Thursday, September 26, 2013

Преподавания физики и математики



Форматирование моё.


...нас на мехмате так обучали физике, что привили если не отвращение, то полное равнодушие к предмету, приучили видеть в нем нечто вроде разновидности шаманизма, следующую ступень после марксистско-ленинской передовой теории. К нам приходили преподаватели с физфака, в сущности хорошие специалисты, но не понимавшие и не желавшие понимать психологию математиков, куда и к кому они попали. Они излагали нам физику «по рабоче-крестьянски», совершенно не учитывая нашего достаточно изощренного математического образования. В результате то, что они подавали нам как разумное упрощение, мы воспринимали как вульгаризм и профанацию.

Ниже есть продолжение.

«Вот возьмем произвольный оператор и его собственный вектор», — вещал такой учитель. А нас-то давно научили, что теория операторов в бесконечномерных пространствах тем и характерна, что там операторы, вообще говоря, не имеют собственных векторов... А почему мы должны принять на веру, что вот эти члены в разложении данного ряда можно отбросить без ущерба? Мы, которых Александров и Колмогоров, Петровский и Курош обучали тому, что такое строгое рассуждение! Парадоксально, но чем способнее и сильнее был студент мехмата, тем более искаженным складывалось у него представление о предмете физики; по крайней мере преподавание этой науки ему казалось систематическим надувательством.
http://gordon0030.narod.ru/archive/8986/index.html

Я помню как учитель физики мне пытался объяснить определённый интеграл. Делал он это следующим образом. Нарисовал график "произвольной" функции (она почему-то оказалась непрерывной, но этого я, как раз не заметил тогда). Затем площадь фигуры под графиком разбил на "много-много трапеций". Предварительное замечание было следующим, "трапецию" можно заменить на "прямоугольник", так как разница в площади маленькая, а при увеличении разбиения "будет стремится к нулю" (геометрическое обосновании использования мера Жордана). Далее было сделано сильное утверждения, которые я "на веру" принять никак не мог.

при неограниченном росте разбиения на "трапеции" сумма площадей соответствующих "прямоугольников" будет стремиться к "истиной" площади фигуры под графиком;


Тут у меня возникло сразу два вопроса. Почему мы вообще разбиваем на "трапеции"? Это же довольно произвольное разбиение. Быть можем, мы можем разбить это по-другому, скажем по Лебегу (естественно тогда про меру Лебега я ничего не знал...) и получим другое значение. Вопрос, вообще говоря правильный и нетривиальный. Это сейчас я знаю, что если множество измеримо по Жордану, то оно не только измеримо по Лебегу, но имеет такое же значение. Но интуитивно это мне ни тогда, ни даже сейчас не очевидно. На это мной был получен ответ, об "естественности" меры Жордана, мол это следует из определения площади в двухмерном случае евклидовой геометрии. Там площадь определяется с помощью прямоугольников. Зная площадь прямоугольника легко вычислить площадь треугольника, а отсюда площадь любого правильного n-угольника (классический случай, определение площади круга, как площади между вписанными и описанными многоугольниками).

Второй вопрос, собственно почему сумма площадей "прямоугольников" сходится к истиной площади фигуры под графиком? В частности, почему пренебрежение тем, что мы имеем не трапеции, а прямоугольники, не влияет на результат сходимости. Как оказалось, здесь существенным является свойства графика функции. К примеру, если у нас есть график непрерывной функции, мы можем перейти к суммам Дарбу, и в них все sup заменяются на максимумы, которые существует (конечны)... Тут, я не был удостоен никаким ответов, кроме того, что это "геометрически очевидно".



См. также:
В 1914 году картина любого мира разрушилась
Гордон - Диалоги: Квантовая математика (17.10.2002)

No comments:

Post a Comment