Пи равно трём. Часть II.

См. также Часть I
UPDATE 07-05-2010:
См. также Часть III. Предел функции
END OF UPDATE.

"приближённо можно оценивать длину окружности по формуле 6.28R"

http://my-tribune.blogspot.com/2008/02/blog-post_21.html


На этом же подготовительном отделении были естественно задачи с ответами. Какого же было моё удивление, когда вместо того чтобы обнаружить ответ $\frac{\sqrt{3}}{2}$, скажем в качестве ответа, чему равен $\sin{\frac{\Pi}{3}}$, я обнаружил ответ $0.866$.

Ниже я приведу реконструкцию моего диалога с другим учеником (Д).

Ниже есть продолжение.

Вы не видете математические формулы в блоге?

Я: В книжке ответ не правильный, правильный ответ $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а не $0.866$.

Другой ученик посмотрел на меня не понимающими глазами и сказал:

Д: Ну, а чему равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Я несколько опешил, и сказал:

Я: Что значит чему равно, этому же и равно. Это ведь иррациональное число, а $0.866$ число рациональное. Невозможно точно записать иррациональное число, используя рациональные числа.

Другой ученик подумал не много и выдал:

Д: Я не понял, что ты там говорил про иррациональные числа... но чтобы узнать, чему равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, ты берёшь калькулятор и считаешь.

Я выпал в осадок. Всё же, я предпринял последнюю безуспешную попытку:

Я: Сколько знаков в твоём калькуляторе?

Д: Восемь.

Я: А чтобы "записать" $\sqrt{3}$ тебе нужно гораздо больше.

Д: Не понимаю тебя.

Я: Давай я тебе кое-что покажу.

Беру у него из рук калькулятор.
Я: Возьмём тройку. Если я посчитаю корень $n$-ой степени из $3$, а потом возведу результат в степень $n$ я должен получить $3$, так?

Д: Так.

Я: И не важно, чему равно $n$, хоть сто, хоть двести, хоть сколько.

Д: Ну, да. Не понимаю, к чему ты клонишь.

Я: Вот смотри, вводим тройку и начинаем вычислять квадратный корень... Теперь из результата вычисляем опять квадратный корень...И опять...

...Я нажимаю и нажимаю на квадратный корень, числа всё уменьшаются и уменьшаются, приближаясь к единице справа... Пока не получил, что-то вроде $1.0000001$.

Я: А теперь смотри, я нажимаю ещё раз на квадратный корень - ответ не меняется. Я пытаюсь возвести это число в квадрат - ответ не меняется. Я не могу восстановить назад тройку!

Д: Странно, не понимаю.

Я: Всё дело в том, что на каждом этапе вычисления мы теряли те цифры, которые не вместились в калькулятор, так как квадратный корень был вычислен только приближённо, так как корень из трёх число иррациональное, а калькулятор показывает только фиксированное количество знаков после запятой, т.е. рациональные числа...

UPDATE 04-03-2011:
Как мне было сказано в комментариях, последняя моя фраза может ввести в заблуждение, поэтому сделаю здесь разъяснение. Я не утверждаю, что калькулятор может показать все рациональные числа, я говорю лишь о том, что всё, что показывает калькулятор есть рациональное число. В частности, калькулятор не может показать $\frac{1}{3}$ а лишь может показать приближение к нему. Также, калькулятор не может показать вообще $10^{10^{100}}$.

Эти примеры демонстрируют два "типа" чисел "недоступные" для калькулятора. Периодические десятичные дроби с периодом отличным от нуля ($\frac{1}{3}$=0,33333...=0,(3) ноль целых три в периоде, т.е. имеет период равный 3) и числа с большим абсолютным значением.
END OF UPDATE