Об особенностях подсчёта голосов. Часть II

Часть I избирательная явка и действительные голоса
Часть II эквивалентность подсчёта
Часть III электоральный барьер
Часть IV метод Бадера-Офера
Часть V преимущество больших списков
Часть VI реальный пример


Мы разобрались с избирательной явкой и действительными голосами в первой части, а в этой части я опишу, что значит недействительный голос

пропорционально распределился между всеми партиями, прошедшими электоральный барьер

и докажу почему это эквивалентно тому, что недействительный голос

пошёл в мусорное ведро

Напомню, что недействительный голос это любой из нижеперечисленного:

* неголосовал;
* белый лист;
* испорченный бюллетень;
* голос за список, который не прошёл электоральный барьер;

Маленькое замечание относительно преодоление электорального барьера (ахуз hахасима). В Израиле доля действительных голосов, получив которую, список участвует в распределении мест, равняется 2%.

UPDATE 2019: В 2014 г. электральный барьер был повышен до 3,25% (3,9 мандата). END OF UPDATE

Таким образом, партия, которая находится "на грани" не может преодолеть её за счёт перераспределения недействительных голосов. В расчётах ниже, я не буду его учитывать вообще.

Ниже есть продолжение.

Для начала, я приведу более простой пример того, как один голос распределяется пропорционально между списками, прошедшими электоральный барьер. Скажем, всего два списка преодолели электоральный барьер и получили 666 и 333 голоса и есть один недействительный голос. Тогда партия A получит $\frac{666}{666+333+1}= 0,666$ недействительного голоса, а партия B - $\frac{333}{666+333+1}=0,333$ недействительного голоса или всего 666,666 голосов и 333,333 голоса. На этом этапе вступает в силу договор об остаточных голосах избирателей. Так как, в нашем примере есть только две партии, они должны могли были составить такой договор между собой. Так как $0,666>0,333$, то дополнительный мандат вероятнее всего (см. отдельную заметку) получает партия A, таким образом окончательное количество мандатов - у партии A - 667, у партии B - 333 (по-сути недействительный голос достался партии A). Или при пересчёте на мандаты первая партия $120*\frac{667}{1000}=80,04$, вторая партия - $120*\frac{333}{1000}=39,96$. Т.к. $0,04<0,96$, то дополнительный мандат вероятнее всего получает вторая партия, итого первая партия - 80 мандат, вторая - 40 мандатов.

Теперь пересчитаем это же первым способ, будем считать только действительные голоса. За первую партию у нас 666 голосов, за вторую - 333, всего 666+333=999 голосов (и 1 недействительный). Значит первая партия должна получить $120*\frac{666}{999}=120*\frac{2}{3}=80$ мандатов, а вторая - $120*\frac{333}{999}=120*\frac{1}{3}=40$ мандатов.

Алгоритм перевода голосов избирателей в мандаты очевиден из примера выше, но на всякий случай я его приведу в общем виде. Пусть у нас есть n партий, каждая из них набрала a₁, a₂...a_n голосов. В сумме у нас есть a₁+a₂+...+a_n голосов. Относительна доля первой партии составляет $\frac{a_1}{a_1+a_2+...+a_n}$, второй - $\frac{a_2}{a_1+a_2+...+a_n}$... партии n - $\frac{a_n}{a_1+a_2+...+a_n}$. Первая партия должна получить $120*\frac{a_1}{a_1+a_2+...+a_n}$ мандатов, вторая - $120*\frac{a_2}{a_1+a_2+...+a_n}$, партии n - $120*\frac{a_n}{a_1+a_2+...+a_n}$, где 120-количество депутатов в Кнессете.


Ешё пример. Снова ограничимся партиями A и B. В стране есть право голоса у 12 тыс. человек. Действительными признали 9 тыс. бюллетеней. За партию A проголосовало 3 тыс, за партию B - 6 тыс. Таким образом ещё 3 тыс. (12 тыс.-9 тыс.) были признаны недействительными. Посчитаем голоса:

I способ. За партию A проголосовало 3 тыс., за B - 9 тыс. Таким образом, на каждый голос поданный за партию A, есть 2 голоса за партию B или что тоже самое, отношение голосов, пропорция A:B как 3000:9000=1:3. Нам нужно распределить по данной пропорции 3 тыс. недействительных голосов. Имеем, задачу на части:

$1*x+3*x=3000$

$4x=3000$

$x=750$

$1*x=750$
$3*x=2250$

Таким образом, к 3 тыс. голосов партии A нужно добавить $1*x=750$ голосов, итого партия A получит 3750 голосов. Для партии B к 9000 голосов нужно добавить $3*x=2250$ голосов, итого 11250 голосов. Переводим в мандаты. Для партии A - $120*\frac{3750}{3750+11250}=30$, для партии B - $120*\frac{11250}{3750+11250}=90$.

II способ. Считаем только действительные голоса. За партию A было подано 3 тыс. действительных голосов, за партию B - 9 тыс. действительных голосов. Переводим в мандаты. Для партии A - $120*\frac{3000}{3000+9000}=30$, для партии B - $120*\frac{9000}{3000+9000}=90$.


В общем виде. Пусть за партию A проголосовали a голосов, за партию B - b голосов, k голосов было признано недействительными. Посмотрим, сколько голосов должна получить партия A первым и вторым способом. Этого достаточно, чтобы доказать эквивалентность этих способов.

Для того, чтобы посчитать первым способом, нам нужно пропорционально распределить к голосов в пропорции a:b. Имеем,

$a*x+b*x=k$

$(a+b)x=k$

$x=\frac{k}{a+b}$

$a*x=\frac{ak}{a+b}$

Таким образом, при подсчёте первым способом мы имеем всего $a+b+k$ и за партию A в дополнении к a голосов мы пропорционально добавляем $a*x=\frac{ak}{a+b}$, т.е всего за неё считаем $a+\frac{ak}{a+b}$ или в мандатах

(*) $120*\frac{a+\frac{ak}{a+b}}{a+b+k}$

Теперь считаем вторым способом, считаем, только действительные голоса. За партию A подано a голосов. Всего действительных голосов a+b. В мандатах

(**) $120*\frac{a}{a+b}$

Если подсчёт способом I и способ II приводит к одному и тому же результату, мы должны получить, что выражения (*) и (**) равны. Таким образом, нужно доказать, что

$120*\frac{a}{a+b}=120*\frac{a+\frac{ak}{a+b}}{a+b+k}$

что равносильно ($120 \ne 0$)

$\frac{a}{a+b}=\frac{a+\frac{ak}{a+b}}{a+b+k}$

равносильно умножим обе части на $(a+b)(a+b+k) \ne 0$

$a(a+b+k)=(a+\frac{ak}{a+b})(a+b)$

равносильно

$a(a+b+k)=a(1+\frac{k}{a+b})(a+b)$

равносильно $a \ne 0$

$a+b+k=(1+\frac{k}{a+b})(a+b)$

равносильно

$a+b+k=(a+b)+(a+b)*\frac{k}{a+b}$

равносильно $a+b \ne 0$

$a+b+k=(a+b)+k$

равносильно

$a+b+k=a+b+k$

Что и требовалось доказать.

Продолжение следует.