Центральное место занимает программа Гильберта и Теорема Гёделя о неполноте, которая популярно объяснена. Приведена не только популярная формулировква но и рассказана о центральной идеи доказательства. Есть отсылка к парадоксу брадобрея, но почему-то не упоминается диагональный метод доказательства Кантора (это по сути то, что мы делаем когда "пронумировываем" все правильно построенные высказывания).
В материах к программе приведены отдельные моменты, которые не были раскрыты в передаче. Я их цититую начиная со слова Формализация в сокращённой форме.
Ниже есть полная стенограмма.
Ниже есть продолжение.
Форматирование не сохранено.
Александр Гордон: …естественная наука и пошевельнуться не может. В физике если нет математического аппарата, начинают махать руками и говорить, что это философия или метафизика. И вдруг оказывается, что внутри математики есть проблема с доказательностью, или с определениями, или с языком. Можно рассказать, в чём дело-то?
Юрий Ершов: Дело в том, что доказательность, она в существе самой математики сидит. И поэтому, как и всякая наука, как и всякая технология, математика совершенствует своё основное средство, и поэтому я не могу сказать, что просто есть проблема с доказательностью в математике, а есть другая проблема. Математика как бы объявила себя эталоном доказательности, эталоном образца, эталоном точности и раз уж объявила, то надо этому и следовать. Поэтому вопрос состоит в следующем: то, что считалось доказанным в 17-м веке, то не принималось учёными 18-го века и так далее. Но на рубеже 19 и 20 века произошёл некоторый кардинальный переворот.
Дело в том, что математики привыкли работать с совершенно точно определёнными понятиями, хотя понятие точности тоже всё время меняется и уточняется. Так вот, доказательность лежит в существе этой науки. А что такое доказательство как математическое понятие?
Первые точные определения этому понятию были даны только на рубеже 19-20 века в связи с созданием математической логики. Дело в том, что логика в своё время возникла как прикладной раздел ораторского искусства, риторики. Когда говорят о логике Аристотеля, то надо, конечно, понимать – это была не совсем та логика, которой пользуются математики. Математики в своей деятельности, в финальной деятельности, когда они на суд сообщества своего и более широкой аудитории выносят доказательство теорем, то они, безусловно, пользуются логикой и стремятся к тому, чтобы доказательства были точными, понятными, доступными. Так вот, в каждой науке есть периоды – период накопления фактов и период критический, когда нужно посмотреть, как говорится, всё ли в порядке, и посмотреть на основы, привести здание, которое строится, в более-менее надлежащий порядок, математика не представляет собой исключение из этого. Один из таких периодов перехода от накопления фактов к упорядочению был в конце 19-20 века, когда была сделана попытка вполне развитый математический анализ, алгебру, перевести на более строгую основу.
Тогда появилось понятие «множество», очень такое абстрактное понятие, введение которого в школу привело к достаточно серьёзным отрицательным последствиям. Но для математики это было очень важно. Понятие множества оказалось тем единым понятием, в терминах которого можно было все остальные математические понятия сформулировать. И строилось то, что потом Пуанкаре назвал раем для математики, – «теория множеств». И за проникновение в рай, оказалось, нужно платить. Оказалось, что в тех, казалось бы, совсем новых основаниях построения математики как единого стройного здания обнаружились противоречия. И это был кризис в основаниях математики. Все серьёзные математики того времени: Анри Пуанкаре, Давид Гильберт, Герман Вейль и другие, были озабочены тем, чтобы как-то преодолеть эти противоречия.
И в качестве противоядия, в качестве одного из средств, обеспечивающих беспроблемное развитие математики, явилось создание математической логики, которая позволила впервые дать точные математические определения, а следовательно, и сделать объектом исследования такие понятия, которые в математике использовались, но использовались не как математические понятия, а именно: доказательство и алгоритм. Я не буду про другие говорить, но эти понятия сами по себе весьма важны.
В 1900-м году на Международном математическом конгрессе в Париже Давид Гильберт, знаменитый немецкий математик, я его уже называл, выступил со списком проблем, которые, как он считал, в 20-м веке в математике будут одними из самых важных. И нужно сказать, что формулировка этих проблем сыграла очень важную роль для развития математики. В частности, человек, который решил одну из проблем Гильберта, сразу получал всемирную известность – так что это был некий критерий. Но в заключение сам Гильберт сформулировал оптимистическое утверждение, что все вопросы, которые математики могут задать, обязательно на них можно получить ответ. Но что это значило, это вопрос довольно сложный.
В частности, можно доказать, решить проблему, то есть привести доказательство, что эта проблема имеет положительное решение или отрицательное решение. Но можно задать и более хитрый вопрос. А может быть, нет доказательства ни того, ни другого? Но для того чтобы математически ответить на такой вопрос, нужно знать, что такое доказательство. И когда математическая логика предложила точное определение этому понятию, то получились результаты, которые до сих пор будоражат умы человеческие, а именно, что можно доказать, что нет доказательства того или иного утверждения. Многие люди слышали о теореме Гёделя о неполноте, многие философы рассуждают на эту тему, ну и люди, иногда далёкие от математики и философии, что-то об этом слышали, и много бывает интерпретаций, я тут не хочу анализировать все точки зрения, какие могут быть…
Существует парадоксальное утверждение в теореме Гёделя, утверждение о том, что нечто нельзя доказать. Но я бы, может быть, сделал некоторый короткий экскурс в историю: интерес к формулировке доказательства имеет не только парадоксально-философский, но и чисто позитивный смысл. Я уже говорил, что математика стремится ко всё более точному изложению своего собственного предмета, и одно из достижений ещё древних греков было создание аксиоматического метода. Суть изложения геометрии по Евклиду (оно было отражено и в учебниках Киселёва) состоит в том, что геометрические истины начинаются с формулировок аксиом, а все остальные утверждения, леммы, теоремы, они вытекают из аксиом. Это было на самом деле интеллектуальным открытием.
Я должен сказать, что появление аксиоматического метода произвело сильное впечатление на другие науки. И философы, биологи, физики, тоже попытались изложить так свои системы. Вот Спиноза свои сочинения излагал в виде такого аксиоматического, систематического изложения. Но как показало дальнейшее развитие, там было два ну не то что бы изъяна, а две вещи, которые надлежало более серьёзно проанализировать и уточнить. Одно из них состояло в следующем. Вот есть аксиомы, все остальные истины должны получаться из них или доказываться из этих аксиом. А что такое доказательство? Если оно точно не сформулировано, то здесь остаётся элемент неопределённости. Как говорится, по согласию внутри математического сообщества кое-какие тексты принимались за доказательства, а другие не принимались. То есть математики осознавали, что такое доказательство, хотя иногда возникали и споры, но, тем не менее, этот элемент требовал уточнения.
И вот точная формулировка доказательства составляла, так сказать, следующий уровень точности для аксиоматического метода. И вторая вещь – это язык. Дело в том, что обыденный язык, он не просто двусмыслен, он многосмыслен. Я обычно на лекциях привожу в пример слово «радикал». Есть радикальные партии, есть свободные радикалы в химии и есть, как говорится, радикалы – корень квадратный, который в школе учат. Но если говорить о контекстах, то там многозначность языка становится бесконечной. Но без этого поэзия была бы невозможна, если бы язык, на котором мы разговаривали, имел только один смысл. Но для математики, для науки, стремящейся к точности, это достоинство естественного языка является недостатком. Поэтому другая вещь, которая была нужна, – это создание достаточно богатых формальных языков.
Дело в том, что математика довольно давно начала вводить элементы формального языка – различные обозначения, переменные, знаки для операций, знаки для того же радикала, и так далее. И многие имеют впечатления о математике как о формулах, вот формулы – это элементы формального языка. Но тем не менее, если вы посмотрите даже современные математические журналы, то кроме формул там ещё и довольно большой текст. И математическая логика предложила такие формальные языки, которые включают не только оперативные элементы математики, но и всё содержание математическое может быть изложено на формальном языке. Этим достигался ещё один уровень точности, что поимело, между прочим, любопытные последствия.
Сейчас говорить о влиянии компьютеров на нашу жизнь, это общее место. Понятно, что они завоёвывают всё большее и большее место в нашей жизни. Но если посмотреть, какие люди были у истоков создания первых компьютеров, то мы там увидим Норберта Винера, Алана Тьюринга, ещё ряд людей, я потом, может быть, их назову. Эти люди были математиками, которые начинали свою профессиональную деятельность в области математической логики. Норберт Винер был студентом Бертрана Рассела, известного английского философа, но он был и одним из создателей первых формальных систем. Алан Тьюринг тоже был профессиональный логик. И я думаю, что это осознание, что формальные языки могут быть столь же богаты по выразительным возможностям, как и естественный язык, но точными, с точным и однозначным смыслом, – это позволило им предвидеть, что компьютер – это не есть просто большой арифмометр, а что он может стать, как говорится, интеллектуальным орудием. Так что опыт работы людей в математической логике привёл и к таким, я бы сказал, «сайд-эффектам», как создание компьютеров.
Ну а с точки зрения внутреннего развития, то я уже сказал, что можно считать, что математическая логика на две ступеньки подняла точность математического языка по сравнению с классическим аксиоматическим методом. Но история продолжается. И обнаружились и другие любопытные вещи. Мой учитель, академик Анатолий Иванович Мальцев сделал, на мой взгляд, два очень глубоких открытия, о которых я попытаюсь рассказать, но не в деталях, поскольку это довольно сложно.
Сначала хочу объяснить то удивление, которое, в частности, я испытал (используя некоторый образ, который может быть не совсем корректен в таких научных беседах, но по-другому я не сумею, видимо, объяснить то удивление, а может быть восхищение, которое лично я испытал). Представьте, что какая-то фирма вынуждена создать себе охрану. И вдруг оказывается, что созданная охрана является весьма мощным производителем, то есть даёт удивительный эффект для основной производственной деятельности.
Ну а теперь вернёмся к математике. Так вот, я уже объяснил, что математическая логика была создана как некоторое охранное предприятие. Охрана от противоречий. Как для нынешних фирм система охраны необходима, так и математика нуждалась в определённом охранении. Но казалось бы, ну что тут такого? Но вот оказалось, что языки, в частности один из языков математической логики, так называемое «исчисление предикатов первой ступени», обладает некоторым мощным внутренним математическим свойством. Анатолий Иванович Мальцев в 36 году доказал так называемую Теорему компактности. Не буду говорить, что это такое, но это, так сказать, мощное внутреннее свойство формального языка. А в 41 году Анатолий Иванович продемонстрировал, что только с помощью этого свойства языка можно доказать очень многие теоремы, которые уже в специализированных отделах математики доказывались – так называемые локальные теоремы, причём, разные теоремы разными способами. Они чем-то были похожи, но кроме ощущения того, что они похожи, ничего другого не было.
Оказалось, что большинство из этих локальных теорем – это есть следствие этой локальной теоремы. Что достаточно сформулировать на этом формальном языке соответствующее утверждение с некоторыми ограничениями, и тогда уже как следствие получается эта локальная теорема. Вот здесь я хотел бы сослаться на книгу Пойя – это известный американский учёный, но на самом деле он из Венгрии происходит. Пойя написал книгу, которая у нас была переведена, «Как решать задачу?», она была издана в
«Учпедгизе». И там, собственно, рассказывается некоторая эвристика и даются некоторые советы, как решать задачу, как анализировать и так далее. И там, в частности, описываются разные явления, которые при этом возникают. И одно из явлений называется «парадокс изобретателя». Там особенно про изобретателя не идёт речи, но суть состоит в следующем: иногда, решая задачу, полезно взглянуть на неё, может быть, сверху и рассмотреть более общую задачу. И при таком взгляде она становится проще. Я считаю, что открытие локальной теоремы и открытие способа её применения для доказательства серьёзных теорем, которые уже были известны и очень многих новых теорем, это был парадокс изобретателя.
Оказалось, что суть большинства этих локальных теорем – это свойство того формального языка, который используется. Ну, дальше – больше. Теорема компактности привела к созданию одного из наиболее развитых разделов математической логики – так называемой «теории моделей». И здесь прослеживается, на мой взгляд, довольно любопытная эволюция, которую я попытаюсь как-то объяснить. Я для себя использую деление «современная математика» и «классическая математика», достаточно понятное различие. Можно про любую науку сказать – современная и классическая. Но на самом деле, что такое классическая математика и что такое современная? Классическая математика занималась очень ограниченным числом объектов – линия, плоскость, фигуры на плоскости, трехмерное пространство, далее непрерывные функции в трехмерном пространстве. Этим классическая математика занималась многие века.
Современная математика началась, я думаю, с открытия Эвариста Галуа, который для решения классических вопросов о нахождении корней уравнения в радикалах, о которых я уже здесь говорил, предложил ввести некоторые новые вещи. Не те классические объекты, а автоморфизм и конечные группы и так далее. Для решения классических вопросов нужно было ввести новые сущности. И вот с этого, на мой взгляд, начинается современная математика. Но и сейчас изучение классических объектов можно отнести к работам по классической математике. Но необходимо и изучение тех новых конструкций, которые нужны и для внутреннего развития математики, и для решения старых вопросов. Вот знаменитая теорема Ферма, которую несколько столетий пытались решать математики, она была, наконец, решена несколько лет тому назад. Но для её решения, а она была сформулирована в 17-м веке, понадобились совершенно современные методы. И это потребовало нескольких столетий развития математики. Так что существуют классические вопросы и классическая математика и есть современная математика, когда изучаются уже объекты более общей природы.
Так вот первые применения Локальной теоремы, которые Анатолий Иванович делал, касались современной математики. Они относились к теории групп, к теории алгебраических систем, к таким понятиям, которые характеризуют современную математику. Хрущовский применил методы математической логики для совершенно классического раздела математики – для теории чисел и алгебраической геометрии. Это такие как бы священные коровы, которым молятся. И оказалось, что даже для решения таких серьёзных, вернее, классических вопросов, методы теории моделей, математической логики, тоже применимы. А ещё один этап, тут я хочу говорить о своих собственных последних работах, связан со следующим. Тут небольшое отступление всё-таки требуется.
Развитие всякой науки, в том числе и математики, сопровождается не только постановками задач и их решениями, но и развитием понятийного аппарата, ведением понятий. Причём, ведение правильных понятий на самом деле является очень существенным, и часто введение плодотворного понятия является столь продуктивным, что вызывает взрывную реакцию и проникновение понимания в существо вещей. Так вот, мне удалось применить математическую логику и её средства для того, чтобы ввести в обиход понятия, которые важны для классических теорий. Итак, Мальцев применил математическую логику для современной математики, Хрущовский для решения вопросов классической математики, а я предложил некоторые понятия для классической математики, в том числе и для теории чисел. То есть один из наиболее таких развитых разделов для теории чисел, а теория чисел – это одна из самых первых математических теорий.
В конце 19 – начале 20 века была доказана так называемая «теория полей классов». Не буду говорить, что это такое, но до решения проблемы Ферма считалось, что это вершина в теории чисел. И те понятия, которые вводились для формулировки этой теории, они обладали определёнными недостатками, так скажем. А техника математической логики позволила предложить понятия, которые могут быть использованы вместо тех понятий и, на мой взгляд, более глубоко проникнуть в существо вопроса. Боюсь, что вдаваться в детали здесь всё равно сложно. Я просто хотел этот ряд подчеркнуть: логика, начав с того, что продемонстрировала свою мощь в современной математике, потом оказалась применимой и для решения классических вопросов, а сейчас начинает покушаться и на понятийный аппарат классической математики. Так что это одна из линий развития. Есть и другие.
Я уже упомянул о том, что создание математической логики послужило, в частности, важным элементом в развитии компьютеров, и там есть свои формальные языки, языки программирования, и так далее, и так далее. Эта линия тоже сама по себе развивается и весьма успешно, и там возникают очень интересные, в том числе математические вопросы. Так что математическая логика, ещё раз говорю, возникнув как некоторый охранительный механизм, неожиданно, на самом деле неожиданно, оказалась весьма и весьма мощным орудием, которое применимо практически во всех разделах математики.
Для слушателей или зрителей нашей программы, может, я чересчур увлёкся, уйдя внутрь математики, может быть, полезно вернуться к теореме Гёделя о неполноте, о которой я говорил, что она волнует и философов, и, может быть, часть обычных людей. Есть такое представление, что она демонстрирует ограничения человеческого разума, и так далее, и так далее. Если на это взглянуть изнутри математики, то на самом деле там особых тайн нет, это очень похоже на такие парадоксы, уже не относящиеся к математике, как «парадокс лжеца», который демонстрирует следующее. Обычно люди считают, что каждое высказывание можно каким-то правдоподобным образом оценить, является оно истинным или ложным. Конечно, можно накладывать определённые условия и так далее, но можно оценить, вернее, можно придать истинностное значение – истинное или ложное это высказывание. Но ещё со времён греков известен «парадокс лжеца». Один критянин говорит: «все критяне – лжецы». Что соответствовало исторической легенде, по крайней мере. Простодушная попытка оценить, истинно это высказывание или нет, показывает, что не всё так просто. Если он сказал правду, значит, он критянин и сказал правду. Хорошо, а если он обманул, тогда приходим к другому противоречию.
И теорема Гёделя, во всяком случае, её доказательство, используя определённые находки, довольно любопытные технические находки, в некотором смысле моделирует этот парадокс. У Гильберта, которого я уже упоминал, была уверенность, что можно создать такую систему аксиом для всей математики, из которой будут следовать все математические утверждения. Это такая вера была. И он предложил программу формализации математики. А Гёдель, собственно, его опроверг. Он показал, что если аксиоматическая система достаточно богата, то в ней обязательно можно сформулировать утверждение, которое не может быть доказано, но которое будет верным. А в основе этого лежит следующее, что и для этого требуется не весь язык математики, а язык, который говорит просто о натуральных числах, 0, 1, 2, 3, о сложении и умножении. Язык достаточно ограниченный. Но если использовать такой способ, который называется нумерация, то есть если занумеровать все формальные выражения с помощью чисел (а эти утверждения формального языка сами говорят о числах), то можно говорить о самих себя. Проблема самоприменимости кодируется, используя нумерации. То есть сам подход математически был весьма оригинальным, а дальше уже само рассуждение и приведение к противоречию получается достаточно просто.
А.Г. Если позволите, два вопроса, поскольку у нас не так много времени осталось. Первый касается как раз теоремы Ферма. Все ли доказательства равноценны? Потому что ведь Ферма наверняка имел в виду некое другое доказательство собственной теоремы, а не то, которое получил американец, если не ошибаюсь…
Ю.Е. Эндрю Уайлс.
А.Г. …Эндрю Уайлс 300 лет спустя. И таким образом, можно ли считать теорему Ферма доказанной? Это первый вопрос.
Ю.Е. Безусловно, так, как эта теорема сформулирована, в таком виде Уайлс её и доказал. Использовал ли он те средства, которые были доступны Ферма? Ответ – безусловно, нет. Я уже об этом говорил, в доказательстве Уайлса используются очень современные средства, причём, которые создавались в течение многих лет. Так что это, безусловно, не то, на что надеялся или о чём заявил Ферма. Известно, что он заявил, что «поля книги слишком малы для того, чтобы я смог воспроизвести то удивительное доказательство, которое я нашёл». Но, тем не менее, многовековая экспертная оценка утверждает, что, по-видимому, Ферма всё-таки не имел доказательства.
А.Г. И второй вопрос. То, что является священной коровой для одних наук, естественных, скажем, для физики, и что формулируется как принцип Оккама или бритва Оккама – отсекай ненужные сущности – в математике напрочь опровергается, судя по вашим словам. То есть математика создаёт сущности на каждом шагу и оказывается, что они необходимы для существования самой математики.
Ю.Е. Не совсем так. Дело в том, что идёт отбор этих сущностей. Они создаются, они пробуются. Те сущности, которые себя оправдывают, они остаются. А те, которые, как говорится, не подтвердили свою полезность, свою нужность, они просто отпадают. И в этом отношении, кстати, на математику можно смотреть и как на экспериментальную науку. Математики создают орудия, пробуют их, выбрасывают ненужные и оставляют нужные. Но то, что, как говорится, умножать сущности иногда нужно. Это сделали, например, уже упомянутые здесь Галуа и Абель, которые решили известную проблему о том, что корень общего уравнения пятой степени неразрешим в радикалах, то есть нельзя написать формулу теми ограниченными средствами, которые есть. Так вот, для ответа на этот вопрос необходимо было выйти за пределы сущности классической математики. Для этого нужно было ввести новые понятия. Без этих новых понятий ответа бы не было. Так что создание новых сущностей является обязательным. Но тем не менее, во-первых, есть естественный отбор, а, во-вторых, иногда математики позволяют себе декларировать, по крайней мере, абсолютную свободу. В принципе я могу написать некоторую систему аксиом и буду её исследовать и, как говорится, никто мне не запретит. Это правильно, никто не запретит. Но в реальной жизни, конечно, так не происходит. Потому что, во-первых, математическое сообщество может посмотреть на твои упражнения, но если ты ни одного человека…
...
Формализация. Анализ механизма доказательств в хорошо подобранных математических текстах позволил раскрыть строение доказательств с точки зрения, как словаря, так и синтаксиса. Это привело к заключению, что достаточно ясный математический текст можно было бы выразить на условном языке, который содержит лишь небольшое число неизменных «слов», соединяемых друг с другом, согласно синтаксису, состоящему из небольшого числа не допускающих исключений правил; так выраженный текст называется формализованным. Например, запись шахматной партии с помощью обычной шахматной нотации — это формализованный текст. Формулы обычной алгебры также будут формализованными текстами, если полностью кодифицировать правила, управляющие употреблением скобок, и строго их придерживаться; но в действительности некоторые из этих правил познаются лишь в процессе употребления, и этот же процесс санкционирует некоторые отступления от них.
Проверка формализованного текста требует лишь в некотором роде механического внимания, так как единственно возможные источники ошибок — это длина или сложность текста. Вот почему математик большей частью доверяет собрату, сообщающему результат алгебраических вычислений, если только известно, что эти вычисления не слишком длинны и выполнены тщательно. В неформализованном же тексте всегда существует опасность ошибочных умозаключений, к которым может привести, например, злоупотребление интуицией или рассуждение по аналогии. Наверно, именно поэтому некоторые исследования филологов, объясняющие, например, древние литературные тексты, вызывают внутренний протест у представителей естественных наук.
В действительности математик, желающий убедиться в полной правильности, или, как говорят, «строгости», доказательства или теории, отнюдь не прибегает к одной из тех полных формализации, которыми сейчас располагают, и даже большей частью не пользуется частичными и неполными формализациями, доставляемыми алгебраическим и другими подобными исчислениями. Обыкновенно он довольствуется тем, что приводит изложение к такому состоянию, когда его опыт и чутье математика говорят ему, что перевод на формализованный язык был бы теперь лишь упражнением в терпении. Если возникают сомнения, то, в конечном счете они относятся именно к возможности прийти без двусмысленности к такой формализации — употреблялось ли одно и то же слово в разных смыслах в зависимости от контекста, нарушались ли правила синтаксиса бессознательным употреблением способов рассуждения, не разрешаемых явно этими правилами, была ли, наконец, совершена фактическая ошибка. Текст редактируется, все больше и больше приближаясь к формализованному тексту, пока, по мнению специалистов, дальнейшее продолжение этой работы не станет излишним.
Аксиоматика. Аксиоматический метод есть не что иное, как искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима. Он не является новым изобретением, но его систематическое употребление в качестве инструмента открытий составляет одну из оригинальных черт современной математики. И при записи, и при чтении формализованного текста совершенно несущественно, приписывается ли словам и знакам этого текста то или иное значение или даже не приписывается никакого, — важно лишь точное соблюдение правил синтаксиса. Именно поэтому алгебраические вычисления столь универсальны в применении. Как знает каждый, они могут служить для решения задач о килограммах или о франках, о параболах или о равномерно ускоренных движениях. Таким же преимуществом — и по тем же причинам — обладает и всякий текст, составленный по аксиоматическому методу. Коль скоро теоремы Общей топологии установлены, их можно применять по желанию и к обычному пространству, и к гильбертову, равно как и ко многим другим пространствам. Эта возможность придавать разнообразное содержание, словам или первичным понятиям теории составляет вместе с тем важный источник обогащения интуиции математика, которая отнюдь не обязательно имеет пространственную или чувственную природу, как часто думают, а скорее представляет собой некоторое знание поведения математических объектов, часто прибегающее к помощи образов самой различной природы.
На таком пути нередко открывалась возможность плодотворного изучения в какой-либо теории свойств, которые в ней по традиции оставались без внимания, но которые систематически изучались в общей аксиоматической теории, охватывающей данную теорию как частную модель. Аксиоматический метод позволяет, когда дело касается сложных математических объектов, расчленить их свойства и перегруппировать эти свойства вокруг немногих понятий, то есть он позволяет классифицировать свойства по структурам, которым они принадлежат (одна и та же структура, разумеется, может фигурировать в связи с разными математическими объектами). Так, среди свойств сферы одни являются топологическими, другие — алгебраическими, а третьи могут рассматриваться как относящиеся к дифференциальной геометрии или к теории групп Ли.
Подобно тому, как искусство правильно говорить на живом языке существовало еще до грамматики, так и аксиоматический метод применялся задолго до изобретения формализованных языков. Однако его сознательное применение может основываться только на знании общих принципов, управляющих этими языками, и их соотношений с обычными математическими текстами...
Если бы формализованная математика была так же проста, как игра в шахматы, то, составив описание выбранного формализованного языка, мы должны были бы затем лишь излагать наши доказательства на этом языке, подобно тому как автор шахматного трактата записывает в своей нотации партии, которым он хочет научить, сопровождая их в случае необходимости комментариями. Однако вопрос решается отнюдь не столь легко, и не требуется большого опыта, чтобы убедиться в абсолютной неосуществимости подобного проекта: даже простейшее доказательство из начального раздела Теории множеств потребовало бы сотен знаков для своей полной формализации. Возникает настоятельная необходимость сокращать формализованный текст посредством введения новых слов (называемых «сокращающими символами») и дополнительных правил синтаксиса (называемых «дедуктивными критериями») в довольно значительном количестве. Поступая так, получаем языки, гораздо более удобные, чем формализованный язык в собственном смысле, и относительно которых любой мало-мальски опытный математик будет убежден, что их можно рассматривать как стенографические транскрипции формализованного языка. Но, правда, при этом теряется уверенность, что переход от одного из этих языков к другому может быть сделан чисто механическим образом. Чтобы обрести эту уверенность, пришлось бы чрезмерно усложнить правила синтаксиса, управляющие употреблением новых слов, что польза от этих слов стала бы иллюзорной.
Введение удобного и сжатого языка сопровождается «рассуждениями» особого типа, принадлежащими к так называемой Метаматематике. Эта дисциплина, абстрагируясь полностью от всякого значения, которое могло бы первоначально приписываться словам или фразам формализованных математических текстов, рассматривает эти тексты как особые простые объекты, как собрания некоторых заранее данных объектов, для которых важен лишь порядок их расположения. И как трактат по химии заранее объявляет результат эксперимента, производимого при данных условиях, так и метаматематические «рассуждения» будут устанавливать, что после некоторой последовательности операций над текстом данного типа окончательный текст будет текстом другого данного типа. В простейших случаях такие утверждения, по правде говоря, являются чистыми трюизмами. Их можно было бы сравнить, например, со следующим утверждением: «Когда в мешке с шарами, содержащем черные шары и шары белые, заменят все черные шары белыми, в мешке останутся только белые шары». Но очень скоро встречаются примеры, в которых аргументация принимает типично математический характер, с преимущественным употреблением произвольных целых чисел и рассуждений по индукции. Правда, теперь мы не можем более отрицать опасность логической ошибки, поскольку как будто с самого начала используются все ресурсы арифметики и в то же время предполагается изложить, между прочим, ее основания. На это некоторые находят возможным отвечать, что в рассуждениях такого рода мы лишь описываем операции, поддающиеся выполнению и контролю, и что по этой причине мы исчерпываем в этих рассуждениях убеждение другого порядка, чем то, которое мы приписываем математике в собственном смысле. Проще, по-видимому, сказать, что можно было бы обойтись без метаматематических рассуждений, если бы формализованная математика была действительно записана: вместо использования «дедуктивных критериев» мы каждый раз вновь начинали бы последовательности операций, которые мы теперь хотим сократить тем, что предсказываем их результат. Но формализованная математика не может быть записана вся полностью, и потому, в конце концов приходится просто питать доверие к тому, что можно назвать здравым смыслом математика, — доверие, аналогичное тому, которое бухгалтер и инженер, не подозревая о существовании аксиом Пеано, питают к формуле или численной таблице и которое в конечном счете основано на том, что оно никогда не было подорвано фактами (H. Бурбаки). Математикам часто приходится покидать формализованную математику, но при этом важно заботиться о том, чтобы отмечать дорогу, по которой к ней можно вернуться. Все математические тексты пишутся на практике отчасти обычным языком, отчасти с помощью формул, составляющих частичные формализации, специальные и неполные, из которых алгебраическое исчисление может служить наиболее известным примером.
Непротиворечивость. Вопрос о непротиворечивости — один из вопросов, наиболее занимающих современных логиков и в той или иной мере встающих уже с самого начала при создании формализованных языков. Та или иная математическая теория называется противоречивой, если какая-либо теорема доказывается в ней вместе со своим отрицанием. Тогда из обычных правил умозаключения, лежащих в основе правил синтаксиса формализованных языков, можно вывести следствие, что любая теорема одновременно и истинна, и ложна в этой теории, теряющей тем самым всякий интерес. Если, таким образом, мы нечаянно придем к противоречию, то мы не можем оставить его существовать далее, не обесценивая теории, в которой оно возникло.
Можно ли приобрести уверенность, что этого никогда не случится? Не пускаясь по этому поводу в споры о самом понятии уверенности, заметим, что метаматематика может попытаться рассмотреть проблемы непротиворечивости своими собственными методами. В самом деле, сказать, что некоторая теория противоречива, сводится к тому, чтобы сказать, что она содержит правильное формализованное доказательство, оканчивающееся заключением 0 = 0.
Если бы математика была противоречива, то некоторые ее применения к материальным объектам, и в частности к формализованным текстам, рисковали бы стать иллюзорными. Чтобы избежать этой дилеммы, было бы необходимо, чтобы непротиворечивость формализованного языка можно было «доказать» посредством рассуждений, формализуемых в языке, менее богатом и тем самым более достойном доверия. Но знаменитая теорема метаматематики, принадлежащая Гёделю, говорит, что это невозможно для языка достаточно богатого аксиомами, чтобы допускать формулировку результатов классической арифметики.
Относительная непротиворечивость. С другой стороны, при доказательствах «относительной» непротиворечивости (т. е. при доказательствах, устанавливающих непротиворечивость данной теории в предположении непротиворечивости другой теории, например Теории множеств) метаматематическая часть рассуждения настолько проста, что даже не представляется возможным подвергнуть ее сомнению, не отказываясь при этом от всякого рационального употребления наших умственных способностей. Так как ныне различные математические теории привязываются в отношении логики к Теории множеств, то отсюда следует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих теорий, дало бы повод противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, не есть аргумент, позволяющий заключить о непротиворечивости Теории множеств. Однако за 40 лет с тех пор, как сформулировали с достаточной точностью аксиомы Теории множеств и стали извлекать из них следствия в самых разнообразных областях математики, еще ни разу не встретилось противоречие, и можно с основанием надеяться, что оно и не появится никогда.
Если бы дело и сложилось иначе, то, конечно, замеченное противоречие было бы внутренне присуще самим принципам, положенным в основание Теории множеств, а потому нужно было бы видоизменить эти принципы, стараясь по возможности не ставить под угрозу те части математики, которыми более других дорожат. И ясно, достичь этого тем более легко, что применение аксиоматического метода и формализованного языка позволит формулировать эти принципы более четко и отделять от них следствия более определенно. Впрочем, приблизительно это и произошло недавно, когда устранили «парадоксы» Теории множеств принятием формализованного языка. Подобную ревизию следует предпринять и в случае, когда этот язык окажется в свою очередь противоречивым.
Алгоритм и доказательство неразрешимости. Прежде всего, рассмотрим понятие алгоритма и его место в математике. Несмотря на то, что это понятие является едва ли не самым распространенным в современной математике, природа этого понятия становится более ясной только с появлением математической логики. С исторической точки зрения понятие алгоритма связано, скорее, с алгеброй, потому что именно там оно появляется впервые. Любопытно и то обстоятельство, что слова алгебра и алгоритм обязаны своим возникновением имени одного человека — арабского математика Аль Хорезми (787 — около 850 гг.).
Известно, что действие физических машин — компьютеров — основано на исполнении ими программ, которые представляют собой алгоритмы. Простые алгоритмы типа деления столбиком известны каждому школьнику из курса математики. Математика имеет дело с математическими объектами, среди которых можно назвать числа, функции, множества, фигуры и т. д. Суть математики состоит в доказательстве истинных утверждений об этих объектах, и если есть такое доказательство, объект, фигурирующий в утверждении, считается существующим. Вопрос о том, где он существует: в мире идеальных сущностей, или же в уме у математика, или же во внешнем мире, — занимает в основном философов математики и не интересует нас здесь. Удивительным и весьма важным фактом является то, что алгоритм в обычном его понимании не является традиционным математическим объектом.
Для понимания этого важного факта следует обратиться к тому, что представляют собой математические утверждения. Обычно они являются дескриптивными, т. е. описывающими свойства математических объектов. В более широком смысле можно полагать, что математические утверждения описывают математическую реальность, что бы под этим ни понималось.
Что касается алгоритмов, то они носят императивный характер, так как они представляют собой предписания: сделай так-то и так-то. В этом смысле они не являются математическими объектами в традиционном их понимании, потому что императивы не есть часть математики. Это представляется странным, но следует учесть, что алгоритмы появляются в доказательствах классической математики в виде текста, который никак не подходит под определение математического объекта как чего-то такого, что описывается математическими утверждениями.
Таким образом, для понимания природы понятия алгоритма и его легитимизации в качестве математического объекта мы должны фиксировать различие между дескриптивными и императивными утверждениями. Это первая оппозиция, нужная нам при обсуждении данного вопроса. Другой полезной оппозицией будет противопоставление классической и современной математики, или, более точно, классического аксиоматического метода и современного аксиоматического метода. Наконец, крайне важным будет также разделение синтаксических и семантических аспектов математических построений.
Впервые объекты, которые можно сопоставить с алгоритмами, появились в классической алгебре. Именно там алгоритмы стали претендовать на то, чтобы их можно было уподобить математическим объектам. Рождение современной математики также связано именно с алгеброй, которая ввела в обиход совершенно новые математические объекты. Известно, что собственно понятие алгоритма стало формализуемым и, стало быть, более понятным в рамках математической логики. Ситуация становится постижимой, если принять во внимание, что до возникновения математической логики алгебра в известной степени играла роль логики внутри математики. Обычная логика, связанная с именем Аристотеля, относилась к законам мышления и не играла какой-либо значимой роли в математике. Кодификация же структур современной математики была осуществлена математической логикой, которую многие исследователи совсем не соотносят с законами мышления.
Важнейшим понятием математической логики является понятие терма. Терм — синтаксическое понятие, ставшее возможным после того, как в алгебре задолго до этого было введено понятие переменной. Фактически алгебра ввела формальный язык, который представлял собой исчисление переменных. Если имеется определенное число констант и переменных, можно ввести понятие терма обычным индуктивным образом: константа есть терм, переменная есть терм — и далее определяется индуктивный способ порождения слов с использованием функциональных символов языка. На термы как математические объекты можно смотреть двояким образом в зависимости от того, какие соображения представляют в некоторой задаче интерес — синтаксические или семантические.
Семантический аспект представляет собой поиск значений, которые приписываются синтаксическим объектам. Если мы изучаем натуральные числа, тогда каждому терму можно сопоставить значение — натуральное число. Вычисление значений осуществляется по заданным значениям переменных и функций. Первостепенную важность имеет равенство термов. Имеется два принципиально разных понимания такого равенства. Поскольку в терм входят переменные, постольку равенство термов можно считать тождеством, т. е. можно считать, что значения двух термов совпадают при всех значениях входящих в них переменных. Такого рода тождества являются универсальными логическими законами. Другое понимание равенства термов заключается в том, что установление равенства требует от нас нахождения таких значений переменных, при которых это равенство было бы справедливо. Именно такое понимание свойственно при решении уравнений, например диофантовых. В математической практике мы часто имеем смешанный вариант: некоторые переменные считаются параметрами, а для остальных ищутся соответствующие значения.
Эти два понимания равенства термов обусловливают два типа операций над ними. Первая из операций — это преобразование терма с использованием тождеств термов. Вторая операция — подстановка термов вместо переменных.
Такого рода вещи делаются в алгебре при решении уравнений. Важность термов определяется тем, что это не только синтаксические объекты, но и фактически записи алгоритмов. Сама форма терма говорит о том, что именно нужно выполнить для вычисления значения терма. При этом надо знать значения соответствующих функций.
Термы были первыми примерами нетривиального представления алгоритмов. Когда дан некоторый запас функций, термы дают некоторый запас алгоритмов. Вопрос о наличии алгоритма ни в коем случае не тривиален, что видно, быть может, из одного важного результата алгебры, а именно, из теоремы Галуа — Абеля о невозможности представления решений уравнений пятой степени в радикалах. Здесь речь идет об алгоритмической неразрешимости проблемы, т. е. об отсутствии алгоритма. Доказательство неразрешимости привело к появлению неклассических объектов математики — конечных групп, конечных полей и др. Именно на этом пути возникли семантические рассмотрения. Классическая математика занималась рассмотрением относительно малого числа объектов — чисел, фигур на плоскости и т. д. Но оказалось, что для решения проблем классической математики, имеющих дело с традиционными объектами, требуется ввести новые объекты. Введенные Галуа группы подстановок привели к созданию новой современной алгебры. При этом сама постановка проблем в алгебре радикально изменилась, — теперь возникает вопрос и о том, можно ли описать все объекты, которые удовлетворяют описанным структурам. Действительно, например, классификация конечных групп представляет собой весьма впечатляющую проблему: хотя классификация завершена, многие ее результаты занимают десятки тысяч страниц, и некоторые из них помещены в малодоступных периодических изданиях.
Только с появлением работ Дж. Пеано по аксиоматизации теории натуральных чисел и работы Д. Гильберта по аксиоматике геометрии наряду с математическими аксиомами первостепенную важность приобрели законы логики. Классический аксиоматический метод предполагал выведение следствий из аксиом, но только с появлением математической логики способы выведения этих следствий были кодифицированы и наряду с аксиомами стали частью формализмов математики.
Это обстоятельство привело к абсолютно новой ситуации во всей математике. Классическая математика была, если можно так выразиться, наивно конструктивной. Это означает, что если доказывалась теорема существования математического объекта, то при этом давался способ его построения. Но после появления законов логики стало возможным доказательство от противного, когда доказательство теоремы существования вовсе не предполагало способа построения объекта. Поначалу новые возможности в математике вызвали яростные споры среди математиков о допустимости подобных методов. Ситуация наилучшим образом характеризуется знаменитой аксиомой выбора, имевшей самые парадоксальные следствия. Несмотря на эту парадоксальность, аксиома выбора оказалась чрезвычайно полезной при доказательстве самых различных результатов. Новые методы, связанные с понятиями и методами математической логики, стали весьма эффективными не только в современной математике, но и в математике классической.
Математическая логика позволила определить понятие алгоритма. С каждым алгоритмом можно связать функцию, которая вычисляет его значение. Таких функций существует значительное количество, и из них удалось выделить класс вычислимых функций. Установление смысла вычислимости представляет содержание знаменитого тезиса А. Черча. Одно из определений вычислимости принадлежит К. Гёделю, и важно отметить, что знаменитая теорема Гёделя о неполноте, о которой так много говорят и спорят философы, связана с понятием алгоритма. Без принятия соглашения об эффективности системы аксиом эта теорема не имеет значительного смысла.
Новые методы, связанные с кодификацией логических законов математического мышления, частью которых являются представления об алгоритмах и вычислимости, приводили и приводят к поистине удивительным результатам в самой математике. Например, А. И. Мальцев в 1937 г. доказал теорему компактности, а в 1941 г. использовал эту теорему для доказательства теорем уже в самой алгебре. Теорема компактности описывает математическое свойство языка первого порядка через его семантику. С точки зрения логики свойство компактности определяет тот тип следования, который мы считаем желательным при формализации математического доказательства.
Дальнейшие исследования показали эффективность использования математической логики (теории моделей) и в других разделах современной математики (нестандартном анализе и др.). Недавние результаты Е. Хрущевского показали, что методы теории моделей можно успешно применять и для решения проблем классической математики (доказательство гипотезы Морделла — Ленга и Мамфорда). Последние работы Ю. Л. Ершова по теории полей классов можно рассматривать как использование теоретико-модельной идеологии для нахождения новых важных понятий в классической математике.
Математическая логика. Как самостоятельный раздел современной математики она сформировалась сравнительно недавно — на рубеже девятнадцатого — двадцатого веков. Возникновение и быстрое развитие математической логика в начале нашего века было связано с так называемым кризисом в основаниях математики. При любой попытке систематического изложения математики (как, впрочем, и любой другой науки) возникает проблема выбора начальных (исходных) понятий и принципов, которые будут положены в основу всего изложения. Проблема выбора и обоснование этого выбора исходных данных лежит, как правило, вне самой научной дисциплины и относится к философии и методологии научного познания. Систематизация математики в конце девятнадцатого века выявила, что весьма перспективным является использование понятия множества в качестве единственного исходного понятия для всей математики. Работами Б. Больцано, Р. Дедекинда и Р. Кантора была создана новая область математики — теория множеств, которая красотой и силой своих построений и перспективами использования ее в основаниях математики привлекла внимание многих ведущих математиков того времени. Однако высокая степень абстрактности и «универсальность» понятия множества не могли не привести к трудностям, хорошо и давно известным в философии при работе с «универсалиями». Проявилось это в появлении так называемых теоретико-божественных парадоксов.
Приведем один из теоретико-множественных парадоксов — парадокс Рассела. Для произвольного множества является осмысленным вопрос, «будет ли это множество своим собственным элементом». Примером множества, которое содержит само себя в качестве элемента, могло бы служить, например, множество всех множеств. Рассмотрим множество М всех множеств, для которых ответ на этот вопрос отрицателен. Спросим теперь, является ли это множество своим элементом? К своему удивлению обнаружим, что если ответ положительный, то имеем, что множество М не принадлежит самому себе, т. е. ответ должен (бы) быть отрицательным. Если же ответ отрицателен, то в силу определения множества М ответ должен быть положительным. Этот парадокс показывает, что если мы не хотим приходить к противоречиям, то необходимо (в частности) отказаться от приятной мысли, что любое осмысленное условие на элементы определяет некоторое множество. К счастью, такого рода парадоксы можно получить лишь с «большими» или «неестественными» множествами, без которых в математике можно вполне обойтись.
Появление таких парадоксов в теории множеств было воспринято многими математиками очень болезненно и поэтому привлекло к вопросам основании математики пристальное внимание практически всех ведущих математиков того времени (Д. Гильберт, А. Пуанкаре, Г. Вейль). Было предложено несколько программ «спасения» математики от «ужаса» парадоксов. Укажем вкратце только две наиболее действенные программы, хотя многообразие подходов к основаниям математики остается. Однако достижения математической логики сняли остроту этой проблемы настолько, что большинство математиков, работающих в других разделах математики, не уделяют особого внимания тем дискуссиям, которые ведут ныне специалисты по основаниям математики.
Одной из наиболее разработанных программ по основаниям математики является предложенная Д. Гильбертом программа финитарного обоснования математики. Суть этой программы состоит в попытке построения такой формализации математики, что средствами этой системы можно доказать свою собственную непротиворечивость. Другим требованием к такой формализации является условие, чтобы все простейшие, проверяемые непосредственно утверждения о натуральных числах были истинными в этой формализации. Работа над этой программой, как самого Гильберта, так и его учеников и последователей оказалась весьма плодотворной для математической логики, в частности, в разработке современного аксиоматического метода. Хотя программа «финитизма» в своей исходной постановке оказалась невыполнимой, как показал в своих знаменитых работах К. Гёдель, однако возможные модификации этой программы обсуждаются и по настоящее время.
Другой подход к основаниям математики был связан с критикой ряда положений, которые использовались в математике без должного обоснования. Это относится, в частности, к неограниченному использованию закона исключенного третьего и аксиомы выбора. Программа построения математики при жестких ограничениях на использование этих принципов получила название интуиционизма; ее создание и развитие связано в первую очередь с именем Л. Э. Я. Брауэра. Развитый в Советском Союзе А. А. Марковым и его последователями конструктивистский подход к основаниям математики также связан с критическим подходом к допустимым логическим средствам в математике и систематически использует понятие алгоритма при конструктивистском воспроизведении математических результатов.
Основным итогом деятельности в области оснований математики можно считать становление математической логики как самостоятельного раздела математики, а принципиальным достижением математической логики — разработку современного аксиоматического метода, который может быть охарактеризован следующими тремя чертами:
1. Явная формулировка исходных положений (аксиом) той или иной теории.
2. Явная формулировка логических средств (правил вывода), которые допускаются для последовательного построения (развертывания) этой теории.
3. Использование искусственно построенных формальных языков для изложения всех положений (теорем) рассматриваемой теории.
Первая черта характеризует классический аксиоматический метод. Две следующие являются дальнейшими шагами в достижении максимальной точности и ясности в изложении теорий.
Основным объектом изучения в математической логике являются различные исчисления. В понятие исчисления входят такие основные компоненты, как: а) язык (формальный) исчисления; б) аксиомы исчисления; в) правила вывода.
Понятие исчисления позволяет дать строгое математическое определение понятия доказательства и получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории. Еще одним замечательным достижением математической логики является нахождение математического определения понятия алгоритма.
Интуитивно понятно алгоритма использовалось очень давно. Выдающийся мыслитель XVII-XVIII веков Лейбниц даже мечтал о нахождении универсального алгоритма для решения всех математических проблем. Точное определение понятия алгоритма позволило довольно быстро разрушить эту красивую утопию: А. Черч в 1936 г. показал, что невозможен алгоритм, который по произвольному утверждению, записанному на формальном языке элементарной арифметики, отвечал бы на вопрос: будет ли это утверждение истинно па натуральных числах? Далее оказалось, что даже в системе, описывающей «чистую логику» (исчисление предикатов), проблема доказуемости алгоритмически неразрешима. В последующие годы было обнаружено большое многообразие алгоритмически неразрешимых проблем во многих разделах математики.
Изучение исчислений составляет синтаксическую часть математической логики. Изучение (синтаксического) понятия доказательства в тех или иных исчислениях составляет самостоятельный раздел математической логики, который носит название теории доказательств. Наряду с синтаксическим изучением исчислений проводится также семантическое изучение формальных языков математической логики. Основным понятием семантики является понятие истинности для выражений (формул, секвенций и т. п.) формального языка. Классическая семантика языка исчисления предикатов составила весьма богатый раздел математической логики — теорию моделей, которая активно развивается, а ее методы и результаты успешно применяются и в других областях математики. Основателями теории моделей являются А. Тарский и А. И. Мальцев.
Для математики особенно важной оказалась возможность формализации теории множеств. Исчисления, формализующие основные конструкции «наивной» теории множеств, оказались столь богатыми, что любое теоретико-множественное рассуждение, встречающееся в реальной математической практике, можно формально воспроизвести в этих исчислениях. Естественной «расплатой» за это богатство было обнаружение К. Гёделем эффектов неполноты и даже непополнимости таких исчислений.
На пути построения семантики естественных или формальных языков нас поджидают также большие трудности. Так, простодушное убеждение, что каждой повествовательной фразе русского языка можно правдоподобным (или, по крайней мере, непротиворечивым) образом приписать значение истинности, опровергается так называемым «парадоксом лжеца». Некто говорит: «Фраза, которую я сейчас произношу, ложна». Попробуем выяснить, правду сказал этот человек или солгал. Если предположить, что он сказал правду, то из смысла фразы получается, что он солгал. Если он солгал, то из того, что фраза ложна, получаем, что он сказал правду. Этот парадокс лежит в основе ряда замечательных теорем математической логики (теорем о неполноте и о неопределимости истинности в системе).
Нужно отметить, что современная математическая логика представляет собой обширный и разветвленный раздел математики, источником проблем для которого наряду с внутренними ее проблемами служат как философские проблемы оснований математики и логики, так и проблемы, возникающие в других разделах математики (алгебра, анализ, математическая кибернетика, программирование и др.). Математике суждено выжить и никогда не произойдет крушения главных частей этого величественного здания вследствие внезапного выявления противоречия; но это мнение основано, главным образом, на опыте. Этого мало, скажут некоторые. Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в грядущее спокойно.
Библиография
Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965
Гончаров С. С., Ершов Ю. Л. Конструктивные модели. Новосибирск, 1999
Ершов Ю. Л. Теория нумераций. М., 1977
Ершов Ю. Л., Палюти Е. А. Математическая логика. 2-е изд. М., 1987
Ершов Ю. Л. Определимость и вычислимость. 2-е изд. М.; Новосибирск, 2000
Ершов Ю. Л. Кратно нормированные поля. Новосибирск, 2000
Ершов Ю. Л. Хорошие расширения и глобальная теория полей классов//Доклады РАН. 2003. Т. 388. № 2
Мальцев А. И. Исследования в области математической логики/Избранные труды. Т. 11. М., 1976
Мальцев А. И. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп/Избранные труды. Т. 1. М., 1976
Hrushovski E. The Mordell-Lang Conjecture for Function Fields//Journal of the AMS. 1996. V. 9. № 3
Hrushovski E. The Manin-Mumford Conjecture and the Model Theory of Difference Fields//Annales of Pure and Applied Logic. 2001. № 112
Тема № 268
Эфир 16.06.2003
Хронометраж 39:45
http://ralimurad.narod.ru/lib/gordon/mathdoc/index.html
http://gordon0030.narod.ru/archive/12510/index.html
