi$.


***

Теорема о площади круга Площадь круга с радиусом R равна $\pi R^2$.
Доказательство (предельный переход):

Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на высоту. При увеличении числа сторон многоугольник "стремится" к кругу: высота "стремится" к радиусу, периметр правильного многоугольника стремиться к длине окружности (последнее мы строго доказали выше). Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус, то есть $\frac{l}{2} \cdot R=\pi R \cdot R = \piR^2$.

Доказательство Архимеда я вынес в отдельный пост.

Площадь (плоского) сектора круга задаётся формулой



https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B0

$S = \frac{r \cdot L}{2} = \frac{R^2 \alpha}{2} = \frac{\pi R^2 \theta}{360^\circ}$ ,

где $\theta$ — центральный угол в градусах, $\alpha$ - центральный угол в радианах, $L$ - длина дугу сектора, $R$ - радиус окружности.

Напомню, что $\alpha=\frac{L}{R}$, отсюда $L=\alpha R$.

***

Периметр правильного n-угольника связана с радиусом R описанным вокруг него окружности формулой $P_n=n*2R sin \frac{180 \circ}{n}$ (доказательство здесь и здесь).

Эту формулу можно переписать в радианах так:

$P_n=n*2R sin \frac{\Pi}{n}$

(#) Из формулы выше, получаем: $\frac{P_n}{2R}= sin \frac{180 \circ}{n}$ - константа для заданного n-угольника (n-фиксированное).

Используя первый замечательный предел можно показать, что $\lim_{n \to \infty} P_n=2\pi R$ (см. линк, там есть доказательство).


См. также:
Вычисление значение числа π через ряд Лейбница


На основании

https://multiring.ru/course/planimetry/content/chapter9/section/paragraph4/theory.html

No comments:

Post a Comment