Friday, December 07, 2012

Об особенностях подсчёта голосов. Часть IV (закон Бадера-Офера)

Часть I избирательная явка и действительные голоса
Часть II эквивалентность подсчёта
Часть III электоральный барьер
Часть IV метод Бадера-Офера
Часть V преимущество больших списков
Часть VI реальный пример


Как известно, на выборах 22 января мы выбирает законодательную власть, не исполнительную. Тут мы разобрались кто формирует правительство после выборов в Кнессет.

После того, как мы разобрались с избирательной явкой и действительными голосовами в первой части, в третьей части разобрались с электоральным барьером, а во-второй доказали эквивалентность утверждений, что недействительный голос был выброшен в мусорное ведро и пропорционально распределён между всеми партиями, прошедшими электоральный барьер, я ещё раз прошёлся по тем заметкам и внес небольшие изменения.

Внесённые изменения не являются существенными и не меняют выводов. В этой заметке я сосредоточусь на законе Бадера-Офера об остаточном распределении мандатов. За пределами Израиля это известно как метод Хагенбаха-Бишоффа (the Hagenbach-Bischoff method) или метод де-Хондта (de-Hondt method). Также будет освещён договор об остаточных голосах. Именно рассуждение в этой части были неточны.

Ниже есть продолжение.

Я думаю, проще всего начать с простого примера.

Пример 1. Допустим у нас есть две партии, и между ними нет договора о распределении остаточных голосов.

A - 3000
B - 6000

Недействительные голоса - 3000.

Во второй части мы посчитали двумя различными способами и пришли к выводу, что количество мандатов будет у партии A - 30=$120*\frac{3000}{3000+6000}=120*\frac{3750}{3750+11250}=$, у партии B - 90=$120*\frac{9000}{3000+6000}=120*\frac{11250}{3750+11250}$ (см. подробности подсчёта по ссылке выше).

По закону о выборах, с учётом поправки Бадера-Офера, подсчёт слегка другой. Во-первых, недействительные голоса игнорируются. Далее, вместо составления пропорции, подсчитывается сколько "весит" 1 мандат, т.е. сколько нужно набрать голосов, чтобы получить 1 мандат. Всего есть 9000 голосов, мандатов - 120, значит 1 мандат=$\frac{3000+6000}{120}=75$, т.е. электоральный коэффициент одного парламентского мандата равен 75 голосов ровно.

Далее, считает сколько (целых) мандатов получается партии A c 3000 голосов, по "коэффициенту" в 75 голосов - мандат, получает $\frac{3000}{75}$=40 мандатов ровно. Партия B с 6000 голосов, по "коэффициенту" в 75 голосов - мандат, получает $\frac{6000}{75}$=80 мандатов ровно.

Распределено 40+80=120 мандатов. Осталось 120-120=0 мандатов.

А теперь, смотрим внимательно за пальцами: $40=\frac{3000}{\frac{3000+6000}{120}}=120*\frac{3000}{3000+6000}$ и получаем, что этот способ эквиваленте способу "без недействительных голосов" (при условии, что не осталось не распределённых мандатов).


Пример 2. Допустим у нас есть три партии, и нет между ними ни одного договора о распределении остаточных голосов. Ниже представлена таблица, после того, как были выброшены все недействительные голоса, а также голоса, поданные за все списки, не прошедшие электоральный барьер. Итак, допустим мы имеем

A - 901 000
B - 203 000
C - 96 000

всего 1 200 000 голосов, которые нужно пропорционально распределить между этими тремя партиями таким образом, чтобы в сумме было 120 мандатов.

По закону о выборах, с учётом поправки Бадера-Офера, считаем сначала электоральный коэффициент одного парламентского мандата. Он равен $\frac{1 200 000}{120}$=10 000 голосов за 1 мандат ровно.

Таким образом, партия A получает
A - $\frac{901 000}{10 000}$=90+0,1
B - $\frac{203 000}{10 000}$=20+0,3
C - $\frac{96 000}{10 000}$=9+0,6

Всего распределили 90+20+9=119 (целых) мандатов, осталось распределить ещё 1 мандат.

Самый простой способ, это использовать "округление до целого числа", т.е. отдать этот мандат той партии, которой не хватает минимальное количество (дробной части от) мандата, в нашем случае это будет партия C, т.к. 0,6>=0,1 и 0,6>=0 (именно так, я поступал в предыдущих заметках). Иначе говоря, дополнительный мандат получает тот список, у которого оказалось наибольшее количество остаточных голосов. Такая система известна как метод Хеэра (the Hare method) и она применялась при проведении выборов в Кнессет 2-го созыва и далее, до 1969 года включительно.

По методу Хеэра мы имеем остаточных голосов для партии A
A-1000
B-3000
C-6000

таким образом, дополнительный мандат достался бы партии C (иначе, это можно получить исходя из того, что 0,6=max(0,1;0,3;0,6) как это сделано выше).

Метод Бадера-Офера стали использовать начиная с выборов в Кнессет 8-го созыва (1973). Согласно этому методу, начинается своеобразный "аукцион". Дополнительный мандат достаётся той партии, у которой при приобретении ещё одного мандата электоральный коэффициент будет максимальный.

Напомню, электоральный коэффициент одного парламентского мандата равен 10 000 голосов за 1 мандат ровно.

При 90 мандатах у партии A, "вес" или "цена" одного мандата будет $\frac{901 000}{90}$=10011,(1) голоса.

При 20 мандатах у партии B, "вес" или "цена" одного мандата будет $\frac{203 000}{20}$=10150 голоса.

При 9 мандатах у партии C, "вес" или "цена" одного мандата будет $\frac{96 000}{9}$=10666,(6) голоса.


Далее, мы делаем перерасчет "цены" 1 мандата, если бы каждая из них получила бы ещё 1 мандат

A - $\frac{901 000}{90+1}$=9901 и ещё чуть-чуть.
B - $\frac{203 000}{20+1}$=9666 и ещё чуть-чуть.
C - $\frac{96 000}{9+1}$=9600 ровно

Таким образом, "аукцион" выигрывает партия A, так как в этом случае "цена мандата" будет наивысшей (и ближе всего к "теоретической").

A - 91=90+1
B - 20
C - 9

Интересное замечание. Сделаем, табличку падения "цены" мандата, т.е. на сколько голосов уменьшилась цена мандата при добавлении очередного

A- $\frac{901 000}{90}-\frac{901 000}{90+1}=10011-9901$=110 примерно
B- $\frac{203 000}{20}-\frac{203 000}{20+1}=10150-9666$=484 примерно
C- $\frac{96 000}{9}-\frac{96 000}{9+1}=10666-9600$=1066 примерно

Интересно, можно ли это сделать в общем виде?


Пример 3. Возьмём эти же три партии, но теперь, предположим, что между партиями B и C есть договор об остаточных голосах. Ниже представлена таблица, после того, как были выброшены все недействительные голоса, а также голоса, поданные за все списки, не прошедшие электоральный барьер. Итак, допустим мы имеем

A - 901 000
B - 203 000
C - 96 000

всего 1 200 000 голосов, которые нужно пропорционально распределить между этими тремя партиями таким образом, чтобы в сумме было 120 мандатов.

По закону о выборах, с учётом поправки Бадера-Офера, считаем сначала электоральный коэффициент одного парламентского мандата. Он равен $\frac{1 200 000}{120}$=10 000 голосов за 1 мандат ровно.

Таким образом, партия A получает
A - $\frac{901 000}{10 000}$=90+0,1
B - $\frac{203 000}{10 000}$=20+0,3
C - $\frac{96 000}{10 000}$=9+0,6

Всего распределили 90+20+9=119 (целых) мандатов, осталось распределить ещё 1 мандат.

Для распределения этого 1 мандата мы рассматриваем партии B и C вместе, т.е.

A - 901 000
B+C - 299 000

Напомню, электоральный коэффициент одного парламентского мандата равен 10 000 голосов за 1 мандат ровно.

A - $\frac{901 000}{90+1}$=9 901+0,0989...
B+C - $\frac{299 000}{20+9+1}$=9 966+0,66...

таким образом, в этом случае, дополнительный мандат должен идти к B+C. Для того, чтобы определить кому именно из них опять прибегают к методу Бадера-Офера.

B - $\frac{203 000}{20+1}$=9 666+0,66...
C - $\frac{96 000}{9+1}$=9 600

и таким образом, дополнительный мандат достаётся партии B.


По материалам
http://he.wikipedia.org/wiki/חוק בדר-עופר
http://old.ort.spb.ru/nesh/vesti/230123e.htm

Продолжение следует.

No comments:

Post a Comment