Tuesday, December 28, 2010
Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть II
См. также
Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть I
Часть II. Алгебраические свойства золотого сечения.
Часть III. Числа Фибоначчи и золоте сечение.
Часть IV. Цепные дроби и золоте сечение.
Часть V. Фрактальная геометрия и золоте сечение.
Часть VI. Закон Бенфорда, или закон первой цифры.
Часть VII. Золотое сечение в природе.
Алгебраические свойства золотого сечения.
Те, кому эта часть неинтересна могут спокойно её пропустить.
Для начала повторю определение Евклида.
Ниже есть продолжение.
Допустим у вас есть отрезок. Нужно разделить его на две неравные части. Обозначим длину большей части за a, длину меньшей части за b. Тогда длина заданного отрезка будет a+b. Так вот, нужно разделить наш отрезок таким образом, чтобы длина всего отрезка (a+b) относилась к длине большей части (a) так, как длина большей части a относится к длине меньшей части b.
Получаем пропорцию:
$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$
Отсюда (умножаем "крест на крест" или "умножаем обе части на $a*b$):
$ab+b^2=a^2$
Делим обе части на $b^2$. В школе я помню, я во-первых, не оценил всю прелесть этого приёма, во-вторых, мне было непонятно как до этого додумались. Поэтому объясню, двумя разными способами.
Первый способ. Наша задача решить это уравнение относительно $\phi=\frac{a}{b}$, значение этого выражение (которое будет равняться также значению выражения $\frac{a+b}{a}$) и определит "золотое сечение". Т.е. нам нужно сделать такую "трансформацию", которая "выделит" из $ab$ форму $\frac{a}{b}$, из $b^2$ форму $\frac{a}{b}$ и из $a^2$ форму $\frac{a}{b}$. Например, если мы получим выражение $\frac{a^n}{b^n}$, то оно может быть переписано как $(\frac{a}{b})^n=\phi^n$. Если мы получим число $k$, оно также имеет форму $\frac{a}{b}$ (это $k*(\frac{a}{b})^0=k*\phi^0$. Очевидно, что мы должны получить в знаменателе $b$, поэтому мы должны как минимум разделить обе части на $b$. Но тогда получим $a+b=\frac{a^2}{b}$. В левой части мы видим, что "недоделили" (знаменатель так и "не появился"), а в правой части нам не хватает ещё одного b в знаменателе. Тогда мы можем попробовать поделить ещё раз на $b^2$ и получим
Таким образом
$(\frac{a}{b})^2 = \frac{a}{b}+1$
Второй способ. Конечно, можно было заметить, что мы имеем однородное уравнение относительно $a$ и $b$. Однородное уравнение решается путём введения новой переменной, $u=\frac{a}{b}$ либо $v=\frac{b}{a}$. Возникает два вопроса:
а) как из решение получившегося алгебраического уравнения перейти к решению нашей задачи (нахождения числа $\phi$).
б) какую из этих двух замен предпочесть.
Если мы ещё раз посмотрим, мы увидим, что собственно $\phi=\frac{a}{b}=u$ ($v=1/ \phi$). "Проще" сделать первую замену, т.к. получившееся решение сразу даст нам искомое число $\phi$. Впрочем можно сделать и вторую замену, а затем находить $\phi=1/v$.
Итак, мы получили
$(\frac{a}{b})^2 = \frac{a}{b}+1$
Обозначим $\phi=\frac{a}{b}$, получим
$\phi^2-\phi-1=0$ (*)
$\frac{a}{b}=\phi_{1,2}=\frac{1\mp \sqrt{5} }{2}$
Так вот положительный корень, $\frac{1+ \sqrt{5} }{2}$, и будет "золотым сечением", т.е. $\frac{a}{b}$, т.е. отношением длины большей части a к длине меньшей части b или, что тоже самое отношение длины всего отрезка (a+b) к длине большей части (a).
Далее, я нарушу хронологический ход повествования, вместо этого я расскажу о замечательных свойствах этого числа, а затем я добавлю ещё пару интересных моментов, как, например, уже упомянутый выше закон Бенфорда.
Напомню, что для числа формы $a+b\sqrt{r}$ сопряжённым числом называют число $a-b\sqrt{r}$. Согласно этому определённую "дважды сопряженное число" или число, которое сопряженное с числом, которое в свою очередь сопряжено с числом, равняется этому числу. В самом деле, если мы имеем число $a+b\sqrt{r}$, его сопряжённое число будет, согласно определению, $a-b\sqrt{r}$. "Дважды сопряженным числом", т.е. числом которое получится после сопряжения числа $a-b\sqrt{r}$ будет $a+b\sqrt{r}$. В самом деле, $a-b\sqrt{r}=a+(-b)\sqrt{r}$ По определению, сопряжённая форма этого числа будет $a-(-b)\sqrt{r}=a+b\sqrt{r}$, т.к. $-(-b)=b$.
Таким образом, второй корень уравнения (*) является число, сопряжённое с $\phi$.
Далее, на лекциях в университете, обычно говорят, давайте, мол, смеха ради, посчитаем, чему равняется $\frac{1}{\phi}$. Мы непременно сделаем и это, но я бы всё-таки пошёл бы другим путём.
Что нам дают сопряжённые числа? При помощи них легко избавится от радикалов в знаменателе (это нужно делать, чтобы уменьшить погрешность вычисления). Пример:
$\frac{1}{(3+3\sqrt{2})} = \frac{1}{(3+3\sqrt{2})} * \frac{(3-3\sqrt{2})}{(3-3\sqrt{2})}=\frac{3-3\sqrt{2}}{(3+3\sqrt{2})(3-3\sqrt{2})} =\frac{3-3\sqrt 2}{3^2-3^2*2}=\frac{3-3\sqrt 2}{9-18}=\frac{3-3\sqrt 2}{-9}=$
$=\frac{-1+1\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}-1}{3}$
Т.е. стандартный приём состоит в том, чтобы умножить и разделить сопряжённый знаменателю множитель ("умножить на единицу"), тогда в знаменателе у нас появится выражения формы $(a+b\sqrt{r})*(a-b\sqrt{r}$, как в примере выше, это было $(3+3\sqrt{2})(3-3\sqrt{2})$ и тогда, применив формулу сокращённого умножения $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, мы получим в знаменателе целое число $a^2-b^2*r$, $3^2-3^2*2$ в приведённом выше примере.
Итак, мы хотим выразить число сопряжённые с ${\phi}$ через ${\phi}$. Напомню, что число сопряжённое с числом, которое в свою очередь сопряженно с ${\phi}$, "дважды сопряжённое число", будет ${\phi}$. Поэтому, для этого мы умножим и разделим сопряженно с ${\phi}$ число на ${\phi}$, а затем по другому сгруппируем числа, получим:
$\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{(1-\sqrt{5})}{2}*\frac{phi}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}*\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}*\frac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=$
$=\frac{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{2*(1+\sqrt{5})}=\frac{1-5}{2}*\frac{2}{1+\sqrt{5}}*\frac{1}{2}=-\frac{2}{1+\sqrt{5}}=-\frac{1}{\phi}$.
Таким образом, сопряжённое с ${\phi}$ число равняется $-\frac{1}{\phi}$.
Я думаю, вы догадались, как можно было по-другому получить этот же результат.
$\frac{1}{\phi}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}*\frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=$
$=\frac{2*(1-\sqrt{5})}{1-5}=\frac{2*(1-\sqrt{5})}{-4}=-\frac{(1-\sqrt{5})}{2}$ и отсюда
$\frac{(1-\sqrt{5})}{2}=-\frac{1}{\phi}.$
Можно ли упростить выражение $-\frac{1}{\phi}$? Оказывается можно и опять-таки можно сделать это, по меньшей мере тремя способами. Продемонстрирую все три способа.
Способ первый. Мы получили выше, что $-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (1)
По определению, $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Мы можем отсюда выразить $\sqrt{5}$ через $\phi$, а затем подставить это выражение в (1). Имеем,
$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}$. Умножим обе части на 2 получим:
$2\phi=1+\sqrt{5}$, откуда $\sqrt{5}=2\phi-1$ (***). Подставим это в (1) получим
$-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{1-(2\phi-1)}{2}=\frac{1-2\phi+1}{2}=\frac{2-2\phi}{2}=1-\phi$
Таким образом, $\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\phi}=1-\phi$ (2)
В частности отсюда, $-\frac{1}{\phi}=1-\phi$ (3).
Второй способ. Напомню, мы хотим упростить выражение $-\frac{1}{\phi}$. Напомню, уравнение (*) $\phi^2-\phi-1=0$ положительный корень которого и есть $\phi$. Итак,
$\phi^2-\phi-1=0$
Отсюда
$1=\phi^2-\phi=0$
Разделим обе части уравнение на число $-\phi$ ($-\phi \neq 0)$ получим
$-\frac{1}{\phi}=-\phi+1$
или
$-\frac{1}{\phi}=1-\phi$
что является уравнением (3) выше.
Напомню, что $-\frac{1}{\phi}$ это число сопряжённое с $\phi$. Таким образом, чтобы посчитать сопряжённое с $\phi$ число надо от 1 единицы отнять $\phi$.
Из уравнение (3) следует
$\frac{1}{\phi}=\phi-1$
т.е. чтобы посчитать число обратное числу $\phi$, нужно от $\phi$ отнять 1.
Есть ли у вас идея как посчитать квадрат числа $\phi$? Очевидно, это будет опять какая-то комбинация $\phi$ и 1, а так как мы уже отнимали от $\phi$ единицу и от единицы отнимали $\phi$, то логично предположить, что на этот раз, нам нужно будет их сложить. :-)
В самом деле, уравнение (*) гласит $\phi^2-\phi-1=0$, откуда $\phi^2=\phi+1$. Т.е. чтобы подсчитать квадрат числа $\phi$ нам надо к $\phi$ прибавить 1.
При этом интересно заметить, если бы поставили обратную задачу, а именно, найти все такие числа, квадрат каждого равняется это число плюс один, ответом было $\phi$ и сопряжённое с $\phi$ число. В самом деле, задача просить по сути решить уравнение:
$x^2=x+1$
которое равносильно уравнению (*).
Итак, напомню
(*) $\phi^2-\phi-1=0$
откуда
(**) $\phi^2=\phi+1$
А можно ещё и так.
Способ третий. Обозначим число, сопряжённое с ${\phi}$ через сопряжённое с ${\theta}$. Тогда, по теореме Виета из (*) следует:
${\phi*\theta=-1}$
${\phi+\theta=1}$
Из первого уравнение следует, ${\theta=-\frac{1}{\phi}}$, где ${\theta}$ - число, сопряжённое с ${\phi}$.
Можно ли упростить выражение $-\frac{1}{\phi}$?
Из того второго уравнение выше следует ${\theta=1-\phi}$.
Вопрос 1. Чему равняется $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$
Ниже я отвечу на этот вопрос, пока вы думаете я лишь замечу, не будем заострят внимания на том, корректно ли определена формула, наличие трёх точек в конце подразумевает, быть может, бесконечный процесс написание формулы (можно это переформулировать корректно), не будем также заострят внимание на том, сходится ли этот предел последовательности. Нашли ответ? Подумайте, я ведь не просто так, задал этот вопрос посреди заметки о золотом сечении. :-)
Решим мы этот вопрос, по, уже ставшей традицией, двумя способами.
Но, для начала покажем, что $x>0$. $\sqrt{u} \geqslant 0 $. Более того $\sqrt{1+u} >= 1 $ для любого $u \geqslant 0$. В самом деле
$u \geqslant 0 \Leftrightarrow 1+u \geqslant 1 \Leftrightarrow \sqrt{1+u} \geqslant 1$
т.е. $\sqrt{1+u}>0$ для $u \geqslant 0$ (10)
Напомню, что
$x=\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$.
Обозначим $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}$ через u. Обратим внимание, что это выражение больше или равно нулю, поэтому условие формулы (10) для u выполняется. Получим по формуле (10):
$x=\sqrt{1 + u}>0$, т.е. мы показали, что $x>0$ (11).
Первый способ. Итак, после предисловий мы можем обозначить искомое число за x. $x=\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$.
Чему равняется $x^2$? Как вы уже поняли, недостатком этого способа является вопрос, а почему собственно мы заинтересовались в этом...Для того чтобы посчитать $x^2$, достаточно, по определению, квадратного корня, отбросить самый внешний радикал. Получим $x^2=1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}$. Чему равняется $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}$. Посмотрите на него внимательно, чем оно отличается от $x$? Тем, что мы "отбросили" самый внешний радикал. Но, так как количество радикалов было бесконечным, то у нас и осталось столько же, а именно, бесконечно много, радикалов (см. также предисловие выше). Т.е. мы получили
$x^2=1 + x$
которое равносильно уравнению (*). А так как мы показали в (11), что $x>0$, то решение этого уравнение является число $\phi$.
Второй способ. Чему равняется $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$?
Так как сложение происходит бесконечное количество раз, то легко видеть, что мы имеем дело с фракталом, о котором я расскажу в отдельной заметке, пока же для нас достаточно того, что это выражение, обладающая самоподобия, то есть оно состоит из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Так как мы складываем бесконечное количество раз, то выражение после первого знака плюс является в точности искомым выражением. Обозначим искомое выражение за x. Тогда, имеем
$x=\sqrt{1 + x}$?
Выше в (11) мы доказали, что $x>0$, поэтому это выражение равносильно
$x^2=1 + x$
Решением последнего уравнения принимая во внимание (11) $x>0$ является положительный корень уравнения (*) или число $\phi$.
Красиво, не правда ли? В формуле есть только квадратный корень и единица, а в ответе золотое сечение, число $\phi$, содержащие $\sqrt{5}$.
Вопрос 2. Чему равняется $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$?
Я думаю, вас не удивит, если я скажу, что и это $\phi$. Здесь я приведу несколько способов доказательства (есть ещё и третий, использующий числа Фибоначчи, который и приведён в книге, я его приведу в следующей части).
Способ первый. Напомню равенство (*)
(*) $\phi^2-\phi-1=0$
Отсюда $\phi^2=\phi+1$. Разделим обе части равенства на $\phi \neq 0$ получим $\phi=1+\frac{1}{\phi}$. Как нетрудно увидеть, это по сути является рекурсивным определением $\phi$. Число $\phi$ (в левой части) определено через самого себя (в правой части). Если раскрыть рекурсию на один уровень в глубь (подставить вместо $\phi$ (в правой части) выражение ($1+\frac{1}{\phi}$), то получим $\phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\phi}}$. Отсюда, как нетрудно показать, получаем искомое выражение, которое, по построение равняется $\phi$.
Способ второй. Так как сложение происходит бесконечное количество раз, то легко видеть, что мы имеем дело с фракталом, о котором я расскажу в отдельной заметке, пока же для нас достаточно того, что это выражение, обладающая самоподобия, то есть оно состоит из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Так как мы складываем бесконечное количество раз, то выражение после первого знака плюс является в точности искомым выражением. Обозначим искомое выражение за x. Тогда, имеем $x=1+\frac{1}{x}$. Заметим, что $x>0$. Умножим обе части на x, $x \neq 0$, получим $x^2=x+1$ или $x^2-x-1=0$.
Решением последнего уравнения принимая во внимание $x>0$ является положительный корень уравнения (*) или число $\phi$.
Третьего способа здесь не будет, он будет в следующей части. Этот способ использует число Фибоначчи, я его приведу в следующей части. В книге, кстати, приведёт именно этот способ.
Удивительно! Формула с квадратными корнями и единицами определяет то же число, что и формула с делением и единицами.
Вопрос 3. Является ли число рациональным или иррациональным?
Это число не просто иррационально, оно, в некотором смысле, см. в следующей части, само иррациональное из всех иррациональных чисел. Мы докажем его иррациональность четырьмя разными способами, два из них опираются на иррациональность числа $\sqrt{5}$.
Способ первый. Выразим $\sqrt{5}$ через $\phi$. $\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$. Отсюда $\phi = \frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}$. Отсюда $\frac{\sqrt{5}}{2}= \phi - \frac{1}{2}$, отсюда $\sqrt{5}= 2(\phi - \frac{1}{2})$ или $\sqrt{5}= 2\phi - 1$ (***)
Допустим, от противного, что $\phi$ число рациональное. Докажем, что $2\phi-1$ также рациональное число. Допустим, существует такое целое m и натуральное n, что $\phi=\frac{m}{n}$, тогда $2\phi-1=2\frac{m}{n}-1=\frac{2m}{n}-\frac{n}{n}=\frac{2m-n}{n}$, таким образом $2\phi-1$ также рационально. Однако, $2\phi-1=\sqrt{5}$, а $\sqrt{5}$ иррациональное. Мы к пришли к противоречию. Значит наше допущение, что $\phi$ число рациональное было не верно, т.е. $\phi$ число иррациональное.
Это самый наглядный способ, естественно проблема в том, что надо догадаться выразить $\sqrt{5}$ через $\phi$.
Способ второй. $\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$. Мы знаем, что $\sqrt{5}$ иррационально. Допустим, от противного, что $\phi$ рационально. Тогда, если мы выразим $\sqrt{5}$ через $\phi$, таким образом, что выражение будет включать в себя только умножение и сложение рациональных чисел, тогда исходя из свойств замыкания рациональных чисел относительно операции сложения и умножения, мы получим, что $\sqrt{5}$ рационально. Распишем это более подробно.
Из (***) выше следует, что $\sqrt{5}= 2\phi - 1$. По нашему допущению, $\phi$ рационально, значит и $2\phi$ рационально (2 рационально, умножение двух рациональных чисел - рационально). Значит и $2\phi-1$ рационально ($2\phi$ рационально по доказанному, -1 - рационально, сложение двух рациональных чисел - рационально). Итак, $2\phi-1$ - рационально. Но $\sqrt{5}= 2\phi - 1$. Значит рационально и $\sqrt{5}$. Мы к пришли к противоречию. Значит наше допущение, что $\phi$ число рациональное было не верно, т.е. $\phi$ число иррациональное.
Третий способ. Не будем использовать иррациональность $\sqrt{5}$. Вспомним определение, золотого сечения. Меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Обозначим большую часть за m, а всю величину за n. Тогда меньшая часть будет m-n. Тогда получим следующую пропорцию.
$\frac{m-n}{m} = \frac{m}{n}$
или
$\frac{m}{n} = \frac{m-n}{m}$ (20)
Допустим, что $\phi$ - рациональное число. Это значит, что существуют такое целое m и натуральное n, что $\phi=\frac{m}{n}$. Такое представление не единственное, но мы можем взять сокращённую дробь, т.е. минимальное значение m и n, отношение которых даёт $\phi$ (этот минимум существует, так как речь идёт о счётном множестве). $\phi=\frac{m}{n}$.
Однако, согласно (20) $\frac{m}{n} = \frac{m-n}{m}$, где $m-n < m$. Т.е. мы можем взять ещё меньшее значения для нашей сокращённой дроби. Мы к пришли к противоречию. Значит наше допущение, что $\phi$ число рациональное было не верно, т.е. $\phi$ число иррациональное.
Четвёртого способа здесь не будет, он будет в следующей части. Для того, чтобы описать этот способ, мне надо бы сначала объяснить, что такое цепные дроби. В английской Википедии есть замечательная статья об этом http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction. В следующей части, я остановлюсь на них подробнее, и приведу доказательство.
Продолжение следует.
Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть I
Часть II. Алгебраические свойства золотого сечения.
Часть III. Числа Фибоначчи и золоте сечение.
Часть IV. Цепные дроби и золоте сечение.
Часть V. Фрактальная геометрия и золоте сечение.
Часть VI. Закон Бенфорда, или закон первой цифры.
Часть VII. Золотое сечение в природе.
Алгебраические свойства золотого сечения.
Те, кому эта часть неинтересна могут спокойно её пропустить.
Для начала повторю определение Евклида.
Ниже есть продолжение.
Допустим у вас есть отрезок. Нужно разделить его на две неравные части. Обозначим длину большей части за a, длину меньшей части за b. Тогда длина заданного отрезка будет a+b. Так вот, нужно разделить наш отрезок таким образом, чтобы длина всего отрезка (a+b) относилась к длине большей части (a) так, как длина большей части a относится к длине меньшей части b.
Получаем пропорцию:
$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$
Отсюда (умножаем "крест на крест" или "умножаем обе части на $a*b$):
$ab+b^2=a^2$
Делим обе части на $b^2$. В школе я помню, я во-первых, не оценил всю прелесть этого приёма, во-вторых, мне было непонятно как до этого додумались. Поэтому объясню, двумя разными способами.
Первый способ. Наша задача решить это уравнение относительно $\phi=\frac{a}{b}$, значение этого выражение (которое будет равняться также значению выражения $\frac{a+b}{a}$) и определит "золотое сечение". Т.е. нам нужно сделать такую "трансформацию", которая "выделит" из $ab$ форму $\frac{a}{b}$, из $b^2$ форму $\frac{a}{b}$ и из $a^2$ форму $\frac{a}{b}$. Например, если мы получим выражение $\frac{a^n}{b^n}$, то оно может быть переписано как $(\frac{a}{b})^n=\phi^n$. Если мы получим число $k$, оно также имеет форму $\frac{a}{b}$ (это $k*(\frac{a}{b})^0=k*\phi^0$. Очевидно, что мы должны получить в знаменателе $b$, поэтому мы должны как минимум разделить обе части на $b$. Но тогда получим $a+b=\frac{a^2}{b}$. В левой части мы видим, что "недоделили" (знаменатель так и "не появился"), а в правой части нам не хватает ещё одного b в знаменателе. Тогда мы можем попробовать поделить ещё раз на $b^2$ и получим
Таким образом
$(\frac{a}{b})^2 = \frac{a}{b}+1$
Второй способ. Конечно, можно было заметить, что мы имеем однородное уравнение относительно $a$ и $b$. Однородное уравнение решается путём введения новой переменной, $u=\frac{a}{b}$ либо $v=\frac{b}{a}$. Возникает два вопроса:
а) как из решение получившегося алгебраического уравнения перейти к решению нашей задачи (нахождения числа $\phi$).
б) какую из этих двух замен предпочесть.
Если мы ещё раз посмотрим, мы увидим, что собственно $\phi=\frac{a}{b}=u$ ($v=1/ \phi$). "Проще" сделать первую замену, т.к. получившееся решение сразу даст нам искомое число $\phi$. Впрочем можно сделать и вторую замену, а затем находить $\phi=1/v$.
Итак, мы получили
$(\frac{a}{b})^2 = \frac{a}{b}+1$
Обозначим $\phi=\frac{a}{b}$, получим
$\phi^2-\phi-1=0$ (*)
$\frac{a}{b}=\phi_{1,2}=\frac{1\mp \sqrt{5} }{2}$
Так вот положительный корень, $\frac{1+ \sqrt{5} }{2}$, и будет "золотым сечением", т.е. $\frac{a}{b}$, т.е. отношением длины большей части a к длине меньшей части b или, что тоже самое отношение длины всего отрезка (a+b) к длине большей части (a).
Далее, я нарушу хронологический ход повествования, вместо этого я расскажу о замечательных свойствах этого числа, а затем я добавлю ещё пару интересных моментов, как, например, уже упомянутый выше закон Бенфорда.
Напомню, что для числа формы $a+b\sqrt{r}$ сопряжённым числом называют число $a-b\sqrt{r}$. Согласно этому определённую "дважды сопряженное число" или число, которое сопряженное с числом, которое в свою очередь сопряжено с числом, равняется этому числу. В самом деле, если мы имеем число $a+b\sqrt{r}$, его сопряжённое число будет, согласно определению, $a-b\sqrt{r}$. "Дважды сопряженным числом", т.е. числом которое получится после сопряжения числа $a-b\sqrt{r}$ будет $a+b\sqrt{r}$. В самом деле, $a-b\sqrt{r}=a+(-b)\sqrt{r}$ По определению, сопряжённая форма этого числа будет $a-(-b)\sqrt{r}=a+b\sqrt{r}$, т.к. $-(-b)=b$.
Таким образом, второй корень уравнения (*) является число, сопряжённое с $\phi$.
Далее, на лекциях в университете, обычно говорят, давайте, мол, смеха ради, посчитаем, чему равняется $\frac{1}{\phi}$. Мы непременно сделаем и это, но я бы всё-таки пошёл бы другим путём.
Что нам дают сопряжённые числа? При помощи них легко избавится от радикалов в знаменателе (это нужно делать, чтобы уменьшить погрешность вычисления). Пример:
$\frac{1}{(3+3\sqrt{2})} = \frac{1}{(3+3\sqrt{2})} * \frac{(3-3\sqrt{2})}{(3-3\sqrt{2})}=\frac{3-3\sqrt{2}}{(3+3\sqrt{2})(3-3\sqrt{2})} =\frac{3-3\sqrt 2}{3^2-3^2*2}=\frac{3-3\sqrt 2}{9-18}=\frac{3-3\sqrt 2}{-9}=$
$=\frac{-1+1\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}-1}{3}$
Т.е. стандартный приём состоит в том, чтобы умножить и разделить сопряжённый знаменателю множитель ("умножить на единицу"), тогда в знаменателе у нас появится выражения формы $(a+b\sqrt{r})*(a-b\sqrt{r}$, как в примере выше, это было $(3+3\sqrt{2})(3-3\sqrt{2})$ и тогда, применив формулу сокращённого умножения $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, мы получим в знаменателе целое число $a^2-b^2*r$, $3^2-3^2*2$ в приведённом выше примере.
Итак, мы хотим выразить число сопряжённые с ${\phi}$ через ${\phi}$. Напомню, что число сопряжённое с числом, которое в свою очередь сопряженно с ${\phi}$, "дважды сопряжённое число", будет ${\phi}$. Поэтому, для этого мы умножим и разделим сопряженно с ${\phi}$ число на ${\phi}$, а затем по другому сгруппируем числа, получим:
$\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{(1-\sqrt{5})}{2}*\frac{phi}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}*\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}*\frac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=$
$=\frac{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{2*(1+\sqrt{5})}=\frac{1-5}{2}*\frac{2}{1+\sqrt{5}}*\frac{1}{2}=-\frac{2}{1+\sqrt{5}}=-\frac{1}{\phi}$.
Таким образом, сопряжённое с ${\phi}$ число равняется $-\frac{1}{\phi}$.
Я думаю, вы догадались, как можно было по-другому получить этот же результат.
$\frac{1}{\phi}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}*\frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=$
$=\frac{2*(1-\sqrt{5})}{1-5}=\frac{2*(1-\sqrt{5})}{-4}=-\frac{(1-\sqrt{5})}{2}$ и отсюда
$\frac{(1-\sqrt{5})}{2}=-\frac{1}{\phi}.$
Можно ли упростить выражение $-\frac{1}{\phi}$? Оказывается можно и опять-таки можно сделать это, по меньшей мере тремя способами. Продемонстрирую все три способа.
Способ первый. Мы получили выше, что $-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (1)
По определению, $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Мы можем отсюда выразить $\sqrt{5}$ через $\phi$, а затем подставить это выражение в (1). Имеем,
$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}$. Умножим обе части на 2 получим:
$2\phi=1+\sqrt{5}$, откуда $\sqrt{5}=2\phi-1$ (***). Подставим это в (1) получим
$-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{1-(2\phi-1)}{2}=\frac{1-2\phi+1}{2}=\frac{2-2\phi}{2}=1-\phi$
Таким образом, $\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\phi}=1-\phi$ (2)
В частности отсюда, $-\frac{1}{\phi}=1-\phi$ (3).
Второй способ. Напомню, мы хотим упростить выражение $-\frac{1}{\phi}$. Напомню, уравнение (*) $\phi^2-\phi-1=0$ положительный корень которого и есть $\phi$. Итак,
$\phi^2-\phi-1=0$
Отсюда
$1=\phi^2-\phi=0$
Разделим обе части уравнение на число $-\phi$ ($-\phi \neq 0)$ получим
$-\frac{1}{\phi}=-\phi+1$
или
$-\frac{1}{\phi}=1-\phi$
что является уравнением (3) выше.
Напомню, что $-\frac{1}{\phi}$ это число сопряжённое с $\phi$. Таким образом, чтобы посчитать сопряжённое с $\phi$ число надо от 1 единицы отнять $\phi$.
Из уравнение (3) следует
$\frac{1}{\phi}=\phi-1$
т.е. чтобы посчитать число обратное числу $\phi$, нужно от $\phi$ отнять 1.
Есть ли у вас идея как посчитать квадрат числа $\phi$? Очевидно, это будет опять какая-то комбинация $\phi$ и 1, а так как мы уже отнимали от $\phi$ единицу и от единицы отнимали $\phi$, то логично предположить, что на этот раз, нам нужно будет их сложить. :-)
В самом деле, уравнение (*) гласит $\phi^2-\phi-1=0$, откуда $\phi^2=\phi+1$. Т.е. чтобы подсчитать квадрат числа $\phi$ нам надо к $\phi$ прибавить 1.
При этом интересно заметить, если бы поставили обратную задачу, а именно, найти все такие числа, квадрат каждого равняется это число плюс один, ответом было $\phi$ и сопряжённое с $\phi$ число. В самом деле, задача просить по сути решить уравнение:
$x^2=x+1$
которое равносильно уравнению (*).
Итак, напомню
(*) $\phi^2-\phi-1=0$
откуда
(**) $\phi^2=\phi+1$
А можно ещё и так.
Способ третий. Обозначим число, сопряжённое с ${\phi}$ через сопряжённое с ${\theta}$. Тогда, по теореме Виета из (*) следует:
${\phi*\theta=-1}$
${\phi+\theta=1}$
Из первого уравнение следует, ${\theta=-\frac{1}{\phi}}$, где ${\theta}$ - число, сопряжённое с ${\phi}$.
Можно ли упростить выражение $-\frac{1}{\phi}$?
Из того второго уравнение выше следует ${\theta=1-\phi}$.
Вопрос 1. Чему равняется $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$
Ниже я отвечу на этот вопрос, пока вы думаете я лишь замечу, не будем заострят внимания на том, корректно ли определена формула, наличие трёх точек в конце подразумевает, быть может, бесконечный процесс написание формулы (можно это переформулировать корректно), не будем также заострят внимание на том, сходится ли этот предел последовательности. Нашли ответ? Подумайте, я ведь не просто так, задал этот вопрос посреди заметки о золотом сечении. :-)
Решим мы этот вопрос, по, уже ставшей традицией, двумя способами.
Но, для начала покажем, что $x>0$. $\sqrt{u} \geqslant 0 $. Более того $\sqrt{1+u} >= 1 $ для любого $u \geqslant 0$. В самом деле
$u \geqslant 0 \Leftrightarrow 1+u \geqslant 1 \Leftrightarrow \sqrt{1+u} \geqslant 1$
т.е. $\sqrt{1+u}>0$ для $u \geqslant 0$ (10)
Напомню, что
$x=\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$.
Обозначим $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}$ через u. Обратим внимание, что это выражение больше или равно нулю, поэтому условие формулы (10) для u выполняется. Получим по формуле (10):
$x=\sqrt{1 + u}>0$, т.е. мы показали, что $x>0$ (11).
Первый способ. Итак, после предисловий мы можем обозначить искомое число за x. $x=\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$.
Чему равняется $x^2$? Как вы уже поняли, недостатком этого способа является вопрос, а почему собственно мы заинтересовались в этом...Для того чтобы посчитать $x^2$, достаточно, по определению, квадратного корня, отбросить самый внешний радикал. Получим $x^2=1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}$. Чему равняется $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}$. Посмотрите на него внимательно, чем оно отличается от $x$? Тем, что мы "отбросили" самый внешний радикал. Но, так как количество радикалов было бесконечным, то у нас и осталось столько же, а именно, бесконечно много, радикалов (см. также предисловие выше). Т.е. мы получили
$x^2=1 + x$
которое равносильно уравнению (*). А так как мы показали в (11), что $x>0$, то решение этого уравнение является число $\phi$.
Второй способ. Чему равняется $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$?
Так как сложение происходит бесконечное количество раз, то легко видеть, что мы имеем дело с фракталом, о котором я расскажу в отдельной заметке, пока же для нас достаточно того, что это выражение, обладающая самоподобия, то есть оно состоит из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Так как мы складываем бесконечное количество раз, то выражение после первого знака плюс является в точности искомым выражением. Обозначим искомое выражение за x. Тогда, имеем
$x=\sqrt{1 + x}$?
Выше в (11) мы доказали, что $x>0$, поэтому это выражение равносильно
$x^2=1 + x$
Решением последнего уравнения принимая во внимание (11) $x>0$ является положительный корень уравнения (*) или число $\phi$.
Красиво, не правда ли? В формуле есть только квадратный корень и единица, а в ответе золотое сечение, число $\phi$, содержащие $\sqrt{5}$.
Вопрос 2. Чему равняется $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$?
Я думаю, вас не удивит, если я скажу, что и это $\phi$. Здесь я приведу несколько способов доказательства (есть ещё и третий, использующий числа Фибоначчи, который и приведён в книге, я его приведу в следующей части).
Способ первый. Напомню равенство (*)
(*) $\phi^2-\phi-1=0$
Отсюда $\phi^2=\phi+1$. Разделим обе части равенства на $\phi \neq 0$ получим $\phi=1+\frac{1}{\phi}$. Как нетрудно увидеть, это по сути является рекурсивным определением $\phi$. Число $\phi$ (в левой части) определено через самого себя (в правой части). Если раскрыть рекурсию на один уровень в глубь (подставить вместо $\phi$ (в правой части) выражение ($1+\frac{1}{\phi}$), то получим $\phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\phi}}$. Отсюда, как нетрудно показать, получаем искомое выражение, которое, по построение равняется $\phi$.
Способ второй. Так как сложение происходит бесконечное количество раз, то легко видеть, что мы имеем дело с фракталом, о котором я расскажу в отдельной заметке, пока же для нас достаточно того, что это выражение, обладающая самоподобия, то есть оно состоит из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Так как мы складываем бесконечное количество раз, то выражение после первого знака плюс является в точности искомым выражением. Обозначим искомое выражение за x. Тогда, имеем $x=1+\frac{1}{x}$. Заметим, что $x>0$. Умножим обе части на x, $x \neq 0$, получим $x^2=x+1$ или $x^2-x-1=0$.
Решением последнего уравнения принимая во внимание $x>0$ является положительный корень уравнения (*) или число $\phi$.
Третьего способа здесь не будет, он будет в следующей части. Этот способ использует число Фибоначчи, я его приведу в следующей части. В книге, кстати, приведёт именно этот способ.
Удивительно! Формула с квадратными корнями и единицами определяет то же число, что и формула с делением и единицами.
Вопрос 3. Является ли число рациональным или иррациональным?
Это число не просто иррационально, оно, в некотором смысле, см. в следующей части, само иррациональное из всех иррациональных чисел. Мы докажем его иррациональность четырьмя разными способами, два из них опираются на иррациональность числа $\sqrt{5}$.
Способ первый. Выразим $\sqrt{5}$ через $\phi$. $\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$. Отсюда $\phi = \frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}$. Отсюда $\frac{\sqrt{5}}{2}= \phi - \frac{1}{2}$, отсюда $\sqrt{5}= 2(\phi - \frac{1}{2})$ или $\sqrt{5}= 2\phi - 1$ (***)
Допустим, от противного, что $\phi$ число рациональное. Докажем, что $2\phi-1$ также рациональное число. Допустим, существует такое целое m и натуральное n, что $\phi=\frac{m}{n}$, тогда $2\phi-1=2\frac{m}{n}-1=\frac{2m}{n}-\frac{n}{n}=\frac{2m-n}{n}$, таким образом $2\phi-1$ также рационально. Однако, $2\phi-1=\sqrt{5}$, а $\sqrt{5}$ иррациональное. Мы к пришли к противоречию. Значит наше допущение, что $\phi$ число рациональное было не верно, т.е. $\phi$ число иррациональное.
Это самый наглядный способ, естественно проблема в том, что надо догадаться выразить $\sqrt{5}$ через $\phi$.
Способ второй. $\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$. Мы знаем, что $\sqrt{5}$ иррационально. Допустим, от противного, что $\phi$ рационально. Тогда, если мы выразим $\sqrt{5}$ через $\phi$, таким образом, что выражение будет включать в себя только умножение и сложение рациональных чисел, тогда исходя из свойств замыкания рациональных чисел относительно операции сложения и умножения, мы получим, что $\sqrt{5}$ рационально. Распишем это более подробно.
Из (***) выше следует, что $\sqrt{5}= 2\phi - 1$. По нашему допущению, $\phi$ рационально, значит и $2\phi$ рационально (2 рационально, умножение двух рациональных чисел - рационально). Значит и $2\phi-1$ рационально ($2\phi$ рационально по доказанному, -1 - рационально, сложение двух рациональных чисел - рационально). Итак, $2\phi-1$ - рационально. Но $\sqrt{5}= 2\phi - 1$. Значит рационально и $\sqrt{5}$. Мы к пришли к противоречию. Значит наше допущение, что $\phi$ число рациональное было не верно, т.е. $\phi$ число иррациональное.
Третий способ. Не будем использовать иррациональность $\sqrt{5}$. Вспомним определение, золотого сечения. Меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Обозначим большую часть за m, а всю величину за n. Тогда меньшая часть будет m-n. Тогда получим следующую пропорцию.
$\frac{m-n}{m} = \frac{m}{n}$
или
$\frac{m}{n} = \frac{m-n}{m}$ (20)
Допустим, что $\phi$ - рациональное число. Это значит, что существуют такое целое m и натуральное n, что $\phi=\frac{m}{n}$. Такое представление не единственное, но мы можем взять сокращённую дробь, т.е. минимальное значение m и n, отношение которых даёт $\phi$ (этот минимум существует, так как речь идёт о счётном множестве). $\phi=\frac{m}{n}$.
Однако, согласно (20) $\frac{m}{n} = \frac{m-n}{m}$, где $m-n < m$. Т.е. мы можем взять ещё меньшее значения для нашей сокращённой дроби. Мы к пришли к противоречию. Значит наше допущение, что $\phi$ число рациональное было не верно, т.е. $\phi$ число иррациональное.
Четвёртого способа здесь не будет, он будет в следующей части. Для того, чтобы описать этот способ, мне надо бы сначала объяснить, что такое цепные дроби. В английской Википедии есть замечательная статья об этом http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction. В следующей части, я остановлюсь на них подробнее, и приведу доказательство.
Продолжение следует.
Monday, December 27, 2010
Израиль. Итоги 2010 года
Ниже есть продолжение.
http://txt.newsru.co.il/israel/27dec2010/itogi_goda_102.html
В течение всего минувшего года администрация США оказывала давление на Израиль, добиваясь создания условий для возобновления мирных палестино-израильских переговоров. Правительство Израиля проголосовало в конце прошлого года за мораторий на строительство в еврейских поселениях Иудеи и Самарии. Эта уступка позволила Вашингтону организовать несколько встреч израильских и палестинских лидеров. Однако переговорный процесс так и не сдвинулся с мертвой точки.
В этом году Израиль добивался введения жестких санкций против Ирана, в связи с отказом Тегерана подчиниться требованиям международного сообщества и заморозить свою ядерную программу. Санкции СБ ООН против Ирана были ужесточены. Но в Иерусалиме по-прежнему их считают недостаточными. Одним из следствий ужесточения санкций стал отказ России поставлять иранцам зенитно-ракетные комплексы С-300. В то же время, Россия завершила строительство Бушерской АЭС, которая была сдана в этом году в эксплуатацию.
Отношения с Ливаном и Сирией не улучшались в течение года. Летом в результате пограничного инцидента на ливано-израильской границе погибли несколько военнослужащих с обеих сторон. По оценке израильской разведки, несмотря на резолюции ООН, "Хизбалла" продолжала наращивать свой ракетный потенциал. Сирия достигла соглашения с Россией о поставках новых вооружений. Иерусалим и Дамаск в 2010-м году обменивались заявлениями угрожающего характера.
Вырос за истекший год и ракетный потенциал палестинской террористической организации ХАМАС в секторе Газы. Власти Египта не создали эффективной системы предотвращения контрабанды вооружений в Газу. Но интенсивность ракетных обстрелов из Газы в этом году была заметно ниже, чем за последние годы: на израильской территории разорвались за год около 100 ракет – подобной низкой интенсивности не фиксировалось с 2003-го года. В то же время, во второй половине года возросла интенсивность минометных обстрелов из сектора. Израильский военнослужащий Гилад Шалит, захваченный палестинскими боевиками летом 2006 года, до сих пор остается в плену.
Палестинские террористы в минувшем году активизировались на территории Иудеи и Самарии. Жертвами нападений палестинских террористов в 2010-м году стали восемь израильтян (шестеро из них погибли в Иудее и Самарии, четверо были гражданскими лицами). Число террористических нападений снизилось за последнее время.
В январе, после ликвидации в Дубаи координатора ХАМАС, возникли осложнения в отношениях Израиля с рядом западных стран, паспорта которых использовались в ходе операции.
В мае-июне этого года одной из главных тем, обсуждавшихся мировыми СМИ, был перехват израильскими военно-морскими силами "флотилии мира", следовавшей в сторону сектора Газы с целью прорыва морской блокады. Данный инцидент привел к фактическому разрыву отношений между Израилем и Турцией. Однако на фоне резкого ухудшения отношений с Анкарой правительство Израиля добилось заметного улучшения отношений с Грецией.
Удалось наладить военно-техническое сотрудничество между Израилем и Россией. В этом году первые партии израильских БПЛА были поставлены российским силовым структурам, кроме того, начались работы по налаживанию совместного производства беспилотной техники. По всей видимости, можно говорить об улучшении отношений между двумя странами. За минувший год состоялись несколько важных визитов. В частности, в феврале Нетаниягу официально посетил Москву. В январе 2011-го в Иерусалиме ждут Медведева.
Еще одним проявлением российско-израильского сотрудничества стало участие авиации МЧС РФ в тушении крупного лесного пожара на Кармеле. В этой операции были задействованы противопожарные силы еще 14 стран. В адрес правительства – прежде всего, МВД – в связи с бедственным состоянием израильской пожарной службы было высказано множество критических замечаний.
Много критики в минувшем году звучало в адрес полиции и министерства внутренней безопасности. В частности, это было связано с заметным ростом числа криминальных убийств в Израиле.
Министерство туризма Израиля, напротив, может считать минувший год удачным. Был установлен очередной рекорд посещаемости нашей страны иностранными туристами. После отмены виз с Украиной ожидается приток новых туристов из этой страны.
Министерству строительства, министерству финансов и Банку Израиля не удалось создать условий для снижения темпов роста цен на жилье. Стоимость квартир в Израиле продолжает расти. Резко возросли цену на воду.
Министерство связи в этом году подготовило реформы рынка мобильных операторов. В скором времени планируется реформа телевещания.
В 2010-м было отмечено снижение уровня безработицы. Страна вышла из экономического кризиса 2009-го года, преодолев его менее болезненно, чем другие развитые государства.
В течение всего года правительство подвергалось резкой критике со стороны оппозиции. Поводом для критики были не только описанные выше критические ситуации, но также затягивание решения проблем гражданских браков, армейских гиюров и т.д.
http://txt.newsru.co.il/israel/27dec2010/itogi_goda_102.html
Народный банк Китая повысил процентные ставки
В минувшую субботу Народный банк Китая повысил базовые процентные ставки на четверть процентного пункта, стремясь ограничить рост инфляции...
Ставка рефинансирования была повышена до 5,81% годовых, депозитная ставка - до 2,75%. Китайские власти пошли на увеличение процентных ставок во второй раз за последние три месяца. Эксперты связывают повышение стоимости кредитов ЦБ с желанием властей ограничить приток ликвидности, стимулирующей рост цен на товары, сырье и недвижимость.
...В 2011 году ВВП Китая должен вырасти по сравнению с 2010 годом на 8%, уровень инфляции составит около 4%, заявил на прошлой неделе председатель Госкомитета КНР по развитию и реформам Чжан Пин.
Между тем в ноябре 2010 года темпы роста индекса потребительских цен в Китае достигли рекордного за последние 28 месяцев уровня в 5,1% в годовом выражении, превысив уровень октября на 1,1 процентного пункта. Правительство планировало удержать рост потребительских цен в этом году на уровне 3%, но за 11 месяцев рост цен уже составил 3,2%.
http://txt.newsru.com/arch/finance/27dec2010/china.html
[22 декабря] Citigroup предупреждает о банковских крахах и суверенных дефолтов в Европе
Citigroup предупреждает об угрозе новой волны банковских крахов и суверенных дефолтов в Европе, если лидеры ЕС не выработают эффективные методы борьбы с кризисом...Главный экономист банка Виллем Буйтер заявил, что еврозона парализована игрой на «слабо»: Европейский Центральный банк и правительства европейского валютного союза берут друг друга на испуг...
Обе стороны пытаются переложить друг на друга поддержку стран южной Европы и Ирландии, что увеличивает риск распространения долгового «заражения». «Рынок не собирается ждать до марта, когда власти ЕС соберутся действовать сообща. Мы можем получить обвал нескольких суверенных государств и банков. Они сейчас слишком легкомысленны», — заявил...экономист Citigroup.
Кредитный стратег Citigroup Global Markets Марк Шофилд считает, что Португалии уже в скором времени понадобится спасительная помощь от ЕС, и «крайне вероятно, что Испании придется пойти этим же путем». Это может превысить €440-миллиардный стабилизационный европейский фонд. «Реструктуризация некоторых суверенных долгов неизбежна. Есть шанс, что Испания может пойти на это, но долговая траектория выглядит нежизнеспособной, если не будет найдено общеевропейское решение», — заявил Шофилд.
Боб Даймонд, исполнительный директор Barclays с 2011 года, заявил..., что есть высокая вероятность того, что одна или несколько стран будут вынуждены выйти из еврозоны, несмотря на сохранение валютного союза другими его участниками.
Ниже есть продолжение.
...Накануне рейтинговое агентство Moody’s предупредило о возможном снижении рейтинга Португалии с A1 на одну или две ступени. Впрочем, Moody’s заявило, что платежеспособность этой страны не вызывает вопросов. Fitch Ratings, в свою очередь, поставило долгосрочный рейтинг Греции BBB- в список на пересмотр с негативным прогнозом.
...как указывает Брутон, проблемы ирландской банковской системы, которые вынудили страну взять помощь от ЕС, говорят о системных проблемах всей еврозоны. «Например, ирландские банки должны 113 млрд евро германским банкам, 107 млрд евро британским банкам и большие суммы бельгийским банкам. Если ошибка была в том, что ирландские банки заимствовали эти деньги, то ошибку сделали и те, кто их дал в долг. Кредитование банков регулируется их странами, а не Ирландией», — рассуждает бывший премьер-министр Ирландии.
Виллем Буйтер из Citigroup заявил, что у ЕЦБ есть нематериальные активы на 2–4 трлн евро для выпуска денег и вмешательства в более существенных масштабах, но такие действия размыли бы денежно-кредитную и фискальную политику. «Это стало бы проклятием для Германии», — пишет британское издание.
«Германские политики рассматривают монетизацию суверенного долга как дорогу в Веймар», — считает Виллем Буйтер. ЕЦБ уверен, что предпринятая им скупка облигаций «стерилизует» рынки, а не стимулирует их или проводит количественное смягчение.
По мнению главного экономиста Citigroup, значительная часть западного мира стоит перед фискальным кризисом. Динамика японских долговых обязательств находится в переломном моменте, на котором долговая эмиссия превышает внутренние сбережения, заставляя обращаться к иностранным инвесторам за фондированием. «Кто захочет покупать облигации страны, где долг составляет 220% ВВП при безрисковой ставке в 1,25%», — задается вопросом Буйтер.
Кроме того, США также отягощены долгами, как и любая европейская страна, что делает их крайне уязвимыми в случае, если доходность казначейских облигаций США продолжит расти. «Госдолг США уже составляет 93% ВВП, но если вы будете учитывать долги Fannie и Freddie [ипотечные гиганты], он достигнет 130%, что равносильно Греции, — рассуждает экономист Citigroup. — Это всего лишь вопрос времени, когда рынки обратят внимание на США».
http://txt.newsru.com/arch/finance/22dec2010/euro.html
http://www.bfm.ru/articles/2010/12/22/evrozona-citigroup.html
[21 декабря] Moody's готовится понизить рейтинги Португалии
...Предупреждение от Moody's поступило меньше чем через неделю после того, как агентство заявило, что вскоре намерено понизить рейтинг Испании...
http://txt.newsru.com/finance/21dec2010/moodys.html
Холодные и снежные зимы будут повторяться в Западной Европе еще десять лет
Наблюдаемое в настоящее время похолодание в Западной Европе, вероятно, вызвано климатическим процессом, который может продлиться пять-десять лет. Об этом...заявил британский метеоролог, профессор Дэвид Кинг.
Ниже есть продолжение.
"Такой период длится от пяти до десяти лет, с экстремально холодными зимами и жарким летом, и если мы вступили в подобный период, мой совет - подготовиться к нему как следует", - сказал профессор.
"Так называемые северо-атлантические колебания, то есть различие в давлении между антициклоном над Азорскими островами и зоной депрессии над Исландией, являются хорошо известным климатическим феноменом, объясняющим наступление жаркого лета и холодной зимы в Европе", - рассказал...бывший научный советник британского правительства.
"Частота этого колебания изменяется, что делает его трудно прогнозируемым, но в последний раз такой климатический режим низкого давления наблюдался в 1960-е годы", - отметил он.
Как сообщалось, в этом году приход зимы в Западную Европу сопровождался значительным снижением температур и обильными снегопадами, которые привели к перебоям в работе транспорта.
Министр транспорта Великобритании Филип Хаммонд ранее заявил, что проведет консультации с учеными о том, могут ли повториться холодные зимы в Британии в дальнейшем и необходимы ли в связи с этим долгосрочные инвестиции.
http://txt.newsru.com/arch/world/22dec2010/coldwinter.html
Для Египта Судан - это ключ к водам Нилам
Форматирование моё.
Ниже есть продолжение.
http://www.rian.ru/world/20101221/311634092.html
http://www.izvestia.ru/news/news261253
http://www.zman.com/news/2010/12/03/89682.html
http://www.bbc.co.uk/russian/rolling_news/2010/12/101203_rn_sudan_israel.shtml
http://izrus.co.il/dvuhstoronka/article/2010-12-16/12818.html
В разных статьях приведена разная дата проведения референдум 9 или 11 января, это не опечатка.
...Египет и Ливия рассматривают Судан как стратегически важную для них страну и заинтересованы в мирном развитии ситуации после проведения референдума, опасаясь массового исхода суданских беженцев на их территорию в случае начала новой войны.
Кроме того, Каир боится, что будущий независимый Южный Судан может попасть под влияние других стран бассейна Нила, в частности Эфиопии, которая считает, что квота Египта на взимание воды из Нила несправедлива, и ее надо уменьшить.
...В прошлом Египет неоднократно угрожал войной любой стране, которая попытается отвести воды у истоков Нила...
Ниже есть продолжение.
...Египет, большая часть 80-миллионного населения которого живет в дельте Нила, опасается, что непредсказуемое государство в Южном Судане присоединится к группе африканских государств – Кении, Уганде и Эфиопии, имеющих виды на нильскую воду.
Эти африканские страны считают, что договор колониальной эпохи, согласно которому Египет получал большую часть воды Нила, был нечестным.
Многие считают, что вопрос дележа Нила намного важнее, чем нефтяные месторождения, которые достанутся новому государству в Южном Судане.
...15 декабря с шестидневным визитом в Израиль прибыл спецпредставитель президента России по Судану и председатель комитета Совета Федерации по международным делам Михаил Маргелов...российский гость ездил на негласную встречу с некими представителями руководства Южного Судана, которые в настоящее время находятся в Израиле. По мнению израильтян, эти контакты спецпредставителя российского президента по Судану были связаны с запланированным на 9 января референдумом по вопросу о самоопределении южан (христиан и язычников, выступающих за независимость от мусульманского севера). Маргелов, в качестве официального представителя России активно участвует в международных усилиях по достижению мирного урегулирования в Судане и в этой связи тесно взаимодействует в том числе с представителями официального Каира...
...в прошлом месяце суданская проблематика обсуждалась на переговорах главы МИД Израиля Авигдора Либермана с шефом Михаила Маргелова по Совету Федерации – Сергеем Мироновым. Руководитель дипломатического ведомства заявил тогда, что считает Судан одним из главных очагов региональной напряженности. Он отметил, что противоборствующие стороны готовятся не столько к референдуму 11 января, сколько к возобновлению гражданской войны. По мнению Либермана, это может негативно отразиться на ситуации в соседнем Египте, водоснабжение которого зависит от Судана, а также привести к увеличению потока беженцев в Израиль.
http://www.rian.ru/world/20101221/311634092.html
http://www.izvestia.ru/news/news261253
http://www.zman.com/news/2010/12/03/89682.html
http://www.bbc.co.uk/russian/rolling_news/2010/12/101203_rn_sudan_israel.shtml
http://izrus.co.il/dvuhstoronka/article/2010-12-16/12818.html
В разных статьях приведена разная дата проведения референдум 9 или 11 января, это не опечатка.
[23 декабря] Сенат США одобрил ратификацию нового договора с Россией по СНВ
Сенат США проголосовал за ратификацию нового договора с Россией по СНВ. В поддержку соглашения высказался 71 сенатор, 26 – проголосовали "против"...
Ниже есть продолжение.
...резолюция не является частью договора, а представляет собой одностороннее политическое заявление. Сенатским демократам удалось отстоять относительно нейтральный характер сопутствующей резолюции, несмотря на наличие в ней утверждения, что новый договор не накладывает ограничений на создание систем американской ПРО. В документ американские сенаторы включили ряд поправок. Одна из них требует от президента США подтверждения своих обязательств осуществить модернизацию ядерной триады страны. Во второй указывается на необходимость проведения переговоров с Россией об устранении диспаритета в тактических ядерных вооружениях.
Положения резолюции не имеют статуса международного соглашения и не носят обязательного характера для России, она принимается всегда при рассмотрении сенатом документов такого уровня. За основу нынешнего документа была взята резолюция, принятая комитетом по международным отношениям при утверждении договора в сентябре... резолюция является для сената возможностью выразить свое мнение и выделить собственные приоритеты. По ее словам, часто ход дебатов может дать представление о том, какие мнения будут содержаться в резолюции.
В сентябре при утверждении договора членами комитета по международным делам сенаторы приняли резолюцию, в которую по настоянию республиканцев были включены фразы о том, что соглашение по СНВ не накладывает ограничений на США в области создания систем ПРО, разработки ракетных вооружений большой дальности с неядерными боеголовками, а также о том, что администрация США обязуется уделять внимание модернизации американского ядерного потенциала. Эта резолюция, как и принятая накануне, не накладывают на РФ каких-либо обязательств и не меняет смысл положений договора, подчеркнула Геттемюллер. Как отметила замгоссекретаря, каких-либо новых обязательств для любой из сторон договора резолюция не предусматривает...
...Как подчеркнула замгоссекретаря, США не намерены развивать свою противоракетную систему таким образом, чтобы она создала угрозу ракетному потенциалу России...По словам Геттемюллер, напротив, США планируют развивать сотрудничество с Россией по ПРО, что подтвердил саммит НАТО в Лиссабоне. Как отметила замгоссекретаря, каждая из сторон имеет право на выход из договора СНВ, что закреплено соответствующими статьями соглашения.
Замгоссекретаря напомнила, что вокруг текста резолюции и самого соглашения все последние недели шли ожесточенные дебаты. В частности, в последние несколько дней сенаторы-демократы при поддержке администрации отклонили при голосованиях в сенате несколько поправок, которые могли бы изменить характер соглашения. Администрация США самым внимательным образом изучит ратификационную резолюцию Госдумы, если таковая будет принята, пообещала Геттемюллер...
...После ратификации запускается обратный отсчет 60 дней, по истечении которого стороны получают право начать инспекционную деятельность в рамках Договора. Во время этого подготовительного двухмесячного периода стороны должны обменяться данными о своих стратегических ядерных силах, а также начать планировать первые инспекции.
...новый ДСНВ рассчитан на 10 лет. Документ был подписан в Праге 8 апреля 2010 года президентами США и РФ Бараком Обамой и Дмитрием Медведевым. Договор предусматривает, что у каждой из сторон останется по 1550 оперативно развернутых ядерных боеголовок. Кроме того, стороны договорились ограничиться 700 стратегическими носителями ядерного оружия - межконтинентальными баллистическими ракетами, баллистическими ракетами на подводных лодках и бомбардировщиками, которые находились бы на боевом дежурстве.
По сравнению с московским договором 2002 года, стороны договорились сократить суммарное количество боезарядов на треть - до 1,55 тысяч. Россия и США также более чем в два раза понизят предельный уровень для развернутых и неразвернутых стратегических носителей - до 800.
http://txt.newsru.co.il/arch/world/24dec2010/snv_605.html
http://txt.newsru.com/arch/world/22dec2010/snv_end.html
http://txt.newsru.com/arch/world/23dec2010/snv_2.html
ОФициальный текст договора на русском http://news.kremlin.ru/ref_notes/512
ОФициальный текст договора на английском http://www.whitehouse.gov/blog/2010/04/08/new-start-treaty-and-protocol Прямая ссылка на PDF http://www.state.gov/documents/organization/140035.pdf
[21 декабря] Ашкенази: танк в Газе был подбит российским "Корнетом"
Противотанковая ракета Cornet попала в танк ЦАХАЛа в секторе Газы. Как сообщил начальник генштаба Габи Ашкенази, этот инцидент произошел две недели назад [6 декабря], и это был первый инцидент подобного рода...Как отметил начальник генштаба, речь идет о тяжелой ракете, одной из самых опасных в нашем регионе...
По словам, начальника генштаба, "ракета пробила броню танка, однако по счастью не разорвалась и не привела к пострадавшим".
....Противотанковый ракетный комплекс (ПТРК) российского производства доказал свою эффективность в ходе Второй ливанской войны. Именно "Корнет" и другие противотанковые средства "Хизбаллы" стали причиной основных потерь ЦАХАЛа в ходе военных действий лета 2006 года. К боевикам ракеты попали через Сирию...
http://txt.newsru.co.il/arch/mideast/21dec2010/gaza_a201.html
http://cursorinfo.co.il/news/novosti/2010/12/21/raketa/
Генералы ЦАХАЛа предупредили о возвращении в сектор Газы
Ситуация на границе с Газой крайне взрывоопасна, и мы не знаем, когда наступит эскалация...Об этом заявил начальник генштаба ЦАХАЛа генерал-лейтенант Габи Ашкенази...
...Рано или поздно Израилю придется вернуться в сектор Газы. Об этом заявил...22 декабря...бывший командующий Южным округом ЦАХАЛа, генерал-майор запаса Дан Харэль...Генерал запаса Харэль подчеркнул, что "сдерживающий фактор, наработанный ЦАХАЛом во время операции "Литой свинец" быстро истекает, как это обычно бывает, и потребуется новая операция для того, чтобы его восстановить". Вместе с тем, Дан Харэль считает, что сроки этой операции зависят от ХАМАСа. "Мы не форсируем события, но ХАМАС в итоге приведет ситуацию к тому, что начнется новое столкновение", - пояснил Дан Харэль. Он добавил, что "на данный момент, ХАМАС не заинтересован в скорой эскалации, однако любая ошибка в расчетах или попадание ракеты в густонаселенное место в Израиле может привести к внезапной вспышке нового конфликта".
Ниже есть продолжение.
http://cursorinfo.co.il/news/novosti/2010/12/21/ashkenazi/
http://cursorinfo.co.il/news/novosti/2010/12/22/harel/
[21 декабря] "Касам" разорвался возле детского сада. Есть пострадавшие
Ракета "касам", выпущенная с территории сектора Газы, разорвалась возле детского сада в одном из населенных пунктов регионального совета Хоф Ашкелон...ракета разорвалась в 20 метрах от уже работавшего детского сада...
...осколком ракеты ранило 16-летнюю девочку, живущую в расположенном рядом с садиком доме. В шоковом состоянии в больницу госпитализированы также маленький ребенок и взрослый...
...Система раннего предупреждения о ракетных обстрелах "Цева Адом" сработала с опозданием. Сирена включилась только после взрыва ракеты...
...в последние сутки [20-21 декабря] палестинцы ведут интенсивный обстрел Израиля. Так, около десяти минометных снарядов были выпущены вчера из северной части сектора Газы, в том числе три – в ночное время...
http://txt.newsru.co.il/arch/mideast/21dec2010/kasam302.html
http://cursorinfo.co.il/news/novosti/2010/12/21/obstrel/
http://txt.newsru.com/arch/world/21dec2010/kassam.html
http://cursorinfo.co.il/news/novosti/2010/12/21/gaza2/
Локализация частиц в детекторе
Квантовая физика говорит, что у частиц нет какой-то определенной траектории, и более того — квантовые частицы движутся сразу по всем возможным траекториям. Так почему мы имеем право говорить о какой-то конкретной траектории, зарегистрированной детектором элементарных частиц?
Cм. популярное объяснение физика Игоря Иванова http://igorivanov.blogspot.com/2010/12/localization.html
UPDATE 28-12-2010: Дополнение про локализацию частиц
Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть I
См. также
Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть I
Часть II. Алгебраические свойства золотого сечения.
Часть III. Числа Фибоначчи и золоте сечение.
Часть IV. Цепные дроби и золоте сечение.
Часть V. Фрактальная геометрия и золоте сечение.
Часть VI. Закон Бенфорда, или закон первой цифры.
Часть VII. Золотое сечение в природе.
У книги есть также подзаголовок. "Самое удивительное в мире число". Эта книга написана в оригинале на английском "The Golden Ration. The World's Most Astonishing Number" Mario Livio. Я её читаю в переводе на иврит
מריו ליביו
חיתוך הזהב
קורותיו של המספר הנפלא
В отличие от прошлой прочитанной мной книги Марио Ливио "Является ли Бог математиком?" эта книга мне не очень понравилась. Об авторе см. по этой ссылке.
UPDATE 14-05-2011: В последней части я добавил ролики, которые демонстрируют "золотое сечение" в природе. END OF UPDATE
Эта книга рассказывает о "золотом сечении". Хотя значительную часть книги составляет история математики, а также обсуждаются также вопросы эстетики и восприятия красивого, жанром этой книги является всё-таки математика.
Золотое сечение - это число, которое выражает деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором большая часть так относится ко всей величине, как меньшая часть относится к большей.
Значение этого числа:
$\varphi = \frac{ \sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}6180339887...$
Прежде всего, я хотел бы поделится причиной, по которой я решил прочитать эту книгу.
Ниже есть продолжение.
Триггером явилось упоминание этой книги в книге "Является ли Бог математиком?" этого же автора. Так как мне очень понравилась та его книга, я решил, что и эта книга будет интересна (я купил ещё одну его книгу по-мимо упомянутых двух). Однако, как я сказал, это был всего лишь триггером. А причина кроется в одном уроке, который у меня был в 8 классе.
Моя учительница математика привела как-то на урок девятиклассницу и сказала нам, что она нам расскажет о том, чем она с ней занимается. Возможно, просто мой учительнице нужно было куда-то выйти. :-) Темой выступление было "Золотое сечение". Учительница предупредила, так как девятиклассница на год нас старше, она, возможно, будет оперировать тем, чем мы не учили. Но, мол это не важно, даже если мы всё не поймём, главное, чтобы мы прониклись духом...Я понял далеко не всё на том уроке, однако численное значение запомнил... В следующий раз я встретился с этим число уже в университете, на лекции по дискретной математики. Уже в который раз было определенно рекуррентное отношение (рекурсия), которое определяет числа Фибоначчи. Однако, на этот раз была выведена выражение в явном виде значения $F_n$ как функцию от n
$F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} $
Я помню, я от неожиданности даже вскрикнул и спросил лектора, а причём тут "золотое сечение" (см. точное определение "золотого сечения" выше или наглядное определение ниже)? Помню, что внятного ответа я не получил...В следующий раз, я столкнулся с этим числом на курсе "теория чисел", в связи с изучением цепных дробей (см. ниже). Вот тогда я понял всю глубину этого числа.
В общем, для меня, можно сказать, что чтение этой книги было своеобразной расширенной лекцией, которую я впервые я прослушал в 8 классе. Хотя книга охватывает всё, что я знал об этом числе, однако, нового я узнал очень мало. Книга написана довольно плохо. Так, ради интереса я дал прочитать короткий отрывок из неё моему другу, речи идёт о законе Бенфорда о котором я расскажу в отдельной заметке, этот отрывок не связан непосредственно с "золотым сечением" и он тоже не понял, что же формула, которая его описывает выражает. Именно поэтому меня это книга разочаровала.
Начав писать эту заметку, я в какой-то момент понял, что она становится через чур объёмной, поэтому некоторые части я вынесу как отдельные заметки.
Напоследок, хочу заметить, что здесь я не пересказываю содержание книги. Я не придерживаюсь порядка повествования, также я привожу полные, насколько возможно, доказательства, часто даже несколько вариантов доказательств, утверждений, которые в книге не доказываются. В написании этой заметки я много использовал википедию, как русскую, так и английскую. В процессе работы над этим текстом, я также вносил дополнение и изменение в википедию, в частности я перевёл с английского на русский несколько разделов нескольких статей.
Довольно предисловий. Вкратце, расскажу о чём она.
Первое известное письменное определения "золотого сечения" впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно, в частности, применяется для построения правильного пятиугольника. Парфенон (построен в 447-438 до н.э., украшен в 438-431 годах до н.э. под руководством Фидия) включает в себя статуи, которые используют "золотое сечение". Буква Фи, которой принято обозначать это число, происходит именно от имение Фидия. Это обозначение стало использоваться начиная с XX века.
Итак, начнём с определения, которое дал ещё Евклидом. Допустим у вас есть отрезок. Нужно разделить его на две неравные части. Обозначим длину большей части за a, длину меньшей части за b. Тогда длина заданного отрезка будет a+b. Так вот, нужно разделить наш отрезок таким образом, чтобы длина всего отрезка (a+b) относилась к длине большей части (a) так, как длина большей части a относится к длине меньшей части b.
Текст заметки получился очень длинным, поэтому я решил разбить его на части.
Продолжение следует.
Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть I
Часть II. Алгебраические свойства золотого сечения.
Часть III. Числа Фибоначчи и золоте сечение.
Часть IV. Цепные дроби и золоте сечение.
Часть V. Фрактальная геометрия и золоте сечение.
Часть VI. Закон Бенфорда, или закон первой цифры.
Часть VII. Золотое сечение в природе.
У книги есть также подзаголовок. "Самое удивительное в мире число". Эта книга написана в оригинале на английском "The Golden Ration. The World's Most Astonishing Number" Mario Livio. Я её читаю в переводе на иврит
מריו ליביו
חיתוך הזהב
קורותיו של המספר הנפלא
В отличие от прошлой прочитанной мной книги Марио Ливио "Является ли Бог математиком?" эта книга мне не очень понравилась. Об авторе см. по этой ссылке.
UPDATE 14-05-2011: В последней части я добавил ролики, которые демонстрируют "золотое сечение" в природе. END OF UPDATE
Эта книга рассказывает о "золотом сечении". Хотя значительную часть книги составляет история математики, а также обсуждаются также вопросы эстетики и восприятия красивого, жанром этой книги является всё-таки математика.
Золотое сечение - это число, которое выражает деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором большая часть так относится ко всей величине, как меньшая часть относится к большей.
Значение этого числа:
$\varphi = \frac{ \sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}6180339887...$
Прежде всего, я хотел бы поделится причиной, по которой я решил прочитать эту книгу.
Ниже есть продолжение.
Триггером явилось упоминание этой книги в книге "Является ли Бог математиком?" этого же автора. Так как мне очень понравилась та его книга, я решил, что и эта книга будет интересна (я купил ещё одну его книгу по-мимо упомянутых двух). Однако, как я сказал, это был всего лишь триггером. А причина кроется в одном уроке, который у меня был в 8 классе.
Моя учительница математика привела как-то на урок девятиклассницу и сказала нам, что она нам расскажет о том, чем она с ней занимается. Возможно, просто мой учительнице нужно было куда-то выйти. :-) Темой выступление было "Золотое сечение". Учительница предупредила, так как девятиклассница на год нас старше, она, возможно, будет оперировать тем, чем мы не учили. Но, мол это не важно, даже если мы всё не поймём, главное, чтобы мы прониклись духом...Я понял далеко не всё на том уроке, однако численное значение запомнил... В следующий раз я встретился с этим число уже в университете, на лекции по дискретной математики. Уже в который раз было определенно рекуррентное отношение (рекурсия), которое определяет числа Фибоначчи. Однако, на этот раз была выведена выражение в явном виде значения $F_n$ как функцию от n
$F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} $
Я помню, я от неожиданности даже вскрикнул и спросил лектора, а причём тут "золотое сечение" (см. точное определение "золотого сечения" выше или наглядное определение ниже)? Помню, что внятного ответа я не получил...В следующий раз, я столкнулся с этим числом на курсе "теория чисел", в связи с изучением цепных дробей (см. ниже). Вот тогда я понял всю глубину этого числа.
В общем, для меня, можно сказать, что чтение этой книги было своеобразной расширенной лекцией, которую я впервые я прослушал в 8 классе. Хотя книга охватывает всё, что я знал об этом числе, однако, нового я узнал очень мало. Книга написана довольно плохо. Так, ради интереса я дал прочитать короткий отрывок из неё моему другу, речи идёт о законе Бенфорда о котором я расскажу в отдельной заметке, этот отрывок не связан непосредственно с "золотым сечением" и он тоже не понял, что же формула, которая его описывает выражает. Именно поэтому меня это книга разочаровала.
Начав писать эту заметку, я в какой-то момент понял, что она становится через чур объёмной, поэтому некоторые части я вынесу как отдельные заметки.
Напоследок, хочу заметить, что здесь я не пересказываю содержание книги. Я не придерживаюсь порядка повествования, также я привожу полные, насколько возможно, доказательства, часто даже несколько вариантов доказательств, утверждений, которые в книге не доказываются. В написании этой заметки я много использовал википедию, как русскую, так и английскую. В процессе работы над этим текстом, я также вносил дополнение и изменение в википедию, в частности я перевёл с английского на русский несколько разделов нескольких статей.
Довольно предисловий. Вкратце, расскажу о чём она.
Первое известное письменное определения "золотого сечения" впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно, в частности, применяется для построения правильного пятиугольника. Парфенон (построен в 447-438 до н.э., украшен в 438-431 годах до н.э. под руководством Фидия) включает в себя статуи, которые используют "золотое сечение". Буква Фи, которой принято обозначать это число, происходит именно от имение Фидия. Это обозначение стало использоваться начиная с XX века.
Итак, начнём с определения, которое дал ещё Евклидом. Допустим у вас есть отрезок. Нужно разделить его на две неравные части. Обозначим длину большей части за a, длину меньшей части за b. Тогда длина заданного отрезка будет a+b. Так вот, нужно разделить наш отрезок таким образом, чтобы длина всего отрезка (a+b) относилась к длине большей части (a) так, как длина большей части a относится к длине меньшей части b.
Текст заметки получился очень длинным, поэтому я решил разбить его на части.
Продолжение следует.
Sunday, December 26, 2010
Иордания начала движение в сторону Ирана (English)
См. также Дебка: Иордания переходит на сторону Турции
There is more below.
Ниже есть продолжение.
http://www.jpost.com/Opinion/Columnists/Article.aspx?id=200793
Two weeks ago, Iran scored a massive victory. Jordan, the West’s most stable and loyal ally in the Arab world, began slouching towards the Iranian Gomorrah.
On December 12, Ahmadinejad’s chief of staff Esfandiar Rahim Mashaei met with Jordanian King Abdullah II in Amman and extended a formal invitation from Ahmadinejad for him to pay a state visit to Iran. Abdullah accepted.
According to Iran’s ISNA news agency, Mashaei said that Abdullah’s visit will begin a new page in bilateral relations and that “the two countries hold massive potential to work together.”..
There is more below.
Ниже есть продолжение.
...Abdullah reportedly said that his country recognizes Iran’s nuclear rights and supports its access to peaceful nuclear technology.
Abdullah was one of the first world leaders to sound the alarm on Iran. In 2004, Abdullah warned of a “Shi’ite crescent” extending from Iran to Iraq, through Syria to Lebanon. His words were well reported at the time. But his warning went unheeded.
In the intervening six years, reality has surpassed Abdullah’s worst fears. Not only Lebanon and Syria have fallen under Iranian control. Iraq, Turkey, Qatar, Gaza and increasingly Oman, Yemen and Afghanistan are also either willing or unwilling members of the axis.
In the face of Iran’s expanding web of influence and the mullahs’ steady progress towards nuclear capability, Washington behaves as though there is no cause for concern. And the likes of Jordan are beside themselves.
In a WikiLeaks leaked cable from April 2009 written by US Ambassador to Jordan R. Stephen Beecroft, Jordan’s frustration and concern over the Obama administration’s incompetence in handling the Iranian threat was clear.
Beecroft wrote, “Jordan’s leaders are careful not to be seen as dictating toward the US, but their comments betray a powerful undercurrent of doubt that the United States knows how to deal effectively with Iran.”
On the one hand, Jordanian Sen. Zaid Rifai beseeched US to bomb Iran’s nuclear installations.
Rifai said, “Bomb Iran, or live with an Iranian bomb. Sanctions, carrots, incentives won’t matter.”
But on the other hand, the Jordanians recognized that the Obama administration was committed to appeasing Iran and so tried to convince the Americans to ensure that their appeasement drive didn’t come at the Arabs’ expense.
Beecroft reported a clear warning from Abdullah.
Abdullah cautioned that if the Arabs believed that the US was appeasing Iran at their expense, “that engagement will set off a stampede of Arab states looking to get ahead of the curve and reach their own separate peace with Teheran.
“King Abdullah counseled Special Envoy George Mitchell in February [2009] that direct US engagement with Iran at this time would just deepen intra-Arab schisms and that more ‘countries without a backbone’ would defect to the Iranian camp.”
THAT WAS then. And since then, the Obama administration did nothing after Iranian dictator Ahmadinejad and his henchmen stole the presidential election. It did nothing as they repressed the tens of millions of Iranians who demonstrated against the election fraud. The Obama administration did nothing as Iran conducted repeated war games along the Straits of Hormuz, progressed in its nuclear program, deepened its military alliances with Turkey and Venezuela and escalated its proxy war against the US and its allies in Afghanistan.
The Americans said nothing as Iran prevented the pro-US faction that won the Iraqi election from forming a government. They did nothing as Iran forced the reinstallation of Iraqi Prime Minister Nouri al-Maliki despite his electoral defeat.
As Washington stood idly by in the face of Iran’s aggression, Jordan and the other US-allied Arab states watched as Obama harassed Israel, announced his plan to withdraw all US forces from Iraq next year, appointed a new ambassador to Syria and approved more military aid to the Iranian-controlled Lebanese army. And Abdullah and the other Arabs watch now as the US is poised to begin yet a new round of appeasement talks with Iran next month.
Unlike the previous failed rounds of talks, the next failed round of talks will take place in Turkey.
Iranian officials are already exulting that Turkish Prime Minister Recip Erdogan will act as Iran’s protector in those talks, and so officially end any semblance of Iranian diplomatic isolation on the nuclear issue.
And so, just as Abdullah warned would happen, today he is leading Jordan into the ranks of “countries without a backbone,” and making a separate peace with Ahmadinejad.
Jordan is a weak country. Its minority Hashemite regime has failed to dominate its Palestinian majority. And since its inception by the British in 1946, Jordan has depended on Western powers and Israel for its survival.
In acting as he is, Abdullah is following in his father’s footsteps. The late King Hussein survived by watching the prevailing winds closely and always siding with the side he believed was strongest at any given time.
When Hussein believed that the West and Israel were weakening, he went with their enemies. He only rejoined the Western alliance after it defeated its foes, and so convinced him that it was stronger. Notable examples of this are his 1967 alliance with Egypt and Syria against Israel and his decision in 1990 to stand with Iraqi leader Saddam Hussein in the aftermath of Saddam’s conquest of Kuwait.
IT IS often erroneously claimed that siding with the metaphorical stronger horse is primarily an Arab practice. In truth, everyone does it...
...Jordan’s move into the Iranian camp is not inexorable. Nor is Lebanon’s or even Syria’s...
http://www.jpost.com/Opinion/Columnists/Article.aspx?id=200793
Subscribe to:
Posts (Atom)