Вычисление значение числа π через ряд Лейбница

См. также:
Отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности

Как известно $sin 45 ^\circ = cos 45 ^\circ=1$. Так же $1^\circ=\frac{2 \pi}{360}=\frac{\pi}{180}$. Отсюда

$tg 45 ^\circ= \frac{sin 45 ^\circ}{cos 45 ^\circ}=1$


Таким образом,

$1=tg 45 ^\circ=tg 45 * \frac{\pi}{180}=tg \frac{\pi}{4}$

отсюда ,

$arctg 1=\frac{\pi}{4}$

Разложим функцию $arctg x$ в ряд Тейлора: получим

$arctg x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $

Положим $x=1$, получим


$\frac{\pi}{4}=arctg 1=1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$


Ниже есть продолжение.

Последняя формула может быть использована для вычисления значение π.

Заметим что, для того, чтобы доказать, что ряд выше сходится (допустим, мы не знаем, что он происходит из ряда Тейлора, а видим только конечную формулу), достаточно использовать признак Лейбница:

Пусть дан знакочередующийся ряд

$ S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} b_n$, где $b_n \ge 0$,

для которого выполняются следующие условия:

# $b_{n} \ge b_{n+1}$, начиная с некоторого номера ($n\ge N $),
# $\lim_{n \to \infty} b_n = 0.$

Тогда такой ряд сходится.

(для доказательства этого признака, можно рассмотреть две последовательности частичных сумм ряда $R_n=b_1-b_2+\ldots-b_{2n} $ и $L_n=b_1-b_2+\ldots+b_{2n+1} $. Обе эти последовательности сходятся по теорема Вейерштрасса как ограниченные монотонные последовательности, и сходятся к общему пределу, который и является суммой исходного ряда).

# знакочередование выполнено
# $\frac{1}{2n+1}< \frac{1}{2n+3} , \;\forall \;n$
# $\lim_{n \to \infty} \, \frac{1}{2n+1} = 0$.

Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится




По материалам:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B9%D1%81%D1%8F_%D1%80%D1%8F%D0%B4
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%81_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)