Thursday, September 30, 2021

Что такое детерменированный хаос?

Отрывок. Форматирование моё.

Рассмотрение детерминированного хаоса начнём с теории стохастического поведения динамических диссипативных систем. Нас будет интересовать случайное поведение полностью детерминированой системы, эволюцию которой во времени можно точно предсказать (и это подтверждается в широком интервале изменения параметров), но которая при некоторых значениях начальных условий (причём очень незначительных) начинает флуктуировать случайным образом и её поведение становится непредсказуемым, хаотичным.

Как показывает повседневный опыт, для многих физических систем малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям результата. Так, например, путь автомобиля мало изменится, если руль лишь слегка поворачивать. Но есть ситуации, для которых справедливо противоположное. Сторона, на которую упадет монета, поставленная на ребро, зависит от слабого прикосновения. Последовательность «орлов» и «решек» при подбрасывании монеты проявляет нерегулярное, или хаотическое, поведение во времени, так как крайне малые изменения начальных условий могут привести к совершенно различным результатам.Ещё сравнительно недавно полагали, что случайное поведение системы - это исключение, а практически все системы — детерминированы. Однако сейчас понятно, что высокая чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени, — типичное свойство многих систем. Такое поведение, например, обнаружено в периодически стимулируемых клетках сердца, в электронных цепях, при возникновении турбулентности в жидкостях и газах, в химических реакциях, в лазерах и т. д. С точки зрения математики во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше двух (особенно во многих биологических, метеорологических и экономических моделях) можно обнаружить хаос и, следовательно, на достаточно больших временах их поведение становится непредсказуемым. Для физической системы, поведение которой по времени детерминировано существует правило в виде дифференциальных уравнений, определяющее её будущее исходя из заданных начальных условий. Естественно предположить, что детерминированное движение достаточно регулярно и далеко от хаотичности, поскольку последовательные состояния непрерывно развиваются одно из другого. Это означает, что в классической механике все уравнения должны быть интегрируемы. Но уже в 1892 [г.] А. Пуанкаре знал, что в некоторых механических системах, эволюция которых во времени определяется уравнениями Гамильтона, возможно непредсказуемое хаотическое поведение. Примером является неинтегрируемая задача трёх тел, которая в определённых условиях приводит к полностью хаотическим траекториям.


Ниже есть продолжение.

Частным случаем задачи трёх тел является движение пробной частицы в гравитационном поле двух неподвижных точечных масс. Даже если движение происходит в одной плоскости, траектория частицы выглядит чрезвычайно сложной и запутанной. Она, то обвивается вокруг одной из масс, то неожиданно перескакивает к другой...Первоначально близкие траектории очень быстро расходятся.

Сейчас известно, что неинтегрируемых систем в механике много.Через 60 лет после Пуанкаре Колмогоров, 1954; Арнольд, 1963 и Мозер, 1967 доказали, что в классической механике движение в фазовом пространстве не является ни полностью регулярным, ни полностью нерегулярным, а тип траектории зависит от выбора начальных условий (сейчас это утверждение носит название теоремы КАМ). Таким образом, устойчивое регулярное движение в классической механике — исключение.

Американский метеоролог Эдвард Лоренц (1961) при моделировании неравномерно прогреваемого атмосферного воздуха обнаружил, что даже простая система из трёх связанных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка может привести к совершенно хаотическим траекториям (это — первый пример детерминированного хаоса в диссипативных системах).

Э.Лоренц вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счёт. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала в середине интервала счёта, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счёта, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счёта, если бы начальные значения для повторного счёта в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счёта расхождение возрастало, и новое решение вовсё меньше напоминало старое. То, что наблюдал Лоренц, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий — основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье "Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?" Может!

Далее под детерминированным хаосом мы будем подразумевать нерегулярное, или хаотическое, движение, порожденное нелинейными системами уравнений, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы при известной предыстории.

Детерминированный хаос = нелинейная система уравнений + неустойчивость.

От регулярного движения детерминированный хаос отличается сложными, неповторяющимися траекториями и непредсказуемостью поведения системы при больших временах. От случайного процесса детермированный хаос отличается тем, что в нём нерегулярность происходит из самой системы, а не от внешнего фактора (шум, флуктуации).

Примерами нелинейных систем, в которых проявляется детерминированный хаос, являются: маятник с возбуждением, жидкости вблизи порога возникновения турбулентности, лазеры, приборы нелинейной оптики, переход Джозефсона (Эффект Джозефсона — явление протекания сверхпроводящего тока через тонкий слой диэлектрика, разделяющий два сверхпроводника), химические реакции, классические системы, включающие много тел (задача трёх тел), ускорители частиц, взаимодействующие нелинейные волны в плазме, биологические модели динамики популяций, стимулированные клетки сердца и др.

Как известно, линейные дифференциальные или разностные уравнения могут быть решены преобразованием Фурье и не приводят к хаосу. А нелинейные уравнения к хаосу могут приводить, но важно понимать, что нелинейность — необходимое, но не достаточное условие для возникновения хаотического движения.

Наблюдаемое во времени хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума, не из-за бесконечного числа степеней свободы и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой (рассматриваемые системы чисто классические). Настоящая первопричина нерегулярности определяется свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства (например, трёхмерного в системе Лоренца). Невозможно предсказать длительное поведение таких систем, поскольку начальные условия можно задать лишь с конечной точностью, а ошибки экспоненциально нарастают. При решении такой нелинейной системы уравнений на компьютере, результат на всё более дальних временах зависит от всё большего количества цифр в (иррациональных) числах, представляющих начальные условия. Так как цифры в иррациональных числах распределены нерегулярно, траектория становится хаотической.

Здесь возникает несколько фундаментальных вопросов:

- Можно ли предсказать (например, по виду соответствующих дифференциальных уравнений), реализуется ли в системе детерминированный хаос?

- Можно ли определить понятие хаотического движения более строго с точки зрения математики и разработать для него количественные характеристики?

- Каково воздействие этих результатов на различные области физики? Означает ли существование детерминированного хаоса конец долговременной предсказуемости в физике для нелинейных систем или по хаотическому сигналу ещё можно что-то узнать?

https://beckuniver.ucoz.ru/Kurs_Sinerget/Sinerg_Lec2.pdf

No comments:

Post a Comment